1、 决战决战 20202020 年中考典型压轴题大突破年中考典型压轴题大突破 模块二模块二 中考压轴题几何变换综合专题中考压轴题几何变换综合专题 考向导航考向导航 在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。动手操作题 是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生 的创新能力和实践能力，体现新课程理念。此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助 于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之， 在中考中越来越受到关注。常见的有折叠、旋转和平移操作。操作型问题
2、是指通过动手测量作图(象)、取 值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科 学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实 验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科 研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯， 切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。 专题 07 动手折叠问题 方法点拨方法点拨 此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考
3、查学生的动手能力，又考查学生 的想象能力，住往与面积、对称性质联系在一起。 精典例题精典例题 （2019拱墅区二模）已知边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，且 BE2CE，连接 AE 交射线 DC 于点 F，若ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B1处 （1）如图 1，若点 E 在线段 BC 上，求 CF 的长； （2）求 sinDAB1的值； （3）如果题设中“BE2CE”改为“ =x”，其它条件都不变，试写出ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部分的面积 y 与 x 的关系式及自变量 x 的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程） 【点睛】（1）利用平
4、行线性质以及线段比求出 CF 的值； （2）本题要分两种方法讨论：若点 E 在线段 BC 上；若点 E 在边 BC 的延长线上需运用勾股定 理求出与之相联的线段； （3）本题分两种情况讨论：若点 E 在线段 BC 上，y= 9 2+2，x 的范围为 x0；若点 E 在边 BC 的延长 线上，y= 99 2 ，x 的范围为 x1 【详解】解：（1）ABDF， = ， BE2CE，AB3， 3 = 2 ， CF= 3 2； （2）若点 E 在线段 BC 上，如图 1，设直线 AB1与 DC 相交于点 M 由题意翻折得：12 ABDF， 1F， 2F， AMMF 设 DMx，则 CM3x 又CF1.
5、5， AMMF= 9 2 x， 在 RtADM 中，AD2+DM2AM2， 32+x2（9 2 x）2， x= 5 4，（1 分） DM= 5 4，AM= 13 4 ， sinDAB1= = 5 13； 若点 E 在边 BC 的延长线上，如图 2，设直线 AB1 与 CD 延长线相交于点 N 同理可得：ANNF BE2CE， BCCEAD ADBE， = ， DFFC= 3 2， 设 DNx，则 ANNFx+ 3 2 在 RtADN 中，AD2+DN2AN2， 32+x2（x+ 3 2） 2， x= 9 4（1 分） DN= 9 4，AN= 15 4 sinDAB1= = 3 5； （3）若点
6、 E 在线段 BC 上，y= 9 2+2，x 的范围 x0； 若点 E 在边 BC 的延长线上，y= 99 2 ，x 的范围为 x1 巩固突破巩固突破 1（2019昆明三模）如图，将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 A 坐标是（3，0）， 点 C 坐标是（0，2），点 O 的坐标是（0，0），点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 （1）求点 E、F 的坐标； （2）如图 2，若点 P 是线段 DA 上的一个动点（点 P 不与点 D，A 重合），过 P 作 PHDB 于 H，设 OP 的长为 x，DP
7、H 的面积为 S，试用关于 x 的代数式表示 S 【点睛】（1）由矩形的性质和折叠的性质，可得 ABFD 是正方形，再根据点的坐标，求出 OD，AE 即 可写出 E、F 的坐标， （2）由题意可以得出DHP 是等腰直角三角形，只要用含有 x 的代数式表示 HDPH 即可，通过直角三 角形的边角关系可以得到，然后用三角形的面积公式表示即可 【详解】解：（1）由折叠可得四边形 ABFD 是正方形， OABC 是矩形，A（3，0），C（0，2）， OABC3，OCAB2BFFDDA， ODCF321， E 是 AB 的中点， AEEB= 1 2AB1， 答：E（3，1），F（1，2） （2）将BDA
8、 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，可得四边形 ABFD 是正方形， ABD 是等腰直角三角形， 又PHDB， DPH 也是等腰直角三角形， DHHP， 设 OP 的长为 x，则 PDx1， 在 RtPDH 中，PHHD= 2 2 PD= 2 2 （x1）， SDHP= 1 2PHHD= 1 2 2 2 （x1） 2 2 （x1）= 1 4（x1） 2， 答：SDHP= 1 4（x1） 2 2（2019大庆三模）在矩形 ABCD 中，AB10，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD
9、上，BE 交 PC 于点 F （1）求证：BPBF； （2）当 BP8 时，求 BEEF 的值 【点睛】（1）要证 BPBF，只要得到所在的三角形中有两个角相等即可，要证这两个角相等，用直角 三角形的两个锐角互余和等量代换可以得到， （2）要证比例线段，一般证明三角形相似，连接 GF，证明GEFEAB，再利用等量代换可求出结 果 【详解】解：（1）在矩形 ABCD 中，ABC90， BPC 沿 P 折叠得到GPC， PGCPBC90，BPCGPC， BECG， BEGP， GPFPFB， BPFBFP， BPBF； （2）连接 GF， GEFBAE90，BFPG，BFPG， 四边形 BPGF
10、是平行四边形， BPBF， 平行四边形 BPGF 是菱形， BPGF， GFEABE， GEFEAB， = ， BEEFABGF10880 3（2019兴庆区校级二模）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D 落 在边 BC 上的点 F 处，过点 F 作 FGCD，交 AE 于点 G 连接 DG （1）求证：四边形 DEFG 为菱形； （2）若 CD8，CF4，求 的值 【点睛】（1）根据折叠的性质，易知 DGFG，EDEF，12，由 FGCD，可得13，易 证 FGFE，故由四边相等证明四边形 DEFG 为菱形； （2）在 RtEFC 中，用勾股定
11、理列方程即可 CD、CE，从而求出 的值 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知：DGFG，EDEF，12， FGCD， 23， FGFE， DGGFEFDE， 四边形 DEFG 为菱形； （2）设 DEx，根据折叠的性质，EFDEx，EC8x， 在 RtEFC 中，FC2+EC2EF2， 即 42+（8x）2x2， 解得：x5，CE8x3， = 3 5 4（2019南岗区校级二模）已知：在矩形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 CE，将BCE 沿 CE 翻折， 使 B 落到 F 处，延长 EF 交 CD 延长线于 G （1）求证：EGCG； （2）若 BC8，tanBEC2，求 GF
12、的长 【点睛】（1）证明ECGFEC，根据等角对等边可得：EGCG； （2）设 GFx，则 CGEG4+x，在 RtGFC 中，由勾股定理列方程可得 x 的值 【详解】证明：（1）由折叠得：FECBEC， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， BECECG， ECGFEC， EGCG； （2）B90，tanBEC2， = 2， BC8， BE4， 由折叠得：EFBE4，FCBC8， 设 GFx，则 CGEG4+x， 在 RtGFC 中，由勾股定理得：CG2GF2+CF2， （4+x）282+x2， 解得 x6， GF6 5（2019长春四模）探究：如图点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边
13、 BC、CD 上，连结 AE、AF、EF， 将ABE、ADF 分别沿 AE、AF 折叠，折叠后的图形恰好能拼成与AEF 完全重合的三角形若 BE 2，DF3，求 AB 的长； 拓展：如图点 E、F 分别在四边形 BACD 的边 BC、CD 上，且BD90连结 AE、AF、EF 将ABE、ADF 分别沿 AE、AF 折叠，折叠后的图形恰好能拼成与AEF 完全重合的三角形若EAF 30，AB4，则ECF 的周长是 【点睛】探究：设：正方形的边长为 a，则 ECa2，CFa3，则由勾股定理得：EF2EC2+CF2， 即可求解； 拓展：证明ABCADC，BAE+DAFEAF30，则BAD60，BACD
14、AC= 1 2（ BAD）30，CDBCABtanBAC，即可求解 【详解】解：探究： 设：正方形的边长为 a，则 ECa2，CFa3， 则 EFBE+DF5，则 EF2EC2+CF2， 即：25（a2）2+（a3）2，解得：a6 或1（舍去1）， 故 AB6； 拓展： 由题意得：ABCD4，连接 AC， ABAD，ACAC，ABCADC， BCCD，BACDAC， 点 E、F 分别在四边形 BACD 的边 BC、CD 上， 故：BAE+DAFEAF30，则BAD60， BACDAC= 1 2（BAD）30， CDBCABtanBAC4 3 3 = 43 3 ， ECF 的周长EF+EC+FC
15、AE+FD+EC+FCAC+CD2CD= 83 3 ， 故答案为：83 3 6（2019临泽模拟）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕 EF 分别与 AB、DC 交 于点 E 和点 F （1）证明：ADFABE； （2）若 AD12，DC18，求AEF 的面积 【点睛】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用 ASA 即可判定ADFABE； （2） 先设 FAFCx， 则 DFDCFC18x， 根据 RtADF 中， AD2+DF2AF2， 即可得出方程 122+ （18x）2x2，解得 x13 再根据 AEAF13，即可得出 SAEF= 1 2AEAD78 【详
16、解】解：（1）四边形 ABCD 是矩形， DCB90，ADCBAB， DAF+EAF90，BAE+EAF90， DAFBAE， 在ADF 和ABE 中， = = = ， ADFABE（ASA） （2）由折叠性质得 FAFC， 设 FAFCx，则 DFDCFC18x， 在 RtADF 中，AD2+DF2AF2， 122+（18x）2x2 解得 x13 ADFABE（已证）， AEAF13， SAEF= 1 2AEAD= 1 2 121378 7（2019无锡模拟）已知边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，且 BE2CE，连结 AE 交射 线 DC 于点 F，将ABE 沿直
17、线 AE 翻折，点 B 落在点 B1处 （1）如图 1，若点 E 在线段 BC 上，求 CF 的长； （2）求 sinDAB1的值 【点睛】（1）利用平行线性质以及线段比求出 CF 的值； （2）根据平行线分线段成比例定理得到 = ，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论 【详解】解：（1）ABDF， = ， BE2CE，AB3， 3 = 2 ， CF= 3 2； （2）若点 E 在边 BC 上，延长 AB1交 DC 于 H，BAEB1AEDFE， AHFH，AE= 32+ 22= 13， = = 1 2， 设 DHx，CH3x， CF1，5， AHFH= 9 2 x， AD2+DH2AH2
18、， 32+x2（9 2 x）2， x= 5 4， DH= 5 4，AH= 13 4 ， sinDAB1= = 5 13； 若点 E 在边 BC 的延长线上，如图，设直线 AB1 与 CD 延长线相交于点 N 同理可得：ANNF BE2CE， BCCEAD ADBE， = ， DFFC= 3 2， 设 DNx，则 ANNFx+ 3 2 在 RtADN 中，AD2+DN2AN2， 32+x2（x+ 3 2） 2， x= 9 4 DN= 9 4，AN= 15 4 ， sinDAB1= = 3 5 8（2019广陵区校级二模）如图，将矩形 ABCD 先过点 A 的直线 L1翻折，点 DA 的对应点 D
19、刚好落在 边 BC 上， 直线 L1交 DC 于点 F； 再将矩形 ABCD 沿过点 A 的直线 L2翻折， 使点 B 的对应点 G 落在 AD 上，EG 的延长线交 AD 于点 H （1）当四边形 AEDH 是平行四边形时，求ADH 的度数 （2）当点 H 与点 D 刚好重合时，试判断AEF 的形状，并说明理由 【点睛】（1）如图 1 中，在 RTABC 中，由 AD2AB 推出ADB30，再证明四边形 AEDH 是菱形即可解决问题 （2）如图 2 中，先证明DDGDDC 得出 DGDCABAG，发现AGD、GED、DEC 都是等腰直角三角形，再证明ABEECF 即可解决问题 【详解】解：（
20、1）如图 1 中，四边形 AEDH 是平行四边形， AGGD， EHAD， 四边形 AEDH 是菱形， ADHADB， AEG 是由AEB 翻折得到， ABAGDG， 四边形 ABCD 是矩形， B90， ADB30， ADH30 （2）结论：AEF 是等腰直角三角形 理由：如图 2 中，连接 DD 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADDDDC，ABDC，BC90， ADAD， ADDADD， DDADDC， 在DDG 和DDC 中， = = = ， DDGDDC， DGDCABAG， AGD90， GADGDAADEDED45， EGGDBECD， ADB+FDC90， FDCDFC4
21、5， CDCFBE， CEDCDE45， ECCDAB， 在ABE 和ECF 中， = = = 90 = ， ABEECF， AEEF，BAECEF， BAE+AEB90， AEB+CEF90， AEF90， AEF 是等腰直角三角形 9（2019海州区期中）如图，在ACB 中，ACB90，A75，点 D 是 AB 的中点将ACD 沿 CD 翻折得到ACD，连接 AB （1）求证：CDAB； （2）若 AB4，求 AB2的值 【点睛】（1）依据直角三角形斜边上中线的性质可知 CDAD，然后依据等腰三角形的性质和三角形的 内角和定理可求得ADC30，由翻折的性质可知CDA30，从而可求得ADB
22、的度数，然 后依据 DADB 可求得DBA30，从而可证明 CDAB； （2）连结 AA，先证明ADA为等边三角形，从而可得到AAD60，然后可求得AAB 90，最后依据勾股定理求解即可 【详解】解：（1）ACB90，点 D 是 AB 的中点 ADBDCD= 1 2AB ACDA75 ADC30 ACD 由ACD 沿 CD 翻折得到， ACDACD ADAD，ADCADC30 ADADDB，ADA60 ADB120 DBADAB30 ADCDBA CDAB （2）连接 AA ADAD，ADA60， ADA是等边三角形 AAAD= 1 2AB，DAA60 AAB180AABABA90 AB4，
23、AA2 由勾股定理得：AB2AB2AA2422212 10（2019广陵区校级模拟）发现（1）如图 1，把ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A处，请你判断 1+2 与A 有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由 思考 （2） 如图 2， BI 平分ABC， CI 平分ACB， 把ABC 折叠， 使点 A 与点 I 重合， 若1+2100， 求BIC 的度数； 拓展（3）如图 3，在锐角ABC 中，BFAC 于点 F，CGAB 于点 G，BF、CG 交于点 H，把ABC 折叠使点 A 和点 H 重合，试探索BHC 与1+2 的关系，并证明你的结论 【点睛】（1）根据翻折变换的性质以及
24、三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出IBC+ICB90 1 2A，得出BIC 的度数即可； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，AFH+AGH90+90180，进而求出A= 1 2 （1+2），即可得出答案 【详解】解：（1）1+22A； 理由：根据翻折的性质，ADE= 1 2（1801），AED= 1 2（1802）， A+ADE+AED180， A+ 1 2（1801）+ 1 2（1802）180， 整理得 2A1+2； （2）由（1）1+22A，得 2A100， A50 IB 平分ABC，IC 平分ACB， IBC+ICB= 1 2（ABC
25、+ACB）= 1 2（180A）90 1 2A， BIC180（IBC+ICB）180（90 1 2A）90+ 1 2 50115； （3）BFAC，CGAB， AFH+AGH90+90180， FHG+A180， BHCFHG180A， 由（1）知1+22A， A= 1 2（1+2）， BHC180 1 2（1+2） 11（2019铜山区期中）如图，长方形纸片 ABCD 中，AB8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，折痕的一端 G 点在边 BC 上 （1）如图 1，当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE4 时，求 AF 的长 （2）如图 2，当折痕的另一端 F 在 A
26、D 边上且 BG10 时， 求证：EFEG求 AF 的长 （3）如图 3，当折痕的另一端 F 在 AD 边上，B 点的对应点 E 在长方形内部，E 到 AD 的距离为 2cm， 且 BG10 时，求 AF 的长 【点睛】（1）根据翻折的性质可得 BFEF，然后用 AF 表示出 EF，在 RtAEF 中，利用勾股定理列 出方程求解即可； （2）根据翻折的性质可得BGFEGF，再根据两直线平行，内错角相等可得BGFEFG，从 而得到EGFEFG，再根据等角对等边证明即可； 根据翻折的性质可得 EGBG，HEAB，FHAF，然后在 RtEFH 中，利用勾股定理列式计算即可 得解； （3）设 EH 与
27、 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N，然后求出 EM、EN，在 RtENG 中，利用勾股定理列式求出 GN，再根据GEN 和EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例 列式求出 EK、KM，再求出 KH，然后根据FKH 和EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求 解即可 【详解】（1）解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BFEF， AB8， EF8AF， 在 RtAEF 中，AE2+AF2EF2， 即 42+AF2（8AF）2， 解得 AF3； （2）证明：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BGFEGF， 长方形
28、纸片 ABCD 的边 ADBC， BGFEFG， EGFEFG， EFEG； 解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， EGBG10，HEAB8，FHAF， EFEG10， 在 RtEFH 中，FH= 22= 10282=6， AFFH6； （3）解： 法一：如图 3，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N， E 到 AD 的距离为 2cm， EM2，EN826， 在 RtENG 中，GN= 22= 10262=8， GEN+KEM180GEH1809090， GEN+NGE1809090， KEMNGE， 又ENGKME90，
29、GENEKM， = = ， 即 10 = 6 = 2 8， 解得 EK= 5 2，KM= 3 2， KHEHEK8 5 2 = 11 2 ， FKHEKM，HEMK90， FKHEKM， = ， 即 2 = 11 2 3 2 ， 解得 FH= 22 3 ， AFFH= 22 3 法二：如图 4，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N，过点 K 作 KL CD 交 BC 于点 L，连接 GK， E 到 AD 的距离为 2cm， EM2，EN826， 在 RtENG 中，GN= 22= 10262=8， 设 KMa， 在KME 中，根据勾股定理可得
30、：KE2KM2+ME2a2+4， 在KEG 中，根据勾股定理可得：GK2GE2+KE2102+a2+4， 在GKL 中，根据勾股定理可得：GK2GL2+KL2（8a）2+82， 即 102+a2+4（8a）2+82， 解得：a= 3 2，故 KE= 5 2， KHEHEK8 5 2 = 11 2 ， 设 FHb， 在KFH 中，根据勾股定理可得：KF2KH2+FH2， KFKAAFBLAF（BG+GNKM）AF10+8 3 2 b= 33 2 b， 即：（33 2 b）2（11 2 ）2+b2， 解得：b= 22 3 ， AFFH= 22 3 12（2019道里区校级模拟）已知，如图 1，在A
31、BC 和ADC 中，AB2AC，ACD90，ADBD， （1）求证：BAC2ABD （2） 如图 2， 当BAC120时， 设 AD 与 BC 的交点为 O， 将ADC 沿 CD 所在直线折叠， 得到EDC， 连接 OE，射线 OM 交 DE 于 M，交 BD 的延长线于 N，且EONABD，若 MN3，求：OE 的长 【点睛】（1）作 DHAB 于 H证明 RtADHRtADC（HL）即可解决问题 （2）如图 2 中，连接 EN，作 MHAD 于 H，MGDN 于 G想办法证明OEN 是等边三角形，MN： OM1：2 即可解决问题 【详解】（1）证明：作 DHAB 于 H DBDA，DHAB
32、， AHBH，DBADAB， AB2AC， AHAC， AHDACD90，ADAD， RtADHRtADC（HL）， BADCAD， BAC2ABD （2）解：如图 2 中，连接 EN，作 MHAD 于 H，MGDN 于 G BAC120，由（1）可知：BADDACABD60， ABD 是等边三角形， DCAE，ACCE， DADE， ADE 是等边三角形， ADBADEEDN60， EONABD60， EONEDN， E，O，D，N 四点共圆， PODEEDN， EOEN， EON60， EON 是等边三角形， AEDOEN60， AEODEN， AEED，EOEN， AEODEN（SAS）
33、， OADN， ACBD， = = 1 2， DN：OD1：2， MDNMDO，MHOD，MGDN， MHMG， = = 1 2 1 2 = = 1 2， MN3， OM6， ONOM+MN6+39， OE9 13（2019大连模拟）在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D 在线段 BC 上，EDB= 1 2C，交 AB 于 F，BEDE 于 E，探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明 小白的想法是，将BDE 以直线 DE 为对称轴翻折，再通过证明GBHFDH 得到结论，请按照小白 的想法完成此题解答 证明：延长 BE 至点 G，使 EGEB，连接 GD 交 AB 于点 H 【解
34、决问题】ABC 中，C2B，点 E 是线段 BC 的延长线上一点，CEkBC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，EFAD 于 F，交 AC 于 G，求 的值 【点睛】 【探究】结论：DF2BE如图 1 中，延长 BE 至点 G，使 EGEB，连接 GD 交 AB 于点 H只 要证明BHGDHF 即可； 【解决问题】延长 AC 到 H，使得 ABAH只要证明 CDCH，EFBH，即可解决问题； 【详解】解：【探究】：结论：DF2BE 理由：如图 1 中，延长 BE 至点 G，使 EGEB，连接 GD 交 AB 于点 H BEEG，DEBG， DBDG，BDEGDE， EDB= 1 2C， B
35、DGC， DGAC， BHDA90， BFEDFH，BEFDHF90， GBHFDH， ABAC，A90， ABC45， BHDH， BHGDHF90， BHGDHF， DFBG2BE 【解决问题】：延长 AC 到 H，使得 ABAH DABDAH，ADAD，ABAH， DABDAH， ABDAHD，DBDH， ACB2ABD，ACBAHD+CDH， CDHCHD， CDCH， ABAH，DBDH， AD 垂直平分 BH， EFAD， EFBH， ECGBCH， = = 1 ， CHCD， = 1 14（2019鞍山二模）如图，正方形 ABCD 中，AD8，点 F 是 AB 中点，点 E 是
36、AC 上一点，DEEF， 连接 DF 交 AC 于点 G （1）求DEF 的面积； （2）将FEG 沿 EF 翻折得到EFM，EF 交 DM 于点 N 求证：点 M 在对角线 BD 上； 求 MN 的长度 【点睛】（1）如图，过 E 作 EPAP，EQAD，利用角平分线的性质定理可得 EQEP，即可解决问 题； （2）过 G 作 GHAB，过 M 作 MKAB，过 M 作 MLAD，通过计算证明 DLML 即可解决问题； 过 N 作 NIAB，则 NIIB，想办法求出 BN、BM 即可解决问题； 【详解】解：（1）如图，过 E 作 EPAP，EQAD， AC 是对角线， EAQEAP45， E
37、PEQ，四边形 APEQ 是正方形， QEPDEF90， DEQFEP，EQDEPF90 DQEFPE， DEEF，DQFP，且 APEP， 设 EPx，则 DQ8xFPx4， 解得 x6，所以 PF2， AE= 62+ 62=62，DE= 22+ 62=210， SDEF= 1 2 210 210 =20 （2）DCAB， DGCFGA， = = =2，AC82，DF45 CG= 2 3 82 = 162 3 ， EG= 162 3 22 = 102 3 ， AG= 1 3AC= 8 32， 过 G 作 GHAB，过 M 作 MKAB，过 M 作 MLAD， 则易证GHFFKM 全等， GH
38、FK= 8 3，HFMK= 4 3， MLAKAF+FK4+ 8 3 = 20 3 ，DLADMK8 4 3 = 20 3 ， 即 DLLM， LDM45 DM 在正方形对角线 DB 上， 过 N 作 NIAB，则 NIIB， 设 NIy， NIEP = ， 6 = 4 2 ， 解得 y3， 所以 FI4y1， I 为 FP 的中点， N 是 EF 的中点， EN= 1 2EF= 10， BIN 是等腰直角三角形，且 BINI3， BN32，BKABAK8 20 3 = 4 3，BM= 42 3 ，MNBNBM32 42 3 = 52 3 ， 15（2019江阴市）已知，如图，在 RtABC
39、中，C90，A60，AC3，点 D 为 AB 的中点， 点 E 为线段 BC 上的点，连接 DE，把BDE 沿着 DE 翻折得B1DE （1）当 A、D、B1、C 构成的四边形为平行四边形，求 DE 的长； （2）当 DB1AC 时，求DEB1和ABC 重叠部分的面积 【点睛】（1）分两种情形画出图形即可解决问题； （2）当 DB1AC 时（如图 3），设 B1D、B1E 分别与 AC 交于 P、Q，根据 S四边形PQED= 1 1； 【详解】解（1）如图 1，若四边形为 ACB1D 的平行四边形，则有，DB1AC，且 DB1AC3， 由题意，B30，BDEEDB1= 1 2BDB130， D
40、EBE， 在 RtABC 中，A60，AC3， AB6，BD3， 过 E 作 EHDB 于 H 则 DHBH= 3 2， 在 RtDEH 中，EH= 1 2DE，DH= 3 2， DE2（1 2DE） 2+（3 2） 2， DE= 3 如图 2，若四边形为 ACDB1的平行四边形，则有，B1DAC，且 B1DAC3， CDAB3，CAB60，四边形 ACDB1为含 60角的菱形， E B1DC B1D30， E 与 C 重合， DECD3； 综上所述，DE= 3或 3 （2）当 DB1AC 时（如图 3），设 B1D、B1E 分别与 AC 交于 P、Q， 则：RtADP 中，A60，AD3，A
41、P= 3 2，DP= 33 2 ， RtB1PQ 中，B1B30，B 1P3 33 2 ， PQ= 3 3 2， SB1PQ= 1 2 B1PPQ= 1 2 （3 33 2 ）（3 3 2）= 213 8 9 2， 又 SB1DE1 2 DB1PC= 1 2 3 3 2 = 9 4， DE B1和ABC 重叠部分的面积= 9 4 （213 8 9 2）= 27 4 213 8 16（2019宝应三模）将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D处，折 痕为 EF （1）求证：ABEADF； （2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论 【点睛】（1）根据折叠得性质得 CDAD，CEAE，DFDF，CEFAEF，再根据平行四边
