1、 中考数学几何模型 8：费马点最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 费马尔问题思考：费马尔问题思考： 如何找一点 P 使它到ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？ 当当 B、P、Q、E 四点共线时取得最小值四点共线时取得最小值 =BPAPCP BPPQQEBE 费马点的定义：费马点的定义：数学上称，到三角形 3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于 120，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果 3 个内角均小于 120，则在三角形内部对 3 边张角均为 120的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点的性质：费马点有如下
2、主要性质： 1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120。 费马点最小值快速求解：费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋 转变换 秘诀：秘诀：以ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 已知： ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120 . 求证：GA+GB+GC 的值最小. 变式练习变式练习 1如图，P是边长为 1 的等边ABC内的任意一点，求tPAPBPC的取值范围. 例题例题 2
3、. 已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长 变式练习变式练习 2若 P 为锐角 ABC 的费马点，且ABC=60 ，PA=3，PC=4, 求 PB 的值. 例题例题 3. 如图，矩形 ABCD 是一个长为 1000 米，宽为 600 米的货场，A、D 是入口，现拟在货场内建一个收 费站 P，在铁路线 BC 段上建一个发货站台 H，设铺设公路 AP、DP 以及 PH 之长度和为 l，求 l 的最小值 600m 1000m DA C P BH 变式练习变式练习 3如图，某货运场为一个矩形场地 ABCD，其中 AB500 米，AD800 米，
4、顶点 A，D 为两个出口，现在 想在货运广场内建一个货物堆放平台 P，在 BC 边上（含 B，C 两点）开一个货物入口 M，并修建三条专用 车道 PA，PD，PM若修建每米专用车道的费用为 10000 元，当 M，P 建在何处时，修建专用车道的费用 最少？最少费用为多少？（结果保留整数） 例题例题 4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个顶点的坐标分别为 A（6，0），B（6，0），C（0， 4），延长 AC 到点 D，使 CDAC，过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E （1）求 D 点的坐标； （2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连接 DF、EF，
5、若过 B 点的直线 ykx+b 将四边形 CDFE 分 成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）在第二问的条件下，设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 ykx+b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的 位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短 （要求：简述确定 G 点位置的方法，不要求证明） 例题例题 5. 如图 1，已知一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 yx2+bx+c 过 A、 B 两点，且与
6、x 轴交于另一点 C （1）求 b、c 的值； （2）如图 1，点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE2ED，连接 CE 并延长交抛物线于点 M，求 点 M 的坐标； （3）将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15 后交 y 轴于点 G，连接 CG，如图 2，P 为 ACG 内一点，连 接 PA、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在他们的左侧作等边 APR，等边 AGQ，连接 QR 求证：PGRQ； 求 PA+PC+PG 的最小值，并求出当 PA+PC+PG 取得最小值时点 P 的坐标 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC
7、=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则 MA+MD+ME 的最小值为_ A BC D M E 2. 如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB2，则 AP+BP+CP 的最小值为（ ） A+ B+ C4 D3 3如图，四边形 ABCD 是菱形，AB4，且ABCABE60 ，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一 点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM，则 AM+BM+CM 的最小值为 4将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 B、C 落在格点上，点 A 在 BC 的垂直平分线上， ABC30
8、，点 P 为平面内一点 （1）ACB 度； （2）如图，将 APC 绕点 C 顺时针旋转 60 ，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）； （3）AP+BP+CP 的最小值为 5如图，四个村庄坐落在矩形 ABCD 的四个顶点上，AB10 公里，BC15 公里，现在要设立两个车站 E， F，则 EA+EB+EF+FC+FD 的最小值为 公里 6已知，在 ABC 中，ACB30 （1）如图 1，当 ABAC2，求 BC 的值； （2）如图 2，当 ABAC，点 P 是 ABC 内一点，且 PA2，PB，PC3，求APC 的度数； （3） 如图 3， 当 AC4， AB（CBCA）， 点 P 是 A
9、BC 内一动点， 则 PA+PB+PC 的最小值为 7如图 l，在 ABC 中，ACB90 ，点 P 为 ABC 内一点 （1）连接 PB，PC，将 BCP 沿射线 CA 方向平移，得到 DAE，点 B，C，P 的对应点分别为点 D、A、 E，连接 CE 依题意，请在图 2 中补全图形； 如果 BPCE，BP3，AB6，求 CE 的长 （2）如图 3，以点 A 为旋转中心，将 ABP 顺时针旋转 60 得到 AMN，连接 PA、PB、PC，当 AC3， AB6 时，根据此图求 PA+PB+PC 的最小值 8（1）阅读证明 如图 1，在 ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之
10、和最小，则称点 P 为 ABC 的 费马点，此时 PA+PB+PC 的值为 ABC 的费马距离 如图 2，已知点 P 为等边 ABC 外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻 ABC（其中A，B，C 均小于 120 ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图 3，在 ABC 的外部以 BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆； 第二步：在上取一点 P0，连接 P0A，P0B，P0C，P0D易知 P0A+P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+ ； 第三步：根据（1）中定义，在图 3 中找出 ABC 的费马点 P，线段 的长度即为 ABC 的费马距离 （3）知识应用 已知三村庄 A，B，C 构成了如图 4 所示的 ABC（其中A，B，C 均小于 120 ），现选取一点 P 打水 井，使水井 P 到三村庄 A，B，C 所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值
