1、 中考数学几何模型 2：共顶点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的 两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：常见结论： 连接 BD、AE 交于点 F，连接 CF，则有以下结论： （1）BCDACE （2）AEBD （3）AFBDFE （4）FCBFE平分 典题探究 启迪思维 探究重
2、点 例题例题 1. 以点 A 为顶点作等腰 RtABC，等腰 RtADE，其中BACDAE90 ，如图 1 所示放置，使 得一直角边重合，连接 BD、CE （1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长 BD 交 CE 于点 F 试求BFC 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图 2 放置， （1） 、 （2）中的结论是否仍成立？请说明理由 【解答】解： （1）CEBD，理由如下： 等腰 RtABC，等腰 RtADE， AEAD，ACAB， 在EAC 与DAB 中， ， EACDAB（SAS） ， CEBD； （2）EACDAB， ECADBA， ECA+CBFDBA+CB
3、F45 ， ECA+CBF+DCB45 +45 90 ， BFC180 90 90 ； （3）成立， 等腰 RtABC，等腰 RtADE， AEAD，ACAB， 在EAC 与DAB 中， ， EACDAB（SAS） ， CEBD； EACDAB， ECADBA， ECA+CBFDBA+CBF45 ， ECA+CBF+DCB45 +45 90 ， BFC180 90 90 变式练习变式练习 1. 已知：如图，ABC 和DCE 都是等腰直角三角形，ACBDCE90 （1）求证：BDAE （2）若ABDDAE，AB8，AD6，求四边形 ABED 的面积 【解答】解： （1）ABC 和DCE 都是等腰
4、直角三角形，ACBDCE90 ， ACBC，CDCE ACBDCE90 ， ACB+ACDDCE+ACD，即BCDACE 在BCD 和ACE 中， BCDACE（SAS） ， BDAE； （2）由（1）得：BCDACE， CBDCAE， CBP+BPC90 ，BPCAPD， EAC+APD90 ， AHB90 ， BAH+ABD90 ， DAEABD， BAH+DAE90 ，即BAD90 ， AB8，AD6， BDAE10， S四边形ABED10 10 250 例题例题 2. 如图，等边ABC，等边ADE，等边DBF 分别有公共顶点 A，D，且ADE，DBF 都在 ADB 内，求证：CD 与
5、EF 互相平分. 变式练习变式练习 2. 已如图，已知等边三角形 ABC，在 AB 上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 ADAE，作等边三角形 PCD， QAE 和 RAB，求证：P、Q、R 是等边三角形的三个顶点 【解答】解：连接 BP， ABC 和PCD 都为等边三角形， ACBC，DCPC，ACBDCP60 ， ACBDCBDCPDCB，即ACDBCP， ACDBCP（SAS） ， ADBP， 又RAB+BAC+QAE180 ， R，A，Q 三点共线， 又CBPCAD60 ，RBA+ABC+CBP180 ， R，B，P 三点共线， 又 AQAEADBP， RQRA+AQRB+BPRP
6、， 又R60 ， PQR 是等边三角形， 则 P、Q、R 是等边三角形的三个顶点 例题例题 3. 在等边ABC 与等边DCE 中，B，C，E 三点共线，连接 BD，AE 交于点 F,连接 CF. (1)如图 1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC； (2)如图 2，若ABC，DCE 为等腰直角三角形，ACB=DCE=90 ，则(1)的结论是否成立？若不成立， 写出正确结论并证明. 例题例题 4. 【问题探究】 （1）如图已知锐角ABC，分别以 AB、AC 为腰，在ABC 的外部作等腰 RtABD 和 RtACE，连接 CD、BE，试猜想 CD、BE 的大小关系 CDBE ； （不必证明）
7、 【深入探究】 （2）如图ABC、ADE 都是等腰直角三角形，点 D 在边 BC 上（不与 B、C 重合） ，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 BCCE+CD ； （不必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCACBADC45 若 BD9，CD3，求 AD 的长 【解答】解： （1）ABD 和ACE 是等腰直角三角形， ABAD，AEAC，且DABEAC90 ， DAB+BACEAC+BAC，即BAEDAC， 在DAC 和BAE 中， ， DACBAE（SAS） ， CDBE，
8、 故答案为：CDBE （2）ABC、ADE 都是等腰直角三角形， ABAC，ADAE，BACDAE90 ， BAD+DACCAE+DAC， 即BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， CEBD，ACEB45 ， 又BCBD+CD，ACE45 ， BCCE+CD，DCE90 ， CD2+CE2DE2， BDCE，DEAD， CD2+BD22AD2 故答案为：BCCE+CD 例题例题 5. 如图 1，在ABC 中，BC4，以线段 AB 为边作ABD，使得 ADBD，连接 DC，再以 DC 为边作 CDE，使得 DCDE，CDEADB （1）如图 2，当ABC45 且
9、 90 时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF，连接 BF，AF 若 90 ，依题意补全图 3，求线段 AF 的长； 请直接写出线段 AF 的长（用含 的式子表 示） 【解答】解： （1）AD+DE4， 理由是：如图 1， ADBEDC90 ，ADBD，DCDE， AD+DEBC4； （2）补全图形，如图 2， 设 DE 与 BC 相交于点 H，连接 AE， 交 BC 于点 G， ADBCDE90 ， ADEBDC， 在ADE 与BDC 中， ， ADEBDC， AEBC，AEDBCD DE 与 BC 相交于点 H， G
10、HEDHC， EGHEDC90 ， 线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF， EFCB4，EFCB， AEEF， CBEF， AEFEGH90 ， AEEF，AEF90 ， AFE45 ， AF4； 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，在等边ABC 与等边DCE 中，B，C，E 三点共线，BD 交 AC 于点 G，AE 交 DC 于点 H，连 接 GH. 求证：GHBE. 2. 如图，在正方形 ABCD 内取一点 E，连接 AE，BE，在ABE 外分别以 AE，BE 为边作正方形 AEMN 和 EBFG，连接 NC，AF，求证：NCAF. 3. 如图，在等腰 RtABC
11、与等腰 RtDCE 中，ABC=DCE=90 ，连接 AD，BE，求证： AB2+DE2=AD2+BE2. 4. 如图，在ABC 中，AB=AC=10，BAC=45 ，以 BC 为腰在ABC 外部作等腰 RtBCD，BCD=90 ， 连接 AD，求 AD 的长. 5. 【发现问题】如图 1，已知ABC，以点 A 为直角顶点、AB 为腰向ABC 外作等腰直角ABE请你以 A 为直角顶点、AC 为腰，向ABC 外作等腰直角ACD（不写作法，保留作图痕迹） 连接 BD、CE那 BD 与 CE 的数量关系是 BDCE 【拓展探究】如图 2，已知ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形 AEFB 和正方
12、形 ACGD，连接 BD、CE， 试判断 BD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由 【解决问题】如图 3，有一个四边形场地 ABCD，ADC60 ，BC15，AB8，ADCD，求 BD 的最大 值 【解答】 【发现问题】 解：延长 CA 到 M，作MAC 的平分线 AN， 在 AN 上截取 ADAC，连接 CD，即可得到等腰直角ACD； 连接 BD、CE，如图 1 所示： ABE 与ACD 都是等腰直角三角形， ABAE，ADAC，BAECAD90 ， BADEAC， 在BAD 和EAC 中， BADEAC（SAS） ， BDCE， 故答案为：BDCE； 【拓展探究】 解：BDCE；理由如下
13、： 四边形 AEFB 与四边形 ACGD 都是正方形， ABAE，ADAC，BAECAD90 ， BADEAC， 在BAD 和EAC 中， BADEAC（SAS） ， BDCE； 【解决问题】 解：以 AB 为边向外作等边三角形 ABE，连接 CE，如图 3 所示： 则BAE60 ，BEABAE8， ADCD，ADC60 ， ACD 是等边三角形， CAD60 ，ACAD， CAD+BACBAE+BAC， 即BADEAC， 在BAD 和EAC 中， BADEAC（SAS） ， BDCE； 当 C、B、E 三点共线时，CE 最大BC+BE15+823， BD 的最大值为 23 6. 已知线段 A
14、B直线 l 于点 B，点 D 在直线 l 上，分别以 AB、AD 为边作等边三角形 ABC 和等边三角形 ADE，直线 CE 交直线 l 于点 F （1）当点 F 在线段 BD 上时，如图，求证：DFCECF； （2）当点 F 在线段 BD 的延长线上时，如图；当点 F 在线段 DB 的延长线上时，如图，请分别写出 线段 DF、CE、CF 之间的数量关系，在图、图中选一个进行证明； （3）在（1） 、 （2）的条件下，若 BD2BF，EF6，则 CF 2 或 6 【解答】 （1）证明：如图中，设 AD 交 EF 于 O ABC，ADE 都是等边三角形， ABAC，ADAE，BACDAE60 ，
15、 BADCAE， ABDACE（SAS） ， CEBD，AEOFDO， AOEFOD， OFDOAE60 ， ABBC， ABD90 ，ABC60 ， CBF30 ， OFDCBF+BCF， FBCFCB30 ， CFBF， DFCECF （2）如图图中，结论：DFCFCE图中，结论：DFCE+CF； 如图中，ABDACE， BDEC，ADBAEC， ADB+ADF180 ， AEF+ADF180 ， DAE+DFE180 ， DFE120 ， FBCFCB30 ， FBFC， DFBFBDCFCE （3）如图 1 中，BD2DF，设 BFDFCFx， EF6，BDEC，3x6， x2CF2 如图中，设 BFCFx，则 BD2x， BDEC，EF6，6+x2x， x6，CF6， 综上所述，CF2 或 6 故答案为 2 或 6
