1、 1 辽宁省锦州市 2016-2017 学年度第一学期期末考试 高一数学 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，集合 ， ，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由已知可得 ,从而 ，故选 A. 考点：集合的基本运算 2. 点 在 轴上，它到点 的距离是 ，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 考点：空间直角坐标系 3. 已知函数 定义域是 ，则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析
2、】由已知可得，故选 B. 考点：复合函数的定义域 4. 已知直线 与直线 平行，则实数 的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 2 【答案】 A 【解析】由平行的性质可得 ，故选 A. 考点：两直线的 平行 5. 若曲线 关于直线 对称的曲线仍是其本身，则实数 为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】 B. 【解析】由已知可得圆心 在直线 上 . 考点：圆的性质 6. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 ( ) 过平面 外的两点，有且只有一个 平面与平面 垂直； 若平面 内有不共线三点到平面 的距离都相等，则 ； 若直线 与平面内的无数条直线垂直，则 ；
3、两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线； A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】 D 【解析】当过平面 外的两点在垂直于平面 的直线上时，命题 不成立； 不共线三点在平面 的两侧时， 不成立； 无数条直线平行时， 不成立； 在正方体中 中， 与 是异面直线， 在面 中的射影是点，故 错。 故选 D. 点睛：本题是一道关于空间直线与直线，直线与平面的题目，掌握空间中线与线、线与面的关系是解题的关键；细查题意知，利用空间直线与直线、直线与平面的位置关系的判断方法求解是解题的基本方法 .有时可以借助正方体模型研究线面，面面的位置关系 . 7. 用一个平行于棱锥底面的平面 截这个棱锥，
4、截得的棱台上、下底面面积比为 1： 4，截去的棱锥的高是 3 ，则棱台的高是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 3 【答案】 D 【解析】试题分析：如下图，设截面圆 的半径为，底面圆的半径为 ，则依题意有且 ，由三角形 与 相似可得 ，所以 ，所以 ，故选 D. 考点：圆锥的结构特征与性质 . 8. 若 和 都是奇函数，且 在 上有最大值 5，则在 上（ ） A. 有最小值 -5 B. 有最大值 -5 C. 有最小值 -1 D. 有最大值 -1 【 答案】 C 【解析】记 则，故选 C. 考点：函数的奇偶性；函数的最值 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多
5、面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是（ ） 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B. 【解析】 通过上图可得直角三角形为 ，故直角三角形的个数是 ，故选 B. 考点：三视图 10. 已知函数 没有零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】设 ， 则原函数可化为考点：函数的零点 11. 已知定义在 上的函数 满足： 时， 则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由已知可得函数的周期，故选 C. 考点：函数的周期性、函数的解析式 12. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 若直线 上至少存在一点，使得
6、以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的最大值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 5 【答案】 B 【解析】试题分析： 圆 C 的方程可化为： ， 圆 C 的圆心为 ，半径为 1。 由题意，直线 上至少存在一点 ，以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 有公共点； 存在 ，使得 成立，即 。 即为点 到直线 的距离 ， ，解得 。 的最大值是 。 考点：本题考查了直线与圆的位置关系 点评：解题的关键是通过分析将题设条件转化为圆心到直线的距离不超过 2 从而建立不等式，最后确定出范围 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
7、 .） 13. 经过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的 2 倍的直线的方程是_ 【答案】 或 【解析】设所求直线方程为 ，将 点 代入上式可得或 . 考点：直线的方程 14. 已知 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】由已知可得 . 考点：函数的单调性 . 15. 高为 的四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形，点 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为 _ 【答案】 1 6 【解析】 过 作 于 点由上图可得 . 考点：外接球 16. 定义 与 是对一切实数都有定义的函数 ， 的值是不大于 的最大整数， 的值是 ，则下列结论正确的是 _（
8、填上正确结论的序号） 是周期函数 【答案】 【解析】 当 不是整数时 ，故 错误；当,当,故 正确；当,当 ,故 正确； ,故 正确；综上正确命题为 . 考点：命题的真假；函数及其性质 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知集合 ， . （ 1）当 时，求 ； （ 2）若 ，求实数 的值 . 【答案】 （ ） ；（ ） . 【 解析】 （ ） 当, . （ ）若 ，则 4必为方程 的一个根，代入得 . 考点：不等式的解法；集合的基本运算 18. 已知点 . 7 （ 1）求过点 且与原点距离为 2 的直线方程； （ 2）求过点
9、 且与原点距离最大的直线方程 . 【答案】 （ ）直线方程为 或 ;（ ）直线方程为 . 【解析】 （ ）当直线斜率不存在时，方程 适合题意 当直线斜率存在时，设直线方程为 ，即 ， 则 ，解得 直线方程为 所求直线方程为 或 （ ）过点 且与原点距离最大的直线方程应为过点 且与 垂直的直线， ，则所求直线的 斜率为 2， . 直线方程为 考点：直线方程；点到直线的距离；两直线垂直 19. 如图， 平面 ，底面 为矩形， 于 ， 于 （ 1）求证： 面 ； （ 2）设平面 交 于 ，求证： . 【答案】 （ ）证明过程见解析；（ ）证明过程见解析 . 【解析】 （ ） 平面 ， 面 ， 又 ，
10、 面 , 面 ， 面 , 面 ， 8 ， 又 , 面 . （ ）设平面 交 于 ， 由（ ）知 面 , 由（ ）同理 面 , 面 ， 面 , 面 ， ， 考点：线面 垂直；线线垂直 20. 已知圆 ： ， 是 轴上的动点， 分别切圆 于 两点 . （ 1）若 ，求 及直线 的方程； （ 2）求证：直线 恒过定点 . 【答案】 （ ） ,直线 的方程为： 或 ;（ ）证明过程见解析 . 【解析】 （ ）设直线 则 , 又 ， . ， 设 ，而点 由 得 ， 则 或 ， 从而直线 的方程为： 或 . 9 （ ）证明：设点 ，由几何性质可以知道， 在以 为直径的圆上，此圆的方程为 ， 为两圆的公共弦
11、，两圆方程相减得 即过定点 . 考点：直线与圆；直线方程 21. 某渔场鱼群的最 大养殖量为 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量 要小于 ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量 （吨）和实际养殖量 （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数 ） . （ 1）写出 与 的函数关系式，并指出定义域； （ 2）求鱼群年增长量的最大值； （ 3）当鱼群年增长量达到最大值时，求 的取值范围 . 【答案】 （ ） ;（ ） ;（ ） . 【解析】试题分析：（ 1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得 与 的函数关系式，并确定函数的定义域； （ 2）利用配方法求二次函数的
12、最值； （ 3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在 0 到 之间，由此列不等式求解 的取值范围即可 试题解析：（ 1）空闲率为 ,由已知得： （ 2）因为 ，所以当 时， （ 3）由题意得： ，即 ,解得 又因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 考点：函数模型的选择与应用 22. 如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ，点 在线段 上，且， ，点 在线段 上，且 平面 . 10 （ 1）证明： ； （ 2）证明： 平面 ； （ 3）若四棱锥 的体积为 7，求线段 的长 . 【答案】 （ ）证明过程见解析； （ ）证明过程见解析；（ ） 或 . 【解析】 （ ）证明： /平面 . 平面 ，平面 平面 ， 所以根据线面平行的性质可知 / ， （ ）由 可知 为等腰 中 边的中点，故 ， 平面 ， 平面 , 又 ， / 所以 平面 . （ ）设 ，在直角三角形 中， ， ， 即 ， / 知 相似于 ，所以 ， 由 得 ， 从而四边形 的面积为 ， 由（ ）可知 是四棱锥 的高， ， 所以 ， 所以 ，所以 或 ， 所以 或 .
