1、 教师版教师版 20152015 高中数学必修高中数学必修+ +选修知识点归纳选修知识点归纳 引言引言 1.1.课程内容：课程内容： 必修课程必修课程由 5 个模块组成： 必修必修 1 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂 函数）函数） 必修必修 2 2：立体几何初步、平面解析几何初步。：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修必修 3 3：算法初步、统计、概率。：算法初步、统计、概率。 必修必修 4 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角 恒等变换。恒等变换。 必修必修 5 5：解三角形、数列
2、、不等式。：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和 基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不 等式、 解三角形、 立体几何初步、 平面解析几何初步等。 不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知 识的发生、 发展过程和实际应用， 而不在技巧与难度上 做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计 等内容。 选修课程选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及 其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复 数、框图 系列 2：
3、由 3 个模块组成。 选修选修 2 21 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。空间向量与立体几何。 选修选修 2 22 2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充 与复数与复数 选修选修 2 23 3：计数原理、随机变量及其分布列，统：计数原理、随机变量及其分布列，统计案计案 例。例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。 选修 32：信息安全与密码。 选修 33：球面上的几何。 选修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。 系列 4：由
4、10 个专题组成。 选修选修 4 41 1：几何证明选讲。：几何证明选讲。 选修 42：矩阵与变换。 选修 43：数列与差分。 选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程。：坐标系与参数方程。 选修选修 4 45 5：不等式选讲。：不等式选讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2 2重难点及考点：重难点及考点： 重点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线， 立体几何，导数 难点：难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：高考相关考点： 集合与简易逻辑:集合的概念与运算
5、、简易逻辑、充 要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最 值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指 数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列 求和、数列的应用 三角函数： 有关概念、 同角关系与诱导公式、 和、 差、 倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积 及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、 线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线
6、、抛物线、直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、 平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理 及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正 态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 必修必修 1 1 数学知识点数学知识点 第一章：集合与函数概念第一章：集合与函数概念 1.1.11.1.1、集合、集合 1、 把研究的对象统称为元素， 把一些元素组成的总体 叫做集合。 集合三要素： 确定性、 互异性、 无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的， 就称这
7、两个集 合相等。 3、 常见集合： 正整数集合： * N或 N， 整数集合：Z， 有理数集合：Q，实数集合：R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.21.1.2、集合间的基本关系、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意 一个元素都是集合 B 中的元素， 则称集合 A 是集合 B 的子集。记作BA. 2、 如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax， 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规 定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 n 2个子 集，2
8、1 n 个真子集. 1.1.31.1.3、集合间的基本运算、集合间的基本运算 1、 一般地， 由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的 集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作：BA. 2、 一般地， 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组 成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作：BA. 3、全集、补集？ |, U C Ax xUxU且 1.2.11.2.1、函数的概念、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集 合 B 中都有惟一确定的数 xf和它对应，那么就 称BAf:为集合 A 到集合 B 的一个函数，记
9、 作： Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为： 定义域、 对应关系、 值域. 如果两个函数的定义域相同， 并且对应关系完全一 致，则称这两个函数相等. 1.2.21.2.2、函数的表示法、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.11.3.1、单调性与最大（小）值、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)(1)定义法：定义法：设 2121 ,xxbaxx、那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数； ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数. 步骤：取值作差变形定号判断 格式：解：设baxx, 21 且 21
10、 xx ，则： 21 xfxf= (2)(2)导数法：导数法：设函数)(xfy 在某个区间内可导， 若0)( x f，则)(xf为增函数； 若0)( x f，则)(xf为减函数. 1.3.21.3.2、奇偶性、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数 xf的定义域内任意一个 x， 都有 xfxf， 那么就称函数 xf为偶 函数.偶函数图象关于y轴对称. 2、 一般地，如果对于函数 xf的定义域内任意一个 x，都有 xfxf，那么就称函数 xf为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数知识链接：函数与导数 1、函数)(xfy 在点 0 x处的导数的几何意义： 函数)(xfy 在点 0
11、x处的导数是曲线)(xfy 在 )(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 x f ，相应的切线方 程是)( 000 xxxfyy. 2、几种常见函数的导数 C0； 1 )( nn nxx； xxcos)(sin ； xxsin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )(； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 3、导数的运算法则 （1） ()uvuv. （2） ()uvuvuv. （3） 2 ( )(0) uuvuv v vv . 4、复合函数求导法则 复合函数( ( )yf g x的导数和函数 ( ),( )yf u ug x的导数间的关系为 x
12、ux yyu ， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积. 解题步骤:分层层层求导作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义： 极值是在 0 x附近所有的点， 都有)(xf)( 0 xf， 则 )( 0 xf是函数)(xf的极大值； 极值是在 0 x附近所有的点，都有)(xf)( 0 xf， 则)( 0 xf是函数)(xf的极小值. (2)判别方法： 如果在 0 x附近的左侧)( xf0，右侧)( xf0， 那么)( 0 xf是极大值； 如果在 0 x附近的左侧)( xf0，右侧)( xf0， 那么)( 0 xf是极小值. 6、求函数的最值 1a 10 a 图 象 6 5 4 3
13、 2 1 -1 -4-2246 0 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2246 0 1 性 质 (1)定义域：R （2）值域： （0，+） （3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 4 在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 (5)0,1 x xa; 0,01 x xa (5)0,01 x xa; 0,1 x xa (1)求( )yf x在( , )a b内的极值（极大或者极小值） (2)将( )yf x的各极值点与( ),( )f af b比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注：注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质） ； 最值是在整体区间上对函数值
14、进行比较(整体性质)。 第二章：基本初等函数（）第二章：基本初等函数（） 2.1.12.1.1、指数与指数幂的运算、指数与指数幂的运算 1、 一般地， 如果ax n ， 那么x叫做a 的n次方根。 其中 Nnn, 1. 2、 当n为奇数时，aa nn ； 当n为偶数时，aa nn . 3、 我们规定： mn m n aa 1, 0 * mNnma； 0 1 n a a n n ； 4、 运算性质： Qsraaaa srsr , 0； Qsraaa rs s r , 0； Qrbabaab rr r , 0, 0. 2.1.22.1.2、指数函数及其性质、指数函数及其性质 1、记住图象：1, 0
15、aaay x 2、性质： 2.2.12.2.1、对数与对数运算、对数与对数运算 1、指数与对数互化式：log x a aNxN； 2、对数恒等式： logaN aN. 3、基本性质：01log a ，1loga a . 4、运算性质：当0, 0, 1, 0NMaa时： NMMN aaa logloglog； NM N M aaa logloglog ； MnM a n a loglog. 5、换底公式： a b b c c a log log log 0, 1, 0, 1, 0bccaa. 6、重要公式：loglog n m a a m bb n 7、 倒数关系： a b b a log 1
16、log1, 0, 1, 0bbaa. 22.222.2、对数函数及其性质、对数函数及其性质 1、记住图象：1, 0logaaxy a 2、性质： 2.32.3、幂函数、幂函数 1、几种幂函数的图象： 1a 10 a 图 象 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 0 1 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 0 1 1 性 质 (1)定义域： （0，+） （2）值域：R （3）过定点（1，0） ，即 x=1 时，y=0 （4）在 （0，+）上 是增函数 （4）在（0，+
17、）上 是减函数 (5)0log, 1xx a ； 0log, 10xx a (5)0log, 1xx a ； 0log, 10xx a 00，02或0，等 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点 与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一 多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是( , )x y， 极坐标是( , ) ，从图中可以得出： 222 cos ,sin ,t n(0). xy y xyax x 4、 简 单曲 线的 极坐 标方 程 圆圆 的极的极 坐标坐标 方程方程 以 极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 a；
18、（如图 1） 以( ,0)a)0(a为圆心， a为半径的圆的极坐标方 程是 cos2a； （如图 2） 以( ,) 2 a )0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方 程是sin2a； （如图 4） 直线的极坐标方程直线的极坐标方程 过极点的直线的极坐标方程是)0(和 (0) . （如图 1） y y x O M H N x O 图 1 0 0 xO M 图1 （ ， ） cos a aO M 图2 cos a a O M 图3 sin a O M 图4 a sin a O M 图5 a ),(a )cos( a O M p N 图6 （ ， ） a cos2a axO M 图2 sin2a a
19、x O M 图4 sin2a a xO M 图5 cos2a axO M 图3 a a xO M 图1 ),(a )cos(2 a a xO M 图6 过点)0)(0 ,(aaA， 且垂直于极轴的直线l的极坐 标方程是acos. 化为直角坐标方程为xa. （如图 2） 过点( ,) 2 A a 且平行于极轴的直线l的极坐标方程 是sina. 化为直角坐标方程为ya.（如图 4） 5、柱坐标系与球坐标系 柱坐标：空间点P的直角坐标( , , )x y z与柱坐标 ( , , ) z 的变换关系为： cos sin x y zz . 球坐标系 空间点P直角坐标),(zyx与球坐标),(r的变 换关
20、系： 2222 sincos sinsin cos xyzr xr yr zr . 6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 yx,都是某个变数t的函数 ),( ),( tgy tfx 并且对于t的 每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在 这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方参数方 程程，联系变数yx,的变数t叫做参变数参变数，简称参数参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程普通方程。 7、常见曲线的参数方程 （1）圆 222 ()()xaybr的参数方程为 cos sin xar ybr （为参数） ； （2）椭圆
21、 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程为 cos sin xa yb （为参数） ； 椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 的参数方程为 cos sin xb ya （为参数） ； （3）双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程 sec tan xa yb （为参数） ； 双曲线 22 22 1(0) yx ab ab 的参数方程 cot csc xb ya （为参数） ； （4）抛物线 2 2ypx参数方程 2 2 2 xpt ypt (t为参 数， 1 tan t ） ； 参数参数t的几何意义：的几何意义： 抛物线上除顶点外的任意一点抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数与原点连线的斜率的倒数. . （6）过定点),( 00 yxP、倾斜角为() 2 的直线 的参数方程 sin cos 0 0 tyy txx （t为参数）. 8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时， 要注明参数及参数的取 值范围。 在参数方程与普通方程的互化中， 必须使在参数方程与普通方程的互化中， 必须使yx, 的取值范围保持一致的取值范围保持一致. . 参数方程化为普通方程的关键是消参数， 并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要 通过)(),(tgytfx。根据 t 的取值范围导出yx, 的取值范围.
