1、 中考数学几何模型 11：阿氏圆最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题 【模型来源】【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k1），则满足条 件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】【模型建立】 如图 1 所示，O 的半径为 R，点 A、B 都在O 外 ，P 为O 上一动点，已知 R= 2 5 OB，
2、 连接 PA、PB，则当“PA+ 2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：解决办法：如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC= 2 5 R，则可说明 BPO 与 PCO 相似，则有 2 5 PB=PC。 故本题求 “PA+ 2 5 PB” 的最小值可以转化为 “PA+PC” 的最小值， 其中与 A 与 C 为定点， P 为动点， 故当 A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】【技巧总结】 计算计算PA k PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点问题：
3、在圆上找一点 P 使得使得PA k PB的值最小，解决步骤具体如下：的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB 3. 在 OB 上取一点 C，使得 OC k OP ，即构造 POMBOP，则 PC k PB ，PCk PB 4. 则=PA k PB PAPCAC，当 A、P、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C
4、上一个动点，则 1 2 PAPB的最小值为_ E A B C D P M P D C B A 【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 2 PA，此处 P 点轨迹是圆，注意到圆 C 半径为 2，CA=4， 连接 CP，构造包含线段 AP 的CPA，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2， 连接 PM，可得CPACMP，故 PA：PM=2:1，即 PM= 1 2 PA 问题转化为 PM+PBBM 最小值，故当 B，P，M 三点共线时得最小值，直接连 BM 即可得13 变式练习变式练习 1如图 1，在 RTABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，圆 C 的半径为 2，点 P 为圆上一动点，连接
5、 AP,BP， 求BPAP 2 1 ，BPAP 2，BPAP 3 1 ，BPAP3的最小值. 答案答案：=37 ， =237，= 3 372 ，=2 37. 例题例题2. 如图， 点C坐标为(2,5)， 点A的坐标为(7,0)， C的半径为10,点B在C上一动点，ABOB 5 5 的最小值为_. 答案答案：5. 变式练习变式练习 2如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以 M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是 M 上一动点，则 PO+2PA 的最小值为_. 答案答案：10. 例题例题 3. 如图， 半圆的半径为 1， AB 为直径， AC、 BD 为切线，
6、 AC1， BD2， P 为上一动点， 求PC+PD 的最小值 【解答】解：如图当 A、P、D 共线时，PC+PD 最小理由： 连接 PB、CO，AD 与 CO 交于点 M， ABBD4，BD 是切线，ABD90 ，BADD45 ， AB 是直径，APB90 ， PABPBA45 ，PAPB，POAB， ACPO2，ACPO，四边形 AOPC 是平行四边形， OAOP，AOP90 ，四边形 AOPC 是正方形， PMPC，PC+PDPM+PDDM， DMCO，此时PC+DP 最小ADAM2 变式练习变式练习 3如图，四边形 ABCD 为边长为 4 的正方形，B 的半径为 2，P 是B 上一动点
7、，则 PD+PC 的最小值 为 5 ；PD+4PC 的最小值为 10 【解答】解：如图，连接 PB、在 BC 上取一点 E，使得 BE1 PB24，BEBC4，PB2BEBC，PBECBE， PBECBE，PD+PCPD+PE， PE+PDDE，在 Rt DCE 中，DE5， PD+PC 的最小值为 5 连接 DB，PB，在 BD 上取一点 E，使得 BE，连接 EC，作 EFBC 于 F PB24，BEBD 44，BP2BEBD， ，PBEPBD，PBEDBP， ，PEPD， PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC）， PE+PCEC，在 Rt EFC 中，EF，FC，EC， PD+4P
8、C 的最小值为 10故答案为 5，10 例题例题 4. 如图，已知正方 ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点 P 是圆 B 上的一个动点，则 1 2 PDPC的 最大值为_ A BC D P 【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3，根据题意要求构造 1 2 PC，在 BC 上取 M 使得此时 PM= 3 2 ， 则在点 P 运动的任意时刻， 均有 PM= 1 2 PC， 从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值 连接 PD， 对于PDM， PD-PMDM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值15 2 A BC D P MM P D CB A A BC
9、 D P MM P D CB A 变式练习变式练习 4 （1） 如图 1， 已知正方形 ABCD 的边长为 9， 圆 B 的半径为 6， 点 P 是圆 B 上的一个动点， 那么 PD+ 的最小值为 ，PD的最大值为 （2）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60 ，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为 ，PD的最大值为 图 1 图 2 【解答】解：（1）如图 3 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG4 ， ，PBGPBC， PBGCBP， ，PGPC， PD+PCDP+PG， DP+PGDG， 当 D、G、P 共线时，PD+PC 的值最小，最
10、小值为 DG PDPCPDPGDG， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大，最大值为 DG 故答案为， （2）如图 4 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG1，作 DFBC 于 F 2，2， ，PBGPBC， PBGCBP， ， PGPC， PD+PCDP+PG， DP+PGDG，当 D、G、P 共线时，PD+PC 的值最小，最小值为 DG， 在 Rt CDF 中，DCF60 ，CD4， DFCDsin602，CF2， 在 Rt GDF 中，DG PDPCPDPGDG， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大（如图 2 中），最大值为 DG 故答案为， 例题例题
11、 5. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4，4），B（0，4）两点，直线 AC：y= 1 2 x6 交 y 轴于点 C点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G （1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式； （2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标； （3）在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H 为顶点的四边形是 矩形？求出此时点 E，H 的坐标；在的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为E 上一动 点，求 1
12、2 AM+CM 它的最小值 【解答】解：（1）点 A（4，4），B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上， ，抛物线的解析式为 y=x22x+4； （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点 A，B， ，直线 AB 的解析式为 y=2x+4， 设 E（m，2m+4），G（m，m22m+4）， 四边形 GEOB 是平行四边形，EG=OB=4， m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）； （3）如图 1， 由（2）知，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，设 E（a，2a+4）， 直线 AC：y= 1 2 x6，F（a， 1 2 a6），设 H（0，p）， 以点 A，E，F，H 为
13、顶点的四边形是矩形， 直线 AB 的解析式为 y=2x+4，直线 AC：y= 1 2 x6， ABAC，EF 为对角线， 1 2 （4+0）= 1 2 （a+a）， 1 2 （4+p）= 1 2 （2a+4 1 2 a6）， a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）； 如图 2， 由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4）， EH=5，AE=25，设 AE 交E 于 G，取 EG 的中点 P，PE= 5 2 ， 连接 PC 交E 于 M，连接 EM，EM=EH=， 5 2 5 PE ME = 1 2 ， 5 2 5 ME AE = 1 2 ， PEME MEAE = 1 2 ， PEM=M
14、EA，PEMMEA， PEME MEAE = 1 2 ， PM= 1 2 AM， 1 2 AM+CM 的最小值=PC，设点 P（p，2p+4）， E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2， PE= 5 2 ，5（p+2）2= 5 4 ， p= 5 2 或 p= 3 2 （由于 E（2，0），所以舍去），P（ 5 2 ，1）， C（0，6），PC= 5 5 2 ，即： 1 2 AM+CM= 5 5 2 变式练习变式练习 5如图 1，抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一 动点 E （m， 0） （
15、0m4） ， 过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N， 交抛物线于点 P， 过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； （2）设 PMN 的周长为 C1， AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 （0 90 ），连 接 EA、EB，求 EA+EB 的最小值 【解答】解：（1）令 y0，则 ax2+（a+3）x+30， （x+1）（ax+3）0，x1 或， 抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0）， 4，aA（4，0），B（0
16、，3）， 设直线 AB 解析式为 ykx+b，则，解得， 直线 AB 解析式为 yx+3 （2）如图 1 中，PMAB，PEOA， PMNAEN，PNMANE，PNMANE， NEOB，AN（4m）， 抛物线解析式为 yx2+x+3， PNm2+m+3（m+3）m2+3m， ，解得 m2 （3）如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OEOE OE2，OMOB 34， OE2OMOB， ，BOEMOE， MOEEOB， ， MEBE， AE+BEAE+EMAM，此时 AE+BE最小 （两点间线段最短，A、M、E共线时）， 最小值AM 达标检测 领
17、悟提升 强化落实 1. 如图，在 RTABC 中，B=90，AB=CB=2，以点 B 为圆心作圆与 AC 相切，圆 C 的半径为2，点 P 为 圆 B 上的一动点，求PCAP 2 2 的最小值. 答案答案：5. 2. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为O，P 是O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为_. 答案答案：2 5. 3. 如图，等边 ABC 的边长为 6，内切圆记为O，P 是O 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为_. 答案答案： 3 7 2 . 4. 如图，在 RtABC 中， C=90， CA=3，CB=4，C的半径为 2，点 P 是C上的一动点，则 1 2 APPB 的最
18、小值为？ 5. 如图，在平面直角坐标系中，2,0A，0,2B，4,0C，3,2D，P 是AOB 外部第一象限内的 一动点，且BPA=135，则2PDPC的最小值是多少？ 答案答案4 2 6. 如图，Rt ABC，ACB90 ，ACBC2，以 C 为顶点的正方形 CDEF（C、D、E、F 四个顶点按逆 时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且 CD，连接 AF，BD （1）求证： BDCAFC； （2）当正方形 CDEF 有顶点在线段 AB 上时，直接写出 BD+AD 的值； （3）直接写出正方形 CDEF 旋转过程中，BD+AD 的最小值 【解答】（1）证明：如图 1 中， 四边形 CDEF
19、是正方形， CFCD，DCFACB90 ， ACFDCB， ACCB， FCADCB（SAS） （2）解：如图 2 中，当点 D，E 在 AB 边上时， ACBC2，ACB90 ， AB2， CDAB， ADBD， BD+AD+1 如图 3 中，当点 E，F 在边 AB 上时 BDCF，AD， BD+AD+ （3）如图 4 中取 AC 的中点 M连接 DM，BM CD，CM1，CA2， CD2CMCA， ，DCMACD， DCMACD， ， DMAD， BD+ADBD+DM， 当 B，D，M 共线时，BD+AD 的值最小， 最小值 7. （1）如图 1，在 ABC 中，ABAC，BD 是 AC
20、 边上的中线，请用尺规作图做出 AB 边上的中线 CE，并 证明 BDCE： （2）如图 2，已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，PA3，求 PC+PD 的最小值； （3）如图 3，在矩形 ABCD 中，AB18，BC25，点 M 是矩形内部一动点，MA15，当 MC+MD 最小时，画出点 M 的位置，并求出 MC+MD 的最小值 【解答】解：（1）如图 1 中，作线段 AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 E，连接 EC线段 EC 即为所求； ABAC，AEEC，ADCD，AEAD， ABAC，AA，ADAE，BADCAE（SAS）， BDCE （2）如图 2 中，
21、在 AD 上截取 AE，使得 AE PA29，AEAD 69，PA2AEAD， ，PAEDAP， PAEDAP，PEPD， PC+PDPC+PE， PC+PEEC，PC+PD 的最小值为 EC 的长， 在 Rt CDE 中，CDE90 ，CD6，DE， EC，PC+PD 的最小值为 （3）如图 3 中，如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE9 MA2225，AEAD9 25225，MA2AEAE， ，MAEDAM，MAEDAM， ，MEMD，MC+MDMC+ME， MC+MEEC，MC+MD 的最小值为 EC 的长， 在 Rt CDE 中，CDE90 ，CD18，DE16， EC2，MC+MD 的最小值为 2
