1、 一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标 2.根据所设未知数去表示三角形的底和高 3. 一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式 4. 根据二次函数性质求出最大值. 注意事项注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示 2.复杂的利用“补”的方法构造矩复杂的利用“补”的方法构造矩 形或者大三角形，整体减去部分的思想形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时利用“割”的方法时，一般选用，一般选用横割或者竖割横割或者竖割，也就是做坐标轴，也就是做坐标轴 的垂线。的垂线。4.
2、利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。 二、二次函数问题中三角形面积最值问题 （一）例题演示 1. 如图，已知抛物线(2)(4)ya xx(a 为常数，且 a0)与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 3 3 yxb 与抛物线的另一交点为 D，且点 D 的横坐标为5 (1)求抛物线的函数表达式； (2)P 为直线 BD 下方的抛物线上的一点，连接 PD、PB, 求 PBD 面积的最大值 来源:Z#xx#k.Com 【解析】 ：本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的面积最值问题。 （1）根据二次
3、函数交点式得出 A,B 点坐标，从而求出一次函数解析式，根据已知的 D 点横坐标求出纵坐标 从而求出抛物线解析式。 （2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得最大值。 解答：(1)抛物线(2)(4)ya xx令 y0，解得 x2 或 x4， D B O A y x C A(2，0)，B(4，0) 直线 3 - 3 yxb经过点 B(4，0)， 3 -4=0 3 b，解得 4 3 = 3 b， 直线 BD 解析式为： 34 3 - 33 yx 当 x5 时，y33，D(5，33) 点 D(5，3 3)在抛物线(2)(4)ya xx上， (-52)(-54)=3 3a，
4、3 9 a 抛物线的函数表达式为： 2 332 38 3 (2)(4)= 9999 yxxxx (2)设 P(m, 2 32 38 3 999 mm) 2 13432 38 3 9 (3)() 233999 BPD Smmm 2 33 =+10 3 22 mm 2 3181 =() +3 228 m BPD 面积的最大值为 81 3 8 【试题精炼】【试题精炼】 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 23yaxaxa（0a）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左 侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且4CDAC （1）直接写
5、出点 A 的坐标，并用含a 的式子表示直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）. （2）点 E 为直线 l 下方抛物线上一点，当ADE 的面积的最大值为 4 25 时，求抛物线的函数表达式； 来源:163文库 y x l B C D AO EF H 再求得点 P 的纵坐标为m2-可得线段 PF 的长; 解答：1）A（1，0） CD4AC，点 D 的横坐标为 4 ayD5，)5 , 4 aD（. 直线 l 的函数表达式为 yaxa （2）过点 E 作EHy 轴，交直线 l 于点 H 设 E（x，ax 22ax3a） ，则 H（x，axa）. aaxaxaaxaxaaxHE43
6、)32()( 22 axaaaxaxSSS DEHAEHADE 8 125 ) 2 3 ( 2 5 )43( 2 5 22 . ADE 的面积的最大值为a 8 125 ， 4 25 8 125 a，解得 5 2 a. 抛物线的函数表达式为 5 6 5 4 5 2 2 xxy. 【中考链接】【中考链接】 3.如图，直线 l：y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 y=ax22ax+a+4（a 0）经过点 B （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M 的横坐标为 m，ABM 的面积为 S，
7、求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； 【解析】 （1）利用直线 l 的解析式求出 B 点坐标，再把 B 点坐标代入二次函数解析式即可求出 a 的值； （2）过点 M 作 MEy 轴于点 E，交 AB 于点 D，所以 ABM 的面积为DMOB，设 M 的坐标为（m， m2+2m+3） ，用含 m 的式子表示 DM，然后求出 S 与 m 的函数关系式，即可求出 S 的最大值，其中 m 的 取值范围是 0m3； 来源:163文库 解答： （1）令 x=0 代入 y=3x+3，y=3，B（0，3） ， 把 B（0，3）代入 y=ax22ax+a+4，3=a+4， a=1，二次函数解析式
8、为：y=x2+2x+3； （2）令 y=0 代入 y=x2+2x+3， 0=x2+2x+3，x=1 或 3， 抛物线与 x 轴的交点横坐标为1 和 3， M 在抛物线上，且在第一象限内，0m3， 过点 M 作 MEy 轴于点 E，交 AB 于点 D， 由题意知：M 的坐标为（m，m 2+2m+3） ， D 的纵坐标为：m2+2m+3， 把 y=m2+2m+3 代入 y=3x+3， 来 源: Z + x x + k . C o m x=，D 的坐标为（ ，m2+2m+3） ， DM=m=， S=DMBE+DMOE= DM（BE+OE）=DMOB=3= =（m） 2+ 0m3， 当 m=时， S
9、有最大值，最大值为； 四边形面积最值问题的处理方法四边形面积最值问题的处理方法 核心步骤： 对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究， 然后用求三角形面积最值问题的方法来求解核心步骤： 对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究， 然后用求三角形面积最值问题的方法来求解 来源来源:163文库 例题演示 4.如图，已知抛物线 2 1 3 yxbxc经过ABCV的三个顶点，其中点(0,1)A，点( 9,10)B ，/ACx 轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大 时，求点P的
10、坐标; 【解析】 ： （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点 P（m， m2+2m+1） ，表示出 PE= m2 3m，再用 S 四边形 AECP=SAEC+SAPC=ACPE，建立函数关系式，求出最大值即可 解答：（1）点 A（0，1） B（9，10）在抛物线上， 代入解析式求出 b=2，c=1， 抛物线的解析式为 y= x2+2x+1 （2）ACx 轴，A（0，1） = x2+2x+1=1，x1=6，x2=0，点 C 的坐标（6，1）， 点 A（0，1）B（9，10）， 直线 AB 的解析式为 y=x+1， 设点 P（m， m 2+2m+1）E（m，-m+1） PE=m+1-（ m 2+2m+1）= m23m， ACEP，AC=6， S 四边形 AECP=SAEC+SAPC = ACEF+ ACPF = AC（EF+PF）= ACPE = 6（ m 23m） =m 29m=（m+ ）2+ ， 6m0 当 m= 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 此时点 P（ ， ）
