1、 三轮冲刺：圆的综合（一） 1如图，BC是O的直径，点A在O上，ADBC，垂足为D，BE分别交AD、 AC延长线于点F、G （1）过点A作直线MN，使得MNBG，判断直线MN与O的位置关系，并说理 （2）若AC3，AB4，求BG的长 （3）连接CE，探索线段BD、CD与CE之间的数量关系，并说明理由 2如图，已知AB是O的直径，C是O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点 D作弦DEAB于F，P是BA延长线上一点，且PEAB （1）求证：PE是O的切线； （2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HEHG； （3）若 tanP，试求的值 3如图 1 所示，以点M（1，0
2、）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与M 相切于点H的直线EF交x轴于点E（5，0），交y轴于点F（0，） （1）求M的半径r； （2）如图 2 所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若 cosQHC，求的值； （3）如图 3 所示，点P为M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值 4如图，ABC内接于O，AB是直径，过点A作直线MN，且MACABC （1）求证：MN是O的切线 （2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DEAB于点E，交AC于点F 求证：FDFG 若BC3，AB5，试求AE的长 5如图，在ABC中，ACB90，AO平分BAC，交BC于点O以
3、O为圆心，OC为半径 作O，分别交AO，BC于点E，F （1）求证：AB是O的切线； （2）延长AO交O于点D，连接CD，若AD2AC，求 tanD的值； （3）在（2）的条件下，设O的半径为 3，求BC的长 6如图，四边形ABCD内接于O，AB为直径，BCCD，过点C作CEAB于点E，CHAD 交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G （1）求证：CH是O的切线； （2）若点D为AH的中点，求证：ADBE； （3）若 sinDBA，CG5，求BD的长 7如图，AB为O的直径，CDAB于点E，F是CD上一点，且BFDF，延长FB至点P， 连接CP，使PCPF，延长BF与O交于点G，连结BD，
4、GD （1）连结BC，求证：CDGB； （2）求证：PC是O的切线； （3）若 tanG，且AEBE，求FD的值 8如图，线段AB10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰PAC， 且PAPC，cosCAP，以P为圆心，PB长为半径作P交腰PC于点D（不与点P，C 重合） （1）若D是PC的中点，求AC的长； （2）当P与AC相切时，求P的半径； （3）设BDx，ACy 求y关于x的函数表达式； 连结AD，当ADB的外接圆的圆心O在P上时，求AC的长 9在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1），B（1，1），C（ 1，1），D（1，1），对于图形M，给
5、出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方 形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）已知点E（3，0） （1）直接写出d（点E）的值； （2）过点E画直线ykx3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取 值范围； （3）设T是直线yx+3 上一点，以为T圆心，长为半径作T，若d（T）满足 d（T）+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围 10如图 1，四边形ABCD内接于直径为 12 的圆，A60，ABAD （1）AB ； 四边形ABCD的周长最大值为 ； （2）如图 2，延长AB、DC相交于点E，延长AD、BC
6、相交于点F，求DF与BE的积； （3）如图 3，连接EF，请问在线段EF上是否存在点A与点A关于直线BD对称，若存 在，请证明；若不存在，请说明理由 参考答案 1解：（1）直线MN与O相切， 理由：MNBG， NAGG， NAGFAG， BACADC90， CADABO， OAOB， OABABO， CADBAO， NACBAO， BAO+OAC90， NAC+OAC90， OAMN， 直线MN与O相切； （2）解：连接AE， ， ABAE， AEBACB， ABAE， ABEAEB， ACBABE， BACGAB， ABCAGB， ， BC是O的直径， BAC90， AC3，AB4， BC5
7、， ， BG； （3）解：BDCE+CD， 理由：连接CE， 在BC上截取BHCE，连接AH， ABAE， 又ABCAEC， ABHAEC（SAS）， AHAC， 又ADBC， HDCD， BDBH+HDCE+CD 2解：（1）证明：如图 1，连接OE， AB是O的直径， AEB90， EAB+B90， OAOE， OAEAEO， B+AEO90， PEAB， PEA+AEO90， PEO90， 又OE为半径， PE是O的切线； （2）如图 2，连接OD， D为的中点， ODAC，设垂足为M， AMO90， DEAB， AFD90， AOD+OAMOAM+AGF90， AODAGF， AEBE
8、FB90， BAEF， PEAB， PEF2B， DEAB， ， AOD2B， PEFAODAGF， HEHG； （3）解：如图 3， PEFAOD，PFEDFO， PODF， tanPtanODF， 设OF5x，则DF12x， OD13x， BFOF+OB5x+13x18x，AFOAOF13x5x8x， DEOA， EFDF12x， AE4x，BE6x， PEAB，EPABPE， PEAPBE， ， P+PEFFAG+AGF90， PEFAGF， PFAG， 又FAGPAH， PPAH， PHAH， 过点H作HKPA于点K， PKAK， ， tanP， 设HK5a，PK12a， PH13a，
9、 AH13a，PE36a， HEHG36a13a23a， AGGHAH23a13a10a， 3解：（1）如图 1，连接MH， E（5，0），F（0，），M（1，0）， OE5，OF，EM4， 在 RtOEF中，tanOEF， OEF30， EF是M的切线， EHM90， sinMEHsin30， MHME2， 即r2； （2）如图 2，连接DQ、CQ，MH QHCQDC，CPHQPD， PCHPQD， ， 由（1）可知，HEM30， EMH60， MCMH2， CMH为等边三角形， CH2， CD是M的直径， CQD90，CD4， 在 RtCDQ中，cosQHCcosQDC， QDCD3， ；
10、 （3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP2，G（2，0）， MGCM1， ， 又PMGEMP， MPGMEP， ， PGPE， PF+PEPF+PG， 当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值FG， 在 RtOGF中，OG2，OF， FG PF+PE的最小值为 4（1）证明：AB是直径， ACB90， CAB+ABC90； MACABC， MAC+CAB90，即MAAB， MN是O的切线； （2）证明：D是弧AC的中点， DBCABD， AB是直径， CBG+CGB90， DEAB， FDG+ABD90， DBCABD， FDGCGBFGD， FDFG； 解
11、：连接AD、CD，作DHBC，交BC的延长线于H点 DBCABD，DHBC，DEAB， DEDH， 在 RtBDE与 RtBDH中， ， RtBDERtBDH（HL）， BEBH， D是弧AC的中点， ADDC， 在 RtADE与 RtCDH中， ， RtADERtCDH（HL） AECH BEABAEBC+CHBH，即 5AE3+AE， AE1 5证明：（1）如图，过点O作OMAB， AO平分BAC，OMAB，ACB90， OCOM， OM为O半径，且OMAB， AB是O切线 （2）解：DE是O的直径， DCE90， ACB90， DCEACB， DCOACE， OCOD， DDCO， AC
12、ED，且AA， ACEADC， ， AD2AC， tanD； （3）ACEADC， ， AC2AD（AD6），且 2ACAD， AD8， AC4， AOAO，OCOM， RtAOMRtAOC（HL）， AMAC4， BB，OMBACB90 OBMABC， ， ， ， BM， AB4+， BC 6（1）证明：如图 1，连接OC，OD， BCCD， BOCCODBOD， 又BAHBOD， BAHBOC， AHOC， AHCH， OCCH， CH是O的切线； （2）证明：如图 2，连接AC， BCCD， ， BACCAH， 又CEAB，CHAH， CECH， RtCEBRtCHD（HL）， BEDH
13、， 点D为AH的中点， ADDH， ADBE； （3）解：如图 3，延长CE交O于点F， AB是O的直径，CFAB， ， BCECBD， GBGC5， 在 RtGEB中，sinGBE， GE3， BE4， CECG+GE5+38， EACCADCBDBCE，AECCEB90， RtAECRtCEB， ， 即， AE16， ABAE+BE16+420， 在 RtADB中，sinDBA， ADAB2012， BD16 7解：（1）BFDF， BDFDBF， 在BCD与DGB中， ， BCDDGB（AAS）， CDGB； （2）如图 1，连接OC， COB2CDB，CFBCDB+DBF2CDB， C
14、OBCFB， PCPF， COBCFBPCF， ABCD， COB+OCE90， PCF+OCEPCO90， OCCP， OC是半径， PC是O的切线； （3）如图 2，连接AD， AB是O的直径， ADB90， ABCD， ， BDEAG， tanG， tanA，即AE3DE， 同理可得：DE3BE， AEBE3DEDE， 解得：DE， CD2DE2， BE， BD， BCDFDB，BDCFBD， BCDFDB， ， BCBD， FD 8解：（1）如图 1，作PEAC于点E， D是AC的中点， PC2PD， PAPC，PDPB， PA2PB，AECE， AB10，cosCAP， AP， AC
15、2APcosCAP28， （2）设P的半径为r，则AP10r， 作PEAC于点E，则E点为所求的切点， 在 RtPEA中，sinCAP， EP（10r）， 当P与AC相切时，有EPr， （10r）r， 解得，r， 当P与AC相切时，P的半径为 （3）如图 2，作PFBD于点F，则BFDF， PDPB，PAPC， PBDPDB，CAPC， BPFBPD（CAP+C）CAP， DBx，ACy， PBFBx，APAEy， PB+PA10， y10， y关于x的函数表达式为y12x 如图 3，由题意得，延长FP与P的交点O即为ADB的外接圆的圆心， 作OHAB于点H，连接OB，OA， OAOB， AH
16、BH5， BPFCAP， cosBPFcosOPHcosCAP， 设PF3k，PB5k，则BFDF4k，POPB5k，PH3k， BH5k+3k5， k， xBD8k5， ACy12x125 9解：（1）E（3，0），B（1，1）， 观察图象可知，d（点E）BE或EC， d（点E） （2）如图 1 中， 当d（线段EF）取最小值， d（线段EF）的最小值d（点E）， d（点F）， 当d（点F）时，F（0，3），或F（0，3）， 将F代入ykx3k，得k1， 将F代入ykx3k，得k1， 观察图形可知，满足条件的k的值为：k1 或k1 （3）如图 2 中，设直线yx+3 交x轴于E，交y轴于F
17、d（点E）d（点F）， 点T在第二象限或第四象限，设T（m，m+3）， 当T在第二象限，TD时，（m1）2+（m+3+1）2， 解得m或（舍弃）， 当T在第四象限，TB时，（m+1）2+（m+31）2， 解得m或（舍弃）， 观察图象可知满足条件的圆心T的横坐标x的取值范围为：x或x 10解：（1）如图 1，设圆心为O，连接BO，DO，BD， DOB2DAB， DOB120， 又OBOD6，OHBD， ODBOBD30，DHBH， OHOD3，DHOH3， AB6， 故答案为：6； 如图，连接AC，延长DC至H，使CHBC，连接BH， ABAD，DAB60， ABD是等边三角形， ABBD，AB
18、D60， 四边形ABCD是圆内接四边形， DAB+DCB180， DCB120， BCH60， 又BCCH， BCH是等边三角形， BCBH，CBHABD60， ABCDBH， ABCDBH（SAS）， DHAC， 四边形ABCD的周长AD+AB+CD+BC6+6+DC+CH12+AC， 当AC为直径时，四边形ABCD的周长的最大值为 12+12， 故答案为：12+12； （2）如图 2，连接BD， 由（1）可知：ABDADBDCF60，ABBD6， ADBF+DBF，DCFDBF+BDE， FBDE， ABDADB60， BDFDBE120， DBFBED， ， DFBEBD2108； （3）存在， 理由如下：如图，作点A与点A关于直线BD对称，连接AD，AB， ADAD，ABAB，DABDAB， ABD是等边三角形， ADABBD，DABADBABD60， ADBABD60，ABADBD， ADFABE60， ， ， FDAABE， DFABAE， DFA+DAFADA120， DAF+BAE120， DAF+BAE+BAD180， 点F，点A，点E三点共线， 在线段EF上存在点A与点A关于直线BD对称
