1、试卷第 1 页，总 13 页 2020 年年 2 月月仿真仿真考试考试理科数学答案解析理科数学答案解析 一、单选题一、单选题 1若集合若集合1,2,3,4U ,集合集合1,2A,2,3B ,则则 U AB ( ) A 2 B 1,3 C1,2,4 D1,2,3 【答案】【答案】C【解析】【解析】 【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可. 【详解】1,4 UB ，1,2,4 U AB .故选：C. 2已知复数已知复数 z 满足满足iizz ,则则z在复平面上对应的点在在复平面上对应的点在( ) A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】A【
2、解析】【解析】 【分析】设( ,)zabi a bR，由iizz 得：()(1)abi iabi，由复数相 等可得, a b的值，进而求出z，即可得解. 【详解】设( ,)zabi a bR，由iizz 得：()(1)abi iabi，即(1)aibabi， 由复数相等可得： 1 ba ab ，解之得： 1 2 1 2 a b ，则 11 22 zi=-，所以 1 2 1 2 zi，在复平面对应的点的 坐标为 1 1 ( , ) 2 2 ，在第一象限.故选：A. 3已知已知 x,y 满足不等式组满足不等式组 220 210 0 xy xy x ,则点则点,P x y所在区域的面积是所在区域的面
3、积是( ) A1 B2 C 5 4 D 4 5 【答案】【答案】C【详解】不等式表示的平面区域如图： 试卷第 2 页，总 13 页 直线220xy的斜率为2， 直线21xy的斜率为 1 2 ， 所以两直线垂直， 故BCD为直角三角形， 易得 (1,0)B ， 1 (0,) 2 D，(0,2)C， 5 2 BD ， 5BC 所以阴影部分面积 1155 5 2224 BCD SBDBC .故选：C. 4已知已知 a,bR,则则“0ab”是是“11ab”的什么条件的什么条件( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充
4、分也不必要条件 【答案】【答案】A【详解】充分性：0ab11ab，充分性成立； 必要性：当2,1ab 时，11ab成立，但0ab，故必要性不成立； 所以“0ab”是“1 1ab”的充分不必要条件.故选：A. 5根据党中央关于根据党中央关于“精准精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区 至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【答案】【答案】A【详解】派四位专家对三个县区
5、进行调研，每个县区至少派一位专家 基本事件总数： 23 43 36nC A，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数： 212 232 6mC C A 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为： 61 366 m p n 本题正确选项：A 6某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的的 正方形，则此四正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（面体的四个面中面积最大的为（ ） A2 2 B2 3 C4 D2 6 【答案】【答案】B【解析】【解析】解：如图所示
6、，该几何体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥P ABC ， 试卷第 3 页，总 13 页 其中面积最大的面为： B 2 3 P C S .本题选择 B 选项. 7等差数列等差数列 n a中中, 1 a与与 4037 a是是 4ln m fxxx x 的两个极值点的两个极值点,则则 2019 2 loga( ) A1 B2 C0 D 1 2 【答案】【答案】B【详解】 2 22 44 1 mxxm fx xxx ，因为 1 a与 4037 a是 4ln m fxxx x 的两个极 值点,令 2 ( )4g xxxm，所以 1 a与 4037 a是方程 2 40xxm的两个根， 即 14037 4a
7、a，也即 2019 24a，所以 2019 2a，则 20192 2 log2log 22a .故选：B. 8 525 0125 21111xaaxaxax则则 3 a ( ) A40 B40 C80 D80 【答案】【答案】C【详解】 525 0125 21111xaaxaxax， 令1=xt，则=1x t 5 25 0125 21taatta ta， 5 21t 展开式的通项为： 5 15(2 ) 1 rrr r TCt ，令53r ，2r =，所以 233 35(2 ) 80TCtx，所以 3 80a .故选：C. 9已知已知 i 为虚数单位为虚数单位,执行如图所示的程序框图执行如图所示
8、的程序框图,则输出的则输出的 A 值为值为( ) 试卷第 4 页，总 13 页 A9 B9i C8 D8 【答案】【答案】D【详解】模拟执行程序框图，得： 当1n 时，Ai； 当2n时，2A ； 当8n 时，8A，9n ，循环结束，输出结果. 故选：D. 10已知向量已知向量a，b满足满足4a ，b在在a上投影为上投影为2，则则 3ab的最小值为的最小值为( ) A12 B10 C10 D2 【答案】【答案】B【详解】b在a上投影为2，即 cos,2ba b 0b co s,0a b 又cos,1,0a b m i n 2b 222 2 22 3696cos,9964abaa bbaa ba
9、bbb min 39 46410ab ，本题正确选项：B 11已知已知 P 为双曲线为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点，上一点， 12 FF，为双曲线 为双曲线 C 的左、右焦点，若的左、右焦点，若 112 PFFF，且直线，且直线 2 PF与以与以 C 的实轴为直径的圆相切，则的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为（的渐近线方程为（ ） A 4 3 yx B 3 4 yx=? C 3 5 yx D 5 3 yx 【答案】【答案】A【详解】依据题意作出图象，如下： 试卷第 5 页，总 13 页 则 112 2PFFFc，OMa，又直线 PF2与以 C 的实轴
10、为直径的圆相切，所以 2 OMPF,所以 22 2 MFcab，由双曲线定义可得： 21 2PFPFa，所以 2 22PFca， 所以 222 2 2222 cos 2222 caccb OF M ccac ，整理得：2bac，即：2bac 将2cba代入 222 cab，整理得： 4 3 b a ，所以 C 的渐近线方程为 4 3 b yxx a ，故选 A 12已知函数已知函数 f xx, 2 g xaxx,其中其中0a,若若 1 1,2x , 2 1,2x,使得使得 1212 f xf xg x g x成立成立,则则a( ) A1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 【答案】【答案】 D
11、 【详解】 由题可得 22 121122 x xaxxaxx ， 则 1 21 212 0a xx a xxxx ， 故 1 212 a xxxx ， 则 12 1212 11xx a x xxx ，故 12 111 ,1 2 aM xx ， 1 11 1, 2 aaaN x ， 因为 1 1,2x ， 2 1,2x，使得 1212 f xf xg x g x成立，即NM， 故 1 1 2 1 1 2 a a ，解得 3 2 a ，故选：D. 二、填空题二、填空题 13若施化肥量若施化肥量 x 与小麦产量与小麦产量 y 之间的回归直线方程为之间的回归直线方程为 y=250+4x,当施化肥量为
12、当施化肥量为 50 kg 时时,预计小麦产量为预计小麦产量为 _kg. 【答案】【答案】450【详解】根据回归方程为 y=250+4x，当施化肥量为 50kg， 试卷第 6 页，总 13 页 即 x50kg 时,y250+4x250+200450kg，故答案为：450 14函数函数 x yaxe的图象在的图象在0x处的切线与直线处的切线与直线y x 互相垂直互相垂直,则则a_ 【答案】【答案】1.【详解】函数 x yaxe的图象在0x处的切线与直线y x 垂直,函数 x yaxe的图象在 0x的切线斜率1k xx fxaeaxe 01fa，本题正确结果：1 15 已知正四棱锥的底边边长为 已知
13、正四棱锥的底边边长为 2,侧棱长为侧棱长为5,现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体,则该正则该正 方体的体积最大值是方体的体积最大值是_. 【答案】【答案】 8 27 【详解】 设此正方体外接球半径为R，体积最大的球应与四棱锥各个面都相切， 设球心为S，连SA SB SC SD SE、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，易知四棱锥的 高为3，四个侧面三角形的底为 2，高为 2， A BCDES BCDES ABCS ABES ADES ACD VVVVVV ， 即 1111 2 232 242 2 3332 RR ， 3 3 R ，
14、正方体的体对角线是其外接球直径，故其体对角线为 2 3 2 3 R ，棱长为2 3 ， 正方体体积的最大值为 V= 8 27 .故答案为： 8 27 试卷第 7 页，总 13 页 16设设 P n表示正整数表示正整数 n 的个位数字的个位数字,记记 32 nP nP n,M 是是 n的前的前 4038 项的和项的和,函数函数 1 ln1f xx x ,若函数若函数 g x满足满足 2 2 8 2 MxMx fg x MxMx ,则数列则数列 g n的前的前 2020 项的和为项的和为 _. 【答案】【答案】 2020 2021 【详解】 n 的个位数为 1 时有： 32 11 10P nP n
15、 ， n 的个位数为 2 时有： 32 2844P nP n， n 的个位数为 3 时有： 32 3792P nP n ， n 的个位数为 4 时有： 32 4462P nP n ， n 的个位数为 5 时有： 32 5550P nP n ， 每 5 个一循环，这 10 个数的和为：0， 4038 5807 余 3，余下三个数为：40360， 40376 ， 40382 ， 数列 n的前 4038 项和等于： 4036403740388 , 即有 8M ，又(1)2f， 2 2 8 2(1) MxMx fg xf MxMx ，可得 2 2 8 1 MxMx g x MxMx ， 则 2 111
16、 () (1) 1 1 g n nn nnnn ，即有， 则数列 g n的前 2020 项和为， 2020 111112020 (1)()() 22320202020 12021 S ， 则数列的前 2020 项和为 2020 2021 .故答案为： 2020 2021 . 三、解答题三、解答题 17已知函数已知函数 2 3sin22cos1xRfxxx . 试卷第 8 页，总 13 页 (1)求求 f x的单调递增区间的单调递增区间; (2)当当 , 6 4 x 时时,求求 f x的值域的值域. 【详解】(1) 函数 2 3sin22cos132222 6 fxxsin xcos xinxx
17、s ， 令222() 262 kxkkZ，求得() 63 kxkkZ ， 故函数 f(x)的增区间为,() 63 kkkZ ； (2)若 , 6 4 x ，则2, 62 3 x ，故当2 62 x 时，函数 f(x)取得最小值为2；当 2 63 x 时，函数 f(x)取得最大值为 3，所以函数的值域为 2, 3 . 18如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，中，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，1ACBC， 1 2AA ，点，点D是是 侧棱侧棱 1 AA的上一点的上一点 （1）证明：当点）证明：当点D是是 1 AA的中点时，的中点时， 1 DC 平面平面BCD； （
18、2）若二面角）若二面角 1 DBCC的余弦值为的余弦值为 3 29 29 ，求，求AD的长的长 【详解】 （1）证明：由题意：BCAC且 1 BCCC， 1 ACCCC BC平面 11 ACC A，则 1 BCDCDQ是 1 AA的中点 ACAD，又90CAD 45ADC同理 11 45ADC 1 90C DC，则 1 DCDC 1 DC平面BCD （2）以C为坐标原点，分别以CA，CB， 1 CC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 试卷第 9 页，总 13 页 设ADh，则1 ,0,Dh，0,1,0B， 1 0,0,2C，由条件易知CA平面 1 BCC，故取1,0,0m为 平面
19、1 BCC的法向量，设平面 1 DBC的法向量为, ,nx y z，则n BD 且 1 nBC 1, 1,BDh， 1 0, 1,2BC 0 20 xyhz yz ，取1z ，得2,2,1nh 由 3 29 cos, 29 m n m n m n 得 1 2 h ，即 1 2 AD 19 已知点 已知点0,2P,点点A,B分别为椭圆分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右顶点的左右顶点,直线直线BA交交C于点于点Q,ABP 是等腰直角三角形是等腰直角三角形,且且 3 5 PQPB . (1)求求 C 的方程的方程; (2)设过点设过点 P 的动直线的动直线 l 与与 C 相交
20、于相交于 M,N 两点两点,O 为坐标原点为坐标原点.当当MON为直角时为直角时,求直线求直线 l 的斜率的斜率. 【详解】 （1）由题意ABP是等腰直角三角形，则2,2,0aB，设点 00 ()Q xy，,由 3 5 PQPB， 则 0 6 5 x ， 0 4 5 y ，代入椭圆方程解得 2 1b ，椭圆方程为 2 2 1 4 x y； （2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为2ykx，则 11 ,M x y， 22 ,N x y， 则 2 2 2 1 4 ykx x y ，整理可得 2 1416120kxkx ， 2 2 16481 40kk ，解得 2 3 4 k ， 12 2
21、16 14 k xx k ， 12 2 12 14 x x k ，当MON为直角时，1 OMON kk ， 1212 0x xy y， 则 2 121212121212 22124x xy yx xkxkxkx xk xx 试卷第 10 页，总 13 页 2 22 112 16 240 1 41 4 k k k kk ， 解得 2 4k ， 即2k ， 故存在直线 l 的斜率为2， 使得MON 为直角. 20 某高校为增加应届毕业生就业机会， 每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估， 某高校为增加应届毕业生就业机会， 每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，
22、 已知某年度参与评估的毕业生共有已知某年度参与评估的毕业生共有 2000 名其评估成绩名其评估成绩 Z 近似的服从正态分布近似的服从正态分布 2 N（ ，）现随机抽取现随机抽取 了了 100 名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图： （1）求样本平均数）求样本平均数x和样本方差和样本方差 2 s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）若学校规定评估成绩超过）若学校规定评估成绩超过 82.7 分的毕业生可参加分的毕业生可参
23、加 A、B、C 三家公司的面试三家公司的面试 用样本平均数用样本平均数x作为的估计值作为的估计值，用样本标准，用样本标准差差 s 作为作为的估计值的估计值请利用估计值判断这请利用估计值判断这 2000 名毕业名毕业 生中，能够参加三家公司面试的人数；生中，能够参加三家公司面试的人数； 附：附：16112.7若随机变量若随机变量 2 ZN（ ，），则，则 0.6826PZ（ ） ， 220.9544PZ（ ） 【详解】 （1）由所得数据绘制的频率直方图，得： 样本平均数x45 0.0555 0.1865 0.2875 0.2685 0.1795 0.0670； 样本方差 s2 （4570） 2
24、0.05 （5570）2 0.18 （6570）2 0.28 （7570）2 0.26 （8570）2 0.17 （9570）2 0.06161； （2）由（1）可知，70， 2 161，故评估成绩 Z 服从正态分布 N（70，161） ， 所以 10.6826 82.70.1587 2 P ZP Z 在这 2000 名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有 20000.1587317 人 21已知函数已知函数 2 ( )(1)2 x f xxekx (1)若若0k ,求求 ( )f x的极值 的极值; (2)若若0,x ,都有都有 ( )1f x 成立 成立,求求 k 的取值范围的取值范围.
25、试卷第 11 页，总 13 页 【详解】 （1）0k 时，( )12() x f xxe，( ) x fxxe，令 ( )0fxxex，解得 0x， 0x时，函数( )f x取得极小值，(0)1f；无极大值； （2）()( )22 xx fxxekxx ek， 当0k 时，20 x ek， 所以，当0x时，( )0fx ，当0x时，( )0fx ， 则 ( )f x在区间(,0) 上是减函数，在区间(0,)上是增函数， 所以 ( )f x在区间 0,上的最小值为 (0)f，且(0)1f，符合题意； 当0k 时，令 ( )0fx ，得0x或ln2xk， 所以，当 1 0 2 k时，ln20k ，
26、在区间(0,)上( )0fx ， ( )f x为增函数， 所以 ( )f x在区间 0,上的的最小值为 (0)f，且(0)1f，符合题意； 当 1 2 k 时，ln20k ， 当(0,ln2 )xk时，( )0fx ， ( )f x在区间(0,ln2 )k 上是减函数， 所以(ln2 )(0)1fkf，不满足对任意的0,x，( )1f x 恒成立， 综上，k的取值范围是 1 (, 2 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 3cos sin x y （ 为参数） ，在以坐标原点为参数） ，在以坐标原点 O 为极为极 点，点，x 轴的正半轴为
27、极轴的极坐标系中，点轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 M 的极坐标为的极坐标为 3 2 2, 4 ，直线，直线l的极坐标方程为的极坐标方程为 sin2 20 4 （1）求直线）求直线l的直角坐标方程与曲线的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；的普通方程； （2）若）若 N 是曲线是曲线 C 上的动点，上的动点，P 为线段为线段 MN 的中点，求点的中点，求点 P 到直线到直线l的距离的最大值的距离的最大值 【详解】 （1）因为直线 l 的极坐标方程为 sin2 20 4 ，即 sincos40由 xcos， ysin，可得直线 l 的直角坐标方程为 xy40将曲线 C 的参数方程 3xcos
28、ysin 消去参数 a， 试卷第 12 页，总 13 页 得曲线 C 的普通方程为 2 2 1 3 x y （2）设 N（ 3cos，sin） ，0，2） 点 M 的极坐标（2 2， 3 4 ） ，化为直角坐标为（2，2） 则 31 cos1,sin1 22 P 所以点 P 到直线 l 的距离 31 cossin6 sin6 22 37 2 222 d ， 所以当 5 6 时，点 M 到直线 l 的距离的最大值为 7 2 2 23已知函数已知函数 2f xax,不等式不等式 4f x 的解集为的解集为 26xx . (1)求实数求实数 a 的值的值; (2)设设 3g xf xf x,若存在若
29、存在xR,使使 2g xtx成立成立,求实数求实数 t 的取值范围的取值范围. 【详解】(1)由24ax得424ax ，即26ax ， 当0a时， 26 x aa ，所以 2 2 6 6 a a ，解得1a ； 当0a 时， 62 x aa ，所以 2 6 6 2 a a ，无解，所以实数 a 的值为 1； （2）由已知 312g xf xf xxx 21,1 3, 12 21,2 xx x xx ， 不等式 2g xtx，即 2g xtx， 由题意知( )yg x的图象有一部分在直线2ytx的下方，作出对应图象： 试卷第 13 页，总 13 页 由图可知，当0t 时， EM tk，当0t 时， FM tk，又因为1 EM k； 1 2 FM k，所以1t ，或 1 2 t .
