1、 中考数学几何模型 8：费马点最值模型 TH 名师点睛 拨开云雾 开门见山 费马尔问题思考：费马尔问题思考： 如何找一点 P 使它到ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？ 当当 B、P、Q、E 四点共线时取得最小值四点共线时取得最小值 =BPAPCP BPPQQEBE 费马点的定义：费马点的定义：数学上称，到三角形 3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于 120，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果 3 个内角均小于 120，则在三角形内部对 3 边张角均为 120的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点的性质：费马点
2、有如下主要性质： 1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120。 费马点最小值快速求解：费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋 转变换 秘诀：秘诀：以ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 已知： ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120 . 求证：GA+GB+GC 的值最小. 证明：将 BGC 逆时针旋转 60 ，连 GP,DB.则 CGBCPD； CPD=CGB=120 ,CG
3、=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60 , BCD=60 , GCP 和 BCD 都是等边三角形。 AGC=120 , CGP=60 . A、G、P 三点一线。 CPD=120 , CPG=60 . G、P、D 三点一线。 AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点 变式练习变式练习 1如图，P是边长为 1 的等边ABC内的任意一点，求tPAPBPC的取值范围. 解：将BPC绕点B顺时针旋转 60 得到BP C， 易知BPP为等边三角形. 从而PAPBPCPAPPP CA
4、C （两点之间线段最短），从而3t . 过P作BC的平行线分别交ABAC、于点MN、， 易知MNANAM. 因为在BMP和PNC中， PBMPBM， PCPNNC。 又APMANMAMN，所以PAAM. +可得 12tAMBMMPNPNCABMNNCANNC ， 即2t .综上，tPAPBPC的取值范围为32t . 例题例题 2. 已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长 解解 如图 2，连接 AC，把 AEC 绕点 C 顺时针旋转 60 ，得到 GFC，连接 EF、BG、AG， 可知 EFC、 AGC 都是等边三角形，则 EF=CE又
5、FG=AE， AE+BE+CE = BE+EF+FG 点 B、点 G 为定点（G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60 所得） 线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时 E、F 两点都在 BG 上 设正方形的边长为a，那么 BO=CO= 2 2 a，GC=2a, GO= 6 2 a BG=BO+GO = 2 2 a+ 6 2 a 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26 2 2 a+ 6 2 a=26，解得a=2 注注 本题旋转 AEB、 BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试 变式练习变式练习 2若 P 为锐角 ABC 的费马点，且ABC
6、=60 ，PA=3，PC=4, 求 PB 的值. 例题例题 3. 如图，矩形 ABCD 是一个长为 1000 米，宽为 600 米的货场，A、D 是入口，现拟在货场内建一个收 费站 P，在铁路线 BC 段上建一个发货站台 H，设铺设公路 AP、DP 以及 PH 之长度和为 l，求 l 的最小值 600m 1000m DA C P BH 【解答解答】3500600，线段 A1E 为最短 变式练习变式练习 3如图，某货运场为一个矩形场地 ABCD，其中 AB500 米，AD800 米，顶点 A，D 为两个出口，现在 想在货运广场内建一个货物堆放平台 P，在 BC 边上（含 B，C 两点）开一个货物
7、入口 M，并修建三条专用 车道 PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为 10000 元，当 M，P 建在何处时，修建专用车道的费用 最少？最少费用为多少？（结果保留整数） P1 E A1 DA C P B H 连接 AM，DM，将 ADP 绕点 A 逆时针旋转 60 ，得 APD， 由（2）知，当 M，P，P，D在同一条直线上时，AP+PM+DP 最小，最小值为 DN， M 在 BC 上， 当 DMBC 时，DM 取最小值， 设 DM 交 AD 于 E， ADD是等边三角形， EMAB500， BM400，PMEMPE500， DEAD400， DM400+500， 最少费用为 10000
8、 （400+500）1000000（4+5）元； M 建在 BC 中点 （BM400 米） 处，点 P 在过 M 且垂直于 BC 的直线上，且在 M 上方 （500） 米处，最少费用为 1000000（4+5）元 例题例题 4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个顶点的坐标分别为 A（6，0），B（6，0），C（0， 4），延长 AC 到点 D，使 CDAC，过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E （1）求 D 点的坐标； （2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连接 DF、EF，若过 B 点的直线 ykx+b 将四边形 CDFE 分 成周长相等的两个四边
9、形，确定此直线的解析式； （3）在第二问的条件下，设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 ykx+b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的 位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证 明） 【解答】解：（1）A（6，0），C（0，4） OA6，OC4，设 DE 与 y 轴交于点 M 由 DEAB 可得 DMCAOC，又CDAC ，CM2，MD3，同理可得 EM3 OM6，D 点的坐标为（3，6）； （2）由（1
10、）可得点 M 的坐标为（0，6） 由 DEAB，EMMD，可得 y 轴所在直线是线段 ED 的垂直平分线 点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在 y 轴上，ED 与 CF 互相垂直平分 CDDFFEEC，四边形 CDFE 为菱形，且点 M 为其对称中心 作直线 BM，设 BM 与 CD、EF 分别交于点 S、点 T， 可证 FTMCSM，FTCS， FECD，TESD， ECDF，TE+EC+CS+STSD+DF+FT+TS， 直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形， 由点 B（6，0），点 M（0，6）在直线 ykx+b 上，可得直线 BM 的解析式为 yx+6 （3）解
11、法解法 1 BQ=AQ， MQ2AQ 最小就是 MQAQBQ 最小，就是在直线 MO 上找点 G 使他 到 A、B、M 三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形 的信息，考虑作旋转变换 把 MQB 绕点 B 顺时针旋转 60 ，得到 MQB，连接 QQ、MM（图 5），可知 QQB、 MMB 都是等边三角形，则 QQ=BQ 又 MQ=MQ，MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ 点 A、M为定点，所以当 Q、Q两点在线段 A M上时，MQAQBQ 最小由条件可证明 Q点总 在 AM上，所以 A M与 OM 的交点就是所要的 G 点（图 6）可证 OG= 1
12、2 MG 图 5 图 6 图 7 解法解法 2 考虑 1 2 MQAQ 最小，过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K，由 OB=6，OM=6 3，可得BMO30 ， 所以 QK 1 2 MQ要使 1 2 MQAQ 最小，只需使 AQQK 最小， 根据“垂线段最短”，可推出当点 A、Q、 K 在一条直线上时，AQ+QK 最小，并且此时的 QK 垂直于 BM，此时的点 Q 即为所求的点 G（图 7） 过 A 点作 AHBM 于 H,则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点. 由 OB=6，OM=6 3，可得OBM=60 ，BAH=30 在 RtOAG 中，OG=AO tanBAH=2 3 G
13、点的坐标为（0，2 3）（G 点为线段 OC 的中点） 例题例题 5. 如图 1，已知一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 yx2+bx+c 过 A、 B 两点，且与 x 轴交于另一点 C （1）求 b、c 的值； （2）如图 1，点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE2ED，连接 CE 并延长交抛物线于点 M，求 点 M 的坐标； （3）将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15 后交 y 轴于点 G，连接 CG，如图 2，P 为 ACG 内一点，连 接 PA、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在他们的左侧作等边 APR，等
14、边 AGQ，连接 QR 求证：PGRQ； 求 PA+PC+PG 的最小值，并求出当 PA+PC+PG 取得最小值时点 P 的坐标 【解答】解：（1）一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， A（3，0），B（0，3）， 抛物线 yx2+bx+c 过 A、B 两点，解得，b2，c3 （2），对于抛物线 yx22x+3，令 y0，则x22x+30，解得 x3 或 1， 点 C 坐标（1，0）， ADDC2，点 D 坐标（1，0）， BE2ED，点 E 坐标（，1）， 设直线 CE 为 ykx+b，把 E、C 代入得到解得，直线 CE 为 yx+， 由解得或，点 M 坐标
15、（，） （3）AGQ， APR 是等边三角形， APAR，AQAG，QACRAP60 ， QARGAP， 在 QAR 和 GAP 中， QARGAP，QRPG 如图 3 中，PA+PG+PCQR+PR+PCQC， 当 Q、R、P、C 共线时，PA+PG+PC 最小， 作 QNOA 于 N，AMQC 于 M，PKOA 于 K GAO60 ，AO3， AGQGAQ6，AGO30 ， QGA60 ，QGO90 ，点 Q 坐标（6，3）， 在 RT QCN 中，QN3，CN7，QNC90 ， QC2， sinACM，AM， APR 是等边三角形，APM60 ，PMPR，cos30 ， AP，PMRM，
16、MC，PCCMPM， ，CK，PK，OKCKCO， 点 P 坐标（，） PA+PC+PG 的最小值为 2，此时点 P 的坐标（，） 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则 MA+MD+ME 的最小值为_ A BC D M E F G E M D CB A H F G E M D CB A 【分析】依然构造 60旋转，将三条折线段转化为一条直线段 分别以 AD、AM 为边构造等边ADF、等边AMG，连接 FG， 易证AMDAGF，MD=GF ME+MA+MD=ME+EG+GF 过 F 作 FHBC
17、 交 BC 于 H 点，线段 FH 的长即为所求的最小值43 3 2. 如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB2，则 AP+BP+CP 的最小值为（ ） A+ B+ C4 D3 【解答】解：如图将 ABP 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AEF， 当 E、F、P、C 共线时，PA+PB+PC 最小 理由：APAF，PAF60 ， PAF 是等边三角形， PAPFAF，EFPB， PA+PB+PCEF+PF+PC， 当 E、F、P、C 共线时，PA+PB+PC 最小， 作 EMDA 交 DA 的延长线于 M，ME 的延长线交 CB 的延长线于 N，则四边形 ABNM 是
18、矩形， 在 RT AME 中，M90 ，MAE30 ，AE2， ME1，AMBN，MNAB2，EN1， EC + PA+PB+PC 的最小值为+ 故选：B 3如图，四边形 ABCD 是菱形，AB4，且ABCABE60 ，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一 点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM，则 AM+BM+CM 的最小值为 4 【解答】解：如图，连接 MN，ABE 是等边三角形， BABE，ABE60 MBN60 ， MBNABNABEABN 即MBANBE 又MBNB， AMBENB（SAS）， AMEN， MBN60 ，MBNB， BMN
19、是等边三角形 BMMN AM+BM+CMEN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CMEC 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长， 过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F， EBF180 120 60 ， BC4， BF2，EF2，在 Rt EFC 中， EF2+FC2EC2， EC4 故答案为：4 4将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 B、C 落在格点上，点 A 在 BC 的垂直平分线上， ABC30 ，点 P 为平面内一点 （1）ACB 30 度； （2）如图，将 APC 绕点 C
20、顺时针旋转 60 ，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）； （3）AP+BP+CP 的最小值为 【解答】解（1）点 A 在 BC 的垂直平分线上 ABAC， ABCACB， ABC30 ， ACB30 故答案为 30 （2）如图 CAP就是所求的三角形 （3）如图当 B、P、P、A共线时，PA+PB+PCPB+PP+PA 的值最小， 此时 BC5，ACCA，BA 故答案为 5如图，四个村庄坐落在矩形 ABCD 的四个顶点上，AB10 公里，BC15 公里，现在要设立两个车站 E， F，则 EA+EB+EF+FC+FD 的最小值为 （15+10） 公里 【解答】解：如图 1，将 AEB 绕 A
21、 顺时针旋转 60 得 AGH，连接 BH、EG，将 DFC 绕点 D 逆时针 旋转 60 得到 DFM，连接 CM、FF， 由旋转得：ABAH，AEAG，EAGBAH60 ，BEGH， AEG 和 ABH 是等边三角形， AEEG， 同理得： DFF和 DCM 是等边三角形，DFFF，FCFM， 当 H、G、E、F、F、M 在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD 有最小值，如图 2， AHBH，DMCM， HM 是 AB 和 CD 的垂直平分线， HMAB，HMCD， AB10， ABH 的高为 5， EA+EB+EF+FC+FDEG+GH+EF+FF+FMHM15+5+515+10
22、， 则 EA+EB+EF+FC+FD 的最小值是（15+10）公理 故答案为：（15+10） 6已知，在 ABC 中，ACB30 （1）如图 1，当 ABAC2，求 BC 的值； （2）如图 2，当 ABAC，点 P 是 ABC 内一点，且 PA2，PB，PC3，求APC 的度数； （3） 如图 3， 当 AC4， AB（CBCA） ， 点 P 是 ABC 内一动点， 则 PA+PB+PC 的最小值为 【解答】解：（1）如图 1 中，作 APBC 于 P ABAC，APBC， BPPC， 在 Rt ACP 中，AC2，C30 ， PCACcos30， BC2PC2 （2）如图 2 中，将 AP
23、B 绕点 A 逆时针旋转 120 得到 QAC ABAC，C30 ， BAC120 ， PAAQ2，PBQC， PAQ120 ， PQ2， PQ2+PC2QC2， QPC90 ， APQ30 ， APC30 +90 120 （3）如图 3 中，将 BCP 绕点 C 逆时针旋转 60 得到 CBP，连接 PP，AB，则ACB90 PA+PB+PCPA+PP+PB， 当 A，P，P，B共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值AB的长， 由 AB，AC4，C30 ，可得 BCCB3， AB 故答案为 7如图 l，在 ABC 中，ACB90 ，点 P 为 ABC 内一点 （1）连接 PB，PC，将
24、BCP 沿射线 CA 方向平移，得到 DAE，点 B，C，P 的对应点分别为点 D、A、 E，连接 CE 依题意，请在图 2 中补全图形； 如果 BPCE，BP3，AB6，求 CE 的长 （2）如图 3，以点 A 为旋转中心，将 ABP 顺时针旋转 60 得到 AMN，连接 PA、PB、PC，当 AC3， AB6 时，根据此图求 PA+PB+PC 的最小值 【解答】解：（1）补全图形如图所示； 如图，连接 BD、CD BCP 沿射线 CA 方向平移，得到 DAE， BCAD 且 BCAD， ACB90 ， 四边形 BCAD 是矩形， CDAB6， BP3， DEBP3， BPCE，BPDE，
25、DECE， 在 Rt DCE 中，CE3； （2）证明：如图所示，以点 A 为旋转中心，将 ABP 顺时针旋转 60 得到 AMN，连接 BN 由旋转可得， AMNABP， MNBP，PAAM，PAM60 BAN，ABAN， PAM、 ABN 都是等边三角形， PAPM， PA+PB+PCCP+PM+MN， 当 AC3，AB6 时，BC3， sinABC， ABC30 ，ABN60 ， CBN90 当 C、P、M、N 四点共线时，PA+PB+PC 的值最小， 最小值CN3 8（1）阅读证明 如图 1，在 ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为 ABC
26、的 费马点，此时 PA+PB+PC 的值为 ABC 的费马距离 如图 2，已知点 P 为等边 ABC 外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻 ABC（其中A，B，C 均小于 120 ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图 3，在 ABC 的外部以 BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆； 第二步： 在上取一点 P0， 连接 P0A， P0B， P0C， P0D 易知 P0A+P0B+P0CP0A+ （P0B+P0C） P0A+ P0D ； 第三步：根据（1）中定义，在图 3 中找出 ABC 的费马点 P，线段 AD 的长度即为 ABC 的费
27、马距 离 （3）知识应用 已知三村庄 A，B，C 构成了如图 4 所示的 ABC（其中A，B，C 均小于 120 ），现选取一点 P 打水 井，使水井 P 到三村庄 A，B，C 所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值 【解答】解：（1）如图 2，延长 BP 至 E，使 PEPC 在等边 ABC 中，EPCBAC60 ， PCPE，PCE 为等边三角形， PCPE，PCE60 ， BCP+PCEACB+BCP， ACPBCE， 在 ACP 和 BCE 中， ， ACPBCE（SAS） APBEBP+PEBP+PC； （2）由（1）得出：第一步：如图 3，在 ABC 的外部以 BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆； 第二步：在上取一点 P0，连接 P0A，P0B，P0C，P0D易知 P0A+P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+P0D； 第三步：根据（1）中定义，在图 3 中找出 ABC 的费马点 P，线段 AD 的长度即为 ABC 的费马距离 故答案为：P0D；AD （3）如图 4，以 BC 为边在 ABC 的外部作等边 BCD，连接 AD AD 的长就是 ABC 的费马距离 可得ABD90 AD5（km） 输水管总长度的最小值为 5 千米
