1、 - 1 - 黄山市 2017 2018 学年度第一学期期末质量检测 高一数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 请在答题卷的相应区域答题 .） 1. 已知集合 ， ，若 ，则 的值为 A. 4 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】 A 【解析】试题分析：可知， 或 ，所以 故选 A 考点：交集的应用 2. 已知 角终边经过点 ，则 的值分别为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，所以 ， ，选 C. 3. 若向量 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ，所以 ，所以 ，选 D. 4. 下列选项中，与 最接
2、近的数是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，该值接近 ，选 C. 5. 如图，向量 ， ，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底 ， 表示为 - 2 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题设有 ，所以 ，选 C. 6. 设全集 , , ,则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ，阴影部分表示的集合为 ，选 B. 7. 已知六边形 是边长为 1 的正六边形，则 的值为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】如图， ，选 D. 8. 函数 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍，再将图象向右平移 3 个单
3、位长度，所得图象的函数解析式为 A. B. C. D. 【答案】 D - 3 - 【解析】函数 的图像的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍，所得图像的解析式为 ，再向右平移 3 个 单位长度，所得图像的解析式为 ，选 D. 9. 设函数 ， 且 在 上单调递增，则 的大小关系为 A . B. C. D.不能确定 【答案】 B 点睛：题设中的函数为偶函数，故根据其在 上为增函数判断出 ，从而得到另一侧的单调性和 ，故可以判断出 . 10. 在直角梯形 中 , , , ,动点 从点 出发，由沿边运动（如图所示） , 在 上的射影为 ，设点 运动的路程为 , 的面积为 ，则 的图象大致是 A.
4、B. C. D. 【答案】 D 【解析】根据题意可得到 ， 由二次函数和一次函数的图象可知 的图象只能是 D， 故选 D. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力、分段函数的解析式，属于难题 . 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能转化为数学模型进行解答 . 理解本题题意的关键是构造分段函数 ， 构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏 . - 4 - 11. 已知函数 在 内是减函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题设有 为减函数，且 ， 恒成立，所以
5、，解得 ，选 B. 12. 形如 的函数因其函数图象类似于汉字中的 “ 囧 ” 字，故我们把其生动地称为 “ 囧函数 ”. 若函数 且 有最小值，则当 时的 “ 囧函数 ” 与函数 的图象交点个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】 C 【解析】当 时， ，而 有最小值，故 .令， ，其图像如图所示： 共 4 个不同的交点，选 C. 点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性来简化图像的 刻画过程 . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请在答题卷的相应区域答题 .） 13. 已知函数 ，则 的值为 _. -
6、5 - 【答案】 【解析】 ，填 . 14. 在用二分法求方程 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间 (1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为 _. 【答案】 【解析】令 ， ， ， ，故下一步可以断定根所在区间为 ，填 . 15. 已知 ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 的坐标是 _. 【答案】 【解析】因为 在 的 延长线上，故 共线反向，故 ，设 ，则，解得 ， 的坐标为 ，填 . 点睛：注意根据条件确定两个向量是共线同向还是共线反向 . 16. 给出以下四个结论： 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 ； 函数 （其中 ，且 ）的图象过定点 ； 当 时，幂函数 的图象是一
7、条直线； 若 ，则的取值范围是 ； 若函数 在区间 上单调递减，则的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是 _. 【答案】 【解析】对于 ，因为 ， ，所以 的定义域为 ，令 ， 故即 的定义域为 ，故 对；对于 ，当 ， ，图像恒过定点 ，故 错；对于 ，要求 ，故 的图像是两条射线；对于 ，原不等式等价于 ，故- 6 - （无解）或 ，故 ，故 对；对于 ，实数应满足 ，解得 ，故 对，综上，正确结论的序号为 . 点睛： （ 1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知 的定义域为 ， 的定义域为 ，那么 的定义域为 ；如果已知 的定义域为 ，那么 的定义域可取为 . （ 2）形如
8、的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函数，我们不仅要考虑 在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有成立 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明、解答过程或演算步骤 .请在答题卷的相应区域答题 .） 17. （ 1）化简： ； （ 2）已知 ，求 的值 . 【答案】（ 1） -1（ 2） -3 【解析】试题分析：（ 1）根号下是 ，开方后注意 ，而，从而所求值为 . （ 2）利用诱导公式原式可以化简为，再分子分母同时除以 ，就可以得到一个关于 的分式，代入其值就可以得到所求值为 . 解析：（ 1） . （ 2） . 18. 设向量 ， ，且与 不
9、共线 . （ 1）求证： ； （ 2）若 ，求 的值 . - 7 - 【答 案】（ 1）见解析（ 2） 或 . 【解析】试题分析：（ 1）利用坐标计算 即可 .（ 2） 由模相等可以得到 ，从而得到 ，结合 的范围有 或 . 解析：（ 1）由题意可得. , . . （ 2）因为向量 与 模相等，所以 ， .由于，解得 ， ， ， ,所以 或 . 19. 设函数 为常数，且 的部分图象如图所示 . （ 1）求函数 的表达式； （ 2）求函数 的单调减区间； （ 3）若 ，求 的值 . 【答案】（ 1） （ 2） （ 3） 【解析】试题分析：（ 1）由图可以得到 ， ，故 ，而 的图像过 ，故而，
10、结合 得到 .（ 2）利用复合函数的单调性来求所给函数的单调减区间，可令 ，解得函数的减区间为 .（ 3）由得 ，而 ，所以 . 解析：（ 1）根据图象得 ，又 ，所以 . 又 过点 ， 所以，又 ，所以 得： . - 8 - （ 2）由 得： .即函数 的单调减区间为. （ 3）由 ，得 ，所以 . . 20. 在区间 上，如果函数 为增函数，而函数 为减函数，则称函数 为 “ 弱增 ” 函数 .试证明：函数 在区间 上为 “ 弱增 ” 函数 . 【答案】见解析 【解析】试题分析：根据定义，只要证明函数 在 是单调减函数即可，这 可以通过单调减函数的定义去证明 . 证明：设任意 ，且 ，由于
11、 ，所以在区间 上， 为增函数 . 令 ， 则有：. 由于 ，则 且 ，故 . 故在区间 上，函数 为减函数 . 由 “ 弱增 ” 函数的定义可知，函数 在区间 上为 “ 弱增 ” 函数 . 21. 已知 ，函数 . （ 1）当 时，证明 是奇函数； （ 2）当 时，求函数 的单调区间； （ 3）当 时，求函数 在 上的最小值 . 【答案】（ 1）见解析（ 2）增区间为 ， ，减区间为 （ 3）当 时，；当 时， - 9 - . 解析：（ 1）若 ，则 ，其定义域是一切实数 .且有 ，所以 是奇函数 . （ 2）函数 ， 因为 ，则函数 在区间 递减，在区间 递增 ，函数 在区间 递增 . 综
12、上可知，函数 的增区间为 ， ，减区间为 . （ 3）由 得 . 又函数 在 递增，在 递减， 且 ， . 若 ，即 时， ； 若 ，即 时， . 综上，当 时， ；当 时， . 点睛：带有绝对值符号的函数，往往可以通过讨论代数式的正负去掉绝对值符号，从而把原函数转化为分段函数，每一段上的函数都是熟悉的函数，讨论它们的单调性就可以得到原函数的单调 性 . 22. 如图 ,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道（ ， 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好 .设计要求管道的接口是 的中点， 分别落在线段 上 .已知 米， 米，记 . （ 1）试将污水净化管道的
13、总长度 (即 的周长 )表示为的函数，并求出定义域； （ 2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度 . - 10 - （提示： .） 【答案】（ 1） ，定义域为 .（ 2）当 或 时所铺设的管道最短，为 米 . 【解析】试题分析：（ 1）如图，因为 都是直角三角形，故可以得 到，也就是 ，其中 .（ 2） 可变形为 ，令 后，则有 ，其中 ，故 取的最大值 米 . 解析：（ 1） . 由于 ， ，所以 ，故 .管道的总长度，定义域为 . (2) . 设 ，则 ，由于，所以 . 因为 在 内单调递减，于是当 时， 取的最大值 米 . （此时 或 ） . 答：当 或 时所铺设的管道最短，为 米 . 点睛：在三角变换中，注意 之间有关系，如， ，三者中知道其中一个，必定可以求出另外两个 .
