1、反比例函数的图象和性质的综合运用1学习目标学习目标1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重 点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力.(重点、难点)2 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线 当 k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.问
2、题1 问题2 3用待定系数法求反比例函数的解析式 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.1例14(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A(2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k=12.kyx62k因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.所以反比例
3、函数的解析式为 .12yx5已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)(1)求这个函数的表达式；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx32k 解得 k=6.这个函数的表达式为 .6yx6(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的 图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上7(3)当 3 x 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 3 x 1 时，6 y 2.8反比例函数
4、图象和性质的综合(1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy 如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.2例29(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1)和 点B(x2，y2).如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时，y1y2.10OM=2.(3)当 3 x SBSC B.PAx 轴于A.SO
5、FE=S1=S2，而 S3SOFE，PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是(3)当 3 x 1 时，求 y 的取值范围支位于第一象限，所以另一支SA=SB=SC D.在同一坐标系中，函数 和 y=k2 x+b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？所以A(2，4)，B(4，2).点 A 在反比例函数若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，面积和 k 的关系是试求出它们的解析式，并画出图象.SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；两点，填写表
6、格：填写下页表格：SAOC k2，体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)垂直 x 轴于点 C，且 AOC 的面积为 2，求该反比例由前面的探究过程，可以猜想：若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky 15yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为(a，b),AB点 P(a，b)在函数 的图象上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k.若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限
7、，则 a0，bSBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASC0)图像上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴.设 POA 的面积为 S1，则 S1=；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.4yx2S1S2S3例422C1 D0如图，在函数 (x0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 S矩形 AOBP=PBPA=a(b)=ab=k.所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函解：反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，(4)点 B(1，8)，C(
8、3，5)是否在该函数的图象上？所以 S1，S2，S3的大小关系为.SQAO=SQBO=.y=k1x 和 .SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.必位于第三象限.解析：由反比例函数面积的不变梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；解：根据图象可知，若 ax+b ，图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的若点 P 在第二象限，则 a0，在同一坐标系中，函数 和 y=k2 x+b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？(3)当 3 x 1 时，求 y 的取值范围解：根据图象可知，若 a
9、x+b ，如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b 的解集是_ 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，AOC 的面积 S1、BOD 的面积 S2、POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1=S2 S3解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1=S2.PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE=S1=S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1=S2 0b 0k1 0k2 0b 0 xyOxyO2合作探究合作探究26k2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO27
10、函数 y=kxk 与 的图象大致是 ()0(kxkyD.xyOC.yA.yxB.xyODOOk0k0k0k0由一次函数增减性得k0由一次函数与y轴交点知k0，则k0 x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.例628 在同一直角坐标系中，函数 与 y=ax+1(a0)的图象可能是 ()ayx A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB29 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 .23yx0 2 x 32myx解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，
11、可知2 x 3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.例730 如图，一次函数 y1=k1x+b(k10)的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是 22kyx12yx0A B 1 x 231 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)，则点 P(3，4)是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 .2kyx所以 ，.143k 243k解得 ，.143k 212
12、k 例832P则这两个函数的解析式分别为 和 ，它们的图象如图所示.43yx 12yx 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：33 反比例函数 的图象与正比例函数 y=3x 的图象的交点坐标为 12yx(2，6)，(2，6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.34 已知 A(4，)，B(1，2)是一次函数 y=kx+b与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数解析式及 m 的值.myx12解：把A(4，)，B(1，2)代入 y=kx+b中，得 124k+b=，12k+b=2，k=，解得 b=，1252所以一次函数的解析式为 y=x+.1252例935把
13、 B(1，2)代入 中，得 m=12=2.myx36A.4 B.2 C.2 D.不确定1.如图所示，P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ()kyxOBAPxyA372.反比例函数 的图象与一次函数 y=2x+1 的 图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析 式是_ xky 3yx383.如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b 的解集是_2kyx2kx1x5OBAxy15394.已知反比例函数 的图象经过点 A(2，4).(1)求
14、k 的值；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，4)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx42k 解得k=8.40(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.41(3)画出该函数的图象；Oxy解：如图所示.42(4)点 B(1，8)，C(3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为 .8yx 43xyOBA5.如图，直线 y=ax+b 与双曲线 交于两
15、点 A(1，2)，B(m，-4)两点，(1)求直线与双曲线的解析式；kyx所以一次函数的解析式为 y=4x2.把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a=4，b=2.解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中，得 k=2，故其解析式为 .当y=4时，m=.2yx1244(2)求不等式 ax+b 的解集.kxxyOBA解：根据图象可知，若 ax+b ，kx则 x1或 x0.12456.如图，反比例函数 与一次函数 y=x+2 的图象交于 A，B 两点.(1)求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：8yx ，y=x+2，解得 x=4，y=2 所以A(2，4)，B(4，2).或 x=2，y=4.46作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.47面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称反比例函数图象和性质的综合运用48
