1、 类型二类型二 阶梯费用类问题阶梯费用类问题 例 1某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元经市场调查，每天的销售量 y(kg)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据 如下表： 售价 x(元/kg) 50 60 70 销售量 y(kg) 100 80 60 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W 与 x 之间的函数表达式(利润收入成本)； (3)试说明(2)中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最 大利润，最大利润是多少？ 【答案】 （1）y2x200(40x
2、80)； （2）w=2x2280x8 000(40x80)； （3）当 x70 时，利润 W 取得最大值，最大值为 1 800 元 【解析】(1)根据题意，设 ykxb，其中 k，b 为待定的常数， 由表中的数据得 50kb100， 60kb80， 解得 k2， b200， y2x200(40x80)； (2)根据题意得 Wy (x40)(2x200)(x40)2x2280x 8 000(40x80)； (3)由(2)可知：W2(x70)21 800，当售价 x 在满足 40x70 的范围内，利润 W 随着x的增大而增大； 当售价在满足 70x80的范围内， 利润W随着x的增大而减小 当 x7
3、0 时，利润 W 取得最大值，最大值为 1 800 元 例 2襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品已知研发、生产 这种产品的成本为 30 元/件，且年销售量 y(万件)关于售价 x(元/件)的函数表达式为： y 2x140（40x60）， x80（60x70）. (1)若企业销售该产品获得的年利润为 W(万元)，请直接写出年利润关于售价 x(元/件)的 函数表达式； (2)当该产品的售价 x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润 是多少？ (3)若企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，试确定该产品的售价 x(元/件)的取值范 围 【答案】
4、（1）W 2x2200x4 200（40x60）， x2110x2 400（60x70）； （2）800 万（3）45x55. 【解析】(1)W 2x2200x4 200（40x60）， x2110x2 400（60x70）； (2)由(1)知，当 40x60 时，W2(x50)2800. 2600，W 最大值为 800 万元 答：当该产品的售价定为 50 元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为 800 万元； (3)当 40x60 时，令 W750，得 2(x50)2800750，解得 x145，x255. 由函数 W2(x50)2800 的性质可知， 当 45x55 时，W750，
5、当 60x70 时，W 最大值为 600750. 答：要使企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，该产品的销售价 x(元/件)的取值范 围为 45x55. 例 3荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销 售旺季的 80 天里，销售单价 p(元/kg)与时间第 t 天之间的函数关系为 p 1 4t16（1t40，t为整数）， 1 2t46（41t80，t为整数）， 日销售量 y(kg)与时间第 t 天之间的函数关系如图 3 31 所示 (1)求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日
6、销售利润不低于 2 400 元？ (4)在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 kg 小龙虾，就捐赠 m(m7)元给村 里的特困户在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围 【答案】 （1）y2t200(1t80，t 为整数)； （2）W(p6)y （3）21 天（4）5m7. 【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得； (2)设日销售利润为 W，分 1t40 和 41t80 两种情况，根 据“总利润每千克利润 销售”列出函数表达式，由二次函 数的性质分别求得最值即可判断； (3)求出 W2 400 时 x 的值，结合函数
7、图象即可得出答案； (4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由 1t40 且销售利润随时间 t 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案 解：(1)设函数表达式为 yktb， 将(1，198)，(80，40)代入，得 198kb， 4080kb，解得 k2， b200， y2t200(1t80，t 为整数)； (2)设日销售利润为 W，则 W(p6)y， 当 1t40 时，W 1 4t166 (2t200) 1 2(t30) 22 450， 当 t30 时，W最大2 450； 当 41t80 时，w 1 2t466 (2t200)(t90) 2100， 当 t41 时，W最大2
8、 301， 2 4502 301， 第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2 450 元； (3)由(2)得当 1t40 时，W1 2(t30) 22 450， 令 W2 400，即1 2(t30) 22 4502 400，解得 t 120，t240， 由函数 W1 2(t30) 22 450 的图象(如答图)可知，当 20t40 时，日销售利润不低于 2 400 元， 图 331 第 3 题答图 而当 41t80 时，W最大2 3012 400， t 的取值范围是 20t40，共有 21 天符合条件； (4)设日销售利润为 W，根据题意，得 W 1 4t166m (2t200) 1 2
9、t 2(302m)t2 000200m，其函数图象的对称 轴为 t2m30， W 随 t 的增大而增大，且 1t40， 由二次函数的图象及其性质可知 2m3040， 解得 m5，又m7，5m7. 例 4小慧和小聪沿图 332中景区公路游览小慧乘坐车速为 30 km/h 的电动汽车， 早上 7：00 从宾馆出发，游玩后中午 12：00 回到宾馆小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆， 速度为 20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午 10： 00 小聪到达宾馆图中的图象分别表示两人离宾馆的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关 系试结合图中信息回答： 图 332 (1)小
10、聪上午几点钟从飞瀑出发？ (2)试求线段 AB，GH 的交点 B 的坐标，并说明它的实际意义； (3)如果小聪到达宾馆后，立即以 30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇 见小慧？ 【答案】 （1）7:30（2）如下（3）11:00 【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为 50 202.5(h)， 小聪上午 10：00 到达宾馆， 小聪从飞瀑出发的时刻为 102.57.5，即 7：30. 答：小聪早上 7：30 从飞瀑出发； (2)设直线 GH 的函数表达式为 sktb， 由于点 G 的坐标为 1 2，50 ，点 H 的坐标为(3，0)， 则有 501 2kb， 03kb，
11、 解得 k20， b60， 直线 GH 的函数表达式为 s20t60， 又点 B 的纵坐标为 30， 当 s30 时，得20t6030，解得 t3 2， 点 B 的坐标为 3 2，30 . 答：点 B 的实际意义是上午 8：30 小慧与小聪在离宾馆 30 km(即景点草甸)处第一次相 遇； (3)方法一：设直线 DF 的函数表达式为 sk1tb1，该直线过点 D 和 F(5，0)， 由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为 50 305 3(h)， 小慧从飞瀑准备返回时 t55 3 10 3 (h)， 即点 D 的坐标为 10 3 ，50 . 则有 10 3 k1b150， 5k1b10， 解得 k1
12、30， b1150. 直线 DF 的函数表达式为 s30t150， 小聪上午 10： 00 到达宾馆后立即以 30 km/h 的速度返回飞 瀑，所需时间为 50 305 3(h) 如答图，HM 为小聪返回时 s 关于 t 的函数图象， 点 M 的横坐标为 35 3 14 3 ，M 14 3 ，50 ， 第 4 题答图 设直线 HM 的函数表达式为 sk2tb2，该直线过点 H(3，0)和 M 14 3 ，50 ， 则有 5014 3 k2b2， 03k2b2， 解得k230， b290. 直线 HM 的函数表达式为 s30t90， 由 30t9030t150，解得 t4，即 11：00. 答：
13、小聪返回途中上午 11：00 遇见小慧； 方法二：如答图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q，由题意，可得点 E 的纵坐标为两人相遇时 距宾馆的路程， 又两人速度均为 30 km/h， 该路段两人所花时间相同，即 HQQF， 点 E 的横坐标为 4. 答：小聪返回途中上午 11：00 遇见小慧 例 5月电科技有限公司用 160 万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需 的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为 4 元/件， 在销售过程中发现：每年的年销售量 y(万件)与销售价格 x(元/件)的关系如图 333 所 示，其中 AB 为反比例函数图象的一部分，B
14、C 为一次函数图象的一部分设公司销售这 种电子产品的年利润为 W(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润； 若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本) 图 333 (1)请求出 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式 (2)求出第一年这种电子产品的年利润 W(万元)与 x(元/件)之间的函数关系式，并求出第 一年年利润的最大值 (3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 W(万元)取得最大值时进行销售，现根 据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 x(元)定在 8 元以上(x 8)，当第二年的年利润不低于 103 万元时，请结合年利润 W(万元)与销售价格
15、 x(元/件) 的函数示意图，求销售价格 x(元/件)的取值范围 【答案】 （1）y 160 x （4x8）， x28（8x28）； （2）当每件的销售价格定为 16 元时，第一年 的年利润的最大值为16 万元 （3）当 11x21 时，第二年的年利润 W 不低于 103 万 元 【解析】 (1)求 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已 知点坐标，运用待定系数法可求； (2)根据“年利润年销售量 每件的利润成本(160万元)”， 可求出年利润W(万元)与x(元 /件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征 分别求出最大值
16、，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值； (3)根据条件“第二年的年利润不低于 103 万元”， 可得 W103， 这是一个一元二次不等式， 观察年利润 W(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，从而得出结果 解：(1)当 4x8 时，设 yk x，将 A(4，40)代入，得 k4 40160. y 与 x 之间的函数关系式为 y160 x . 当 8x28 时， 设 ykxb， 将 B(8， 20)， C(28， 0)代入， 得 8kb20， 28kb0. 解得 k1， b28. y 与 x 之间的函数关系式为 yx28. 综上所述，得 y 160 x （4x8），
17、x28（8x28）； (2)当 4x8 时，W(x4) y160(x4) 160 x 160640 x . W 随着 x 的增大而增大， 当 x8 时，Wmax640 8 80. 当 8x28 时，W(x4) y160 (x4) (x28)160x232x272(x 16) 216. 当 x16 时，Wmax16.1680， 当每件的销售价格定为 16 元时，第一年的年利润的最大值为16 万元 (3)第一年的年利润为16 万元 16 万元应作为第二年的成本 又x8， 第二年的年利润 W(x4)(x28)16 x232x128， 令 W103，则x232x128103，解得 x111，x2 21
18、. 在平面直角坐标系中，画出 W 与 x 的函数示意图如答图，观察示意图可知：当 W103 时，11x21. 当 11x21 时，第二年的年利润 W 不低于 103 万元 例 6某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/ 斤，并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第 1 天算起， 第 x 天(x 为正数)的售价、 销量及储存和损耗费用的相关 信息如表所示已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)， 求 y 与 x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大
19、？ 时间 x(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120x 储存和损耗费用 (元) 403x 3x264x400 (3)在(2)的条件下，若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在 第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】 （1）10（2）10（3）0.5 元 【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格为 10(1x)，第 二次降价后的价格为 10(1x)2，进而可得方程； (2)分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价) 销量储存和损耗
20、费用”，再分别求利 润的最大值，比较大小确定结论； (3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降 a 元，利用不等关系“(2)中最大利润(8.1a 第 5 题答图 4.1) 销量储存和损耗费用127.5”求解 解：(1)设该种水果每次降价的百分率为 x，依题意， 得 10(1x)28.1， 解得 x10.110%，x21.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为 10%. (2)第一次降价后的销售价格为 10 (110%)9(元/斤)， 当 1x9 时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352； 当 9x15 时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80， 综上所述，y 与 x 的函数关系式为 y 17.7x352（1x9，x为整数）， 3x260x80（9x15，x为整数）. 当 1x9 时，y17.7x352， 当 x1 时，y最大334.3(元)； 当 9x15 时，y3x260x803(x10)2380， 当 x10 时，y最大380(元) 334.3380， 在第 10 天时销售利润最大 (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 a 元，依题意，得 380(8.1a4.1)(12015)(3 15264 15400)127.5，解得 a0.5， 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元
