1、 类型二类型二 图形规律图形规律 例 1.将一些相同的“ ”按如图所示摆放，观察每个图形中的“ ”的个数，若第 n 个图形中“ ”的 个数是 78，则 n 的值是( ) 第 1 题图 A11 B12 C13 D14 【答案】B 【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第 n 个图形中，小圆的个数为n（n1） 2 ，由此 可得方程n（n1） 2 78，解得 n12，故选 B. 例 2. 如图，在第 1 个 A1BC 中，B30 ，A1BCB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到 A2，使 A1A2A1D，得到第 2 个 A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2到 A3，
2、使 A2A3A2E，得到第 3 个 A2A3E，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An为 顶点的内角度数是( ) 第 2 题图 A. (1 2) n 75 B. (1 2) n1 65 C. (1 2) n1 75 D. (1 2) n 85 【答案】C 【解析】在 CBA1中，B30 ，A1BCB，BA1C180 B 2 75 ，A1A2A1D， BA1C 是 A1A2D 的外角， DA2A11 2BA1C 1 2 75 ； 同理可得， EA3A2( 1 2) 2 75 ， FA4A3(1 2) 3 75 ，第 n 个三角形中以 A n为顶点的内角度数是(1 2) n1 7 例 3.
3、 下列图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第个图形中一共有 4 颗 ，第 个图形中一共有 11 颗 ，第个图形中一共有 21 颗 ，按此规律排列下去，第个 图形中 的颗数为( ) 第 3 题图 116 B. 144 C. 145 D. 150 【答案】 B 【解析】 将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方， 第 n 个组合图形可看作是由下半部分为 n 行 n 列方阵和上半部分的梯形成，第 n 个图中方阵中的为(n1)2，梯形中为2n 2 (n1) n 2n2 2 ，第 n 个图中的的个数为(n1)2n 2n2 2 3n 2 2 5n 2 ，令 n9，解得第 9 个 中个数为 144 个
4、例 4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，O3，组 成一条平滑的曲线点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2个单位长度， 则第 2017 秒时，点 P 的坐标是( ) 第 4 题图 A. (2014，0) B. (2015，1) C. (2017，1) D. (2016，0) 【答案】C 【解析】由图象可知，半圆的周长为 ，运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为(2， 0)，三秒后的坐标为(3，1)，四秒后的坐标为(4，0)，其中纵坐标以 1，0，1，0 循 环变化，2017 45041，第 2017 秒时，点 P 的坐标为(2
5、017，1) 例 5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形第 1 幅图 形中“ ”的个数为 a1，第 2 幅图形中“ ”的个数为 a2，第 3 幅图形中“ ”的个数为 a3，以此 类推，则1 a1 1 a2 1 a3 1 a19的值为( ) 第 5 题图 A.20 21 B. 61 84 C. 589 840 D. 431 760 【答案】C 【解析】由所给图形可知，a13221(11)21，a28321(21)21，a315 421(31)21，a424521(41)21，由此猜想 an(n1)21n(n2)， 1 a1 1 a2 1 a3 1 a19 1
6、3 1 8 1 15 1 19 21 1 2 (1 1 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 18 1 20 1 19 1 21) 1 2 (1 1 2 1 20 1 21) 589 840. 例 6.如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置，继续绕右下 角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置，依此类推，这样连续旋转 2017 次若 AB4， AD3，则顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为( ) 第 6 题图 A. 2017 B. 2034 C. 3024 D. 3026 【答案】D 【解析】AB4，AD3，ACBD5，转动一次 A 的路线长是904
7、 180 2，转动第二 次 A 的路线长是905 180 5 2， 转动第三次 A 的路线长是 903 180 3 2， 转动第四次 A 的路线长 是 0，以此类推，每四次一个循环，且顶点 A 转动一个循环的路线长为：5 2 3 226， 2017 45041，顶点 A 转动 2017 次经过的路线长为：650423026. 例 7. 如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋 转 45 ，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为( ) 第 7 题图 A.(1，1) B. (1，1) C. ( 2，0) D. (0， 2) 【答案】
8、B 【解析】菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，点 B 的坐标是(2，2)，BO 与 x 轴的夹角为 45 ， 菱形的对角线互相垂直平分，点 D 是线段 OB 的中点，点 D 的坐标是(1，1) ，菱 形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45 ，360 45 8，每旋转 8 秒，菱形的对角线交点就 回到原来的位置(1，1)，60 874，第 60 秒时是把菱形绕点 O 逆时针旋转了 7 周 回到原来位置后， 又旋转了 4 秒， 即又旋转了 4 45 180 ， 点 D 的对应点落在第三象限， 且对应点与点 D 关于原点 O 成中心对称， 第 60 秒时， 菱形的对角线交点 D 的坐标为(1，
9、1) 例 8. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图所示的图案，第二次 拼成形如图所示的图案， 第三次拼成形如图所示的图案， 第四次拼成形如图所示的图 案按照这样的规律进行下去，第 n 次拼成的图案共用地砖_块 第 8 题图 地砖图案 【答案】2n22n 【解析】4，42 4，42 42 6，故第 n 个图形共有 42 42 62 2n 44 24 34n4(123n)4 n（n1） 2 2n22n. 例 9.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第 1 个图形的周长为 4， 第 2 个图形的周长为 10，第 3 个图形的周长为 18，按此规律排列，第 5 个
10、图形的周长 为_ 第 9 题图 【答案】40 【解析】第一个图形周长 1 21 2；第二个图形周长(21) 22 2；第三个图形周长(32 1) 22 3；第四个图形周长(4321) 22 4；第五个图形周长(54321) 2 2 540. 例 10. 如图，在 ABC 中，BC1，点 P1、M1分别是 AB、AC 边的中点，点 P2、M2分别 是 AP1、AM1的中点，点 P3、M3分别是 AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长 为_(n 为正整数) 第 10 题图 【答案】 1 2n 【解析】在 ABC 中，BC1，P1、M1分别是 AB、ACnnnn 的中点，P1M11 2
11、BC 1 2， 按照题设给定的规律，列表如下： 图形序号 PnMn PnMn的长 度 P1M1 1 2 P2M2 1 4 1 22 P3M3 1 8 1 23 n PnMn 1 2n 例 11. 正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图所示放置，点 A1、A2、A3在直线 yx1 上，点 C1、C2、C3在 x 轴上，则 An的坐标是_ 第 11 题图 【答案】(2n 11，2n1) 【解析】点 A1、A2、A3在直线 yx1 上，A1的坐标是(0，1)，即 OA11，四边 形 A1B1C1O 为正方形，OC11，即点 A2的横坐标为 1，A2的坐标是(1，2)，A2C
12、12， 四边形 A2B2C2C1为正方形， C1C2 2， OC2 123， 即点 A3的横坐标为 3， A3 的坐标是(3，4)，观察可以发现：A1的横坐标是：0201，A1的纵坐标是：120； A2的横坐标是：1211，A2的纵坐标是：221；A3的横坐标是：3221，A3的纵坐标 是：422；据此可以得到 An的横坐标是：2n 11，纵坐标是：2n1.所以点 A n的坐标是 (2n 11，2n1) 例 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线 l1，l2，过点(1， 0)作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过点 A1作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过
13、点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过点 A3作 y 轴的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2017的坐标为 _ 第 12 题图 第 13 题图 【答案】(21008，21009) 【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A2(2，2)，A3(2，4)，A4(4，4)，A5(4，8)， A2n1(2)n， 2(2)n)， A2n2(2)n 1， 2(2)n， (n 为自然数)， 20171008 21， A 2017 的坐标为(2)1008，2(2)1008)(21008，21009) 例13. 如图，MON60 ，作边长为 1 的正六边形 A1B1C1D1E1F1，边 A
14、1B1、F1E1分别在射 线 OM、ON 上，边 C1D1所在的直线分别交 OM、ON 于点 A2、F2，以 A2F2为边作正六边 形 A2B2C2D2E2F2，边 C2D2所在的直线分别交 OM、ON 于点 A3、F3，再以 A3F3为边作正六 边形 A3B3C3D3E3F3，依此规律，经第 n 次作图后，点 Bn到 ON 的距离是_ 【答案】3n 1 3 【解析】 由题可知， MON60 ， 不妨设 Bn到 ON 的距离为 hn， 正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，则 A1B11，易知 A1OF1为等边三角形，A1B1OA11，OB12，则 h12 3 2 3，又 OA2A
15、2F2A2B23，OB26，则 h26 3 2 3 3，同理可求：OB3 18，则 h318 3 2 9 3，依此可求：OBn2 3n 1，则 h n2 3 n1 3 2 3n 1 3，Bn 到 ON 的距离 hn3n 1 3. 例 14. 如图，Rt OA0A1在平面直角坐标系内，OA0A190 ，A0OA130 ，以 OA1为 直角边向外作 Rt OA1A2，使OA1A290，A1OA230 ，以 OA2为直角边向外作 Rt OA2A3，使OA2A390 ，A2OA330 ，按此方法进行下去，得到 Rt OA3A4， Rt OA4A5，Rt OA2016A2017，若点 A0(1，0)，则
16、点 A2017的横坐标为_ 第 14 题图 【答案】(4 3) 1008 【解析】由题意可知，经过 12 次变换后，点 A13落在射线 OA1上，2017 121681， 点 A2017落在射线 OA1上，其横坐标与点 A2016相同，OA01，经过 12 次变换后，OA12 (2 3 3 )12，再经过 12 次变换后，OA24(2 3 3 )24，综上可猜想，OA2016(2 3 3 )2016(4 3) 1008， 点 A2017的横坐标为(4 3) 1008. 例 15. 如图， 直线 y 3 3 x 上有点 A1， A2， A3， ， An1， 且 OA11， A1A22， A2A3
17、4， ， AnAn12n，分别过点 A1，A2，A3，An1作直线 y 3 3 x 的垂线，交 y 轴于点 B1，B2， B3， ， Bn1， 依次连接 A1B2， A2B3， A3B4， ， AnBn1， 得到 A1B1B2， A2B2B3， A3B3B4， ， AnBnBn1，则 AnBnBn1的面积为_(用含正整数 n 的式子表示) 第 15 题图 【答案】 3 2 22n 3 2 2n 【解析】如解图，作 A1C1x 轴于 C1，A2C2x 轴于 C2，AnCnx 轴于 Cn，点 An在直线 上 y 3 3 x，A1C1 OC1 A2C2 OC2 AnCn OCn 3 3 ，AnOCn
18、30 ，OCn 3 2 OAn 3 2 (1222 2n 1)，A nOBn60 ，BnAnOAn，OBn2OAn， BnBn12OAn12OAn2AnAn12 2n2n 1. 第 15 题解图 S AnBnBn11 2BnBn1 OCn 1 2 2 n13 2 (12222n 1)，设 S1242n1，则 2S242n 12n，S2SS(242n12n)(1242n1)2n 1 ，综上可知 S AnBnBn11 2 2 n1 3 2 (2n1) 3 2 22n 3 2 2n. 例16. 如图， AOB60 ， 点O1是AOB平分线上一点， OO12， 作O1A1OA， O1B1OB， 垂足分
19、别为 A1，B1，以 A1B1为边作等边三角形 A1B1O2；作 O2A2OA，O2B2OB，垂足 分别为 A2，B2，以 A2B2为边作等边三角形 A2B2O3；作 O3A3OA，O3B3OB，垂足分别 为 A3，B3，以 A3B3为边作等边三角形 A3B3O4；，按这样的方法继续下去，则 AnBnOn 的面积为_(用含正整数 n 的代数式表示) 【答案】3 2n2 4n 3 【解析】 AOB60 ， OOn平分AOB， AOOn30 ， A1O1AO， OO12， A1O1 1 ， OA13 .O1A1OA ， O1B1OB ， O1A1 O1B1， O1O O1O ， Rt O1A1OR
20、t O1B1O(HL)，OA1OB1，A1OB160 ，A1OB1是等边三角 形，A1B1OA1 3，A1O2B1是等边三角形，A1O2A1B1 3，在 Rt A1O2A2 中， O2A1A260 ， A1O2 3， A2O2 3 2 A1O23 2O1A1， 同理 A3O3 3 2 A2O3(3 2) 2A 1O1， AnOn(3 2) n1A 1O1. 又 S O1A1B12S O1A1OS A1B1O2 1 2 1 3 3 4 ( 3)2 3 4 . 易 得 AnOnBn A1O1B1 120， AnOn BnOn， AnOn A1O1 BnOn B1O1 ， A1O1B1AnOnBn， SAnBnOn SA1B1O1 (AnOn A1O1) 2(3 2) 2n2.S A nBnOn3 2n2 4n 3.
