1、3.1 量纲分析与轮廓模型 1.量及其度量n10.模型所涉及的主要是量不是数n20.量（物理量）可以分为：n 基本量：基础的，独立的量n 长度、质量、时间、n 导出量：由基本量通过自然规律导出的量n 速度、加速度、力、n30.量的度量体系 单位制：n 基本量及其度量单位一.量与量纲 40.国际单位（SI）制n 基 本 量 n 名称 单位 符号 n 长度 L 米 mn 质量 M 千克 kgn 时间 T 秒 sn电流强度 I 安培 An 温度 开尔文 Kn 光强 J 坎德拉 cdn物质的量 N 摩尔 moln 导 出 量 n名称 单 位 符 号n 力 牛 顿 N（kgms-2）n能量 焦 耳 J（
2、kgm2s-2）n功率 瓦 特 W（kgm2s-3）n频率 赫 兹 Hz（s-1）n压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）n2.量纲：n 10.量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式n Q=L M T I J N n为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。,称为量纲指数。n 例.长度=L、质量=M、时间=T、n 面积=L2 体积=L3、速度=LT-1,n 加速度=LT-2、力=MLT-2,n 能量=ML2T-2.n 注n 1.物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。n 2.对于某个物理量Q,如果n Q=L M T I J N，n有=0，则
3、称之为无量纲量，记为Q=1。它将不依赖于选定的基本量。n 3.无量纲量不一定是无单位的量。20.量纲齐次法则 一个规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。例如,牛顿第二定律 F=ma,F=MLT-2,ma=MLT-2二.量纲分析量纲分析 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592例如,牛顿第二定律 F=ma,购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！k()与 有关。量纲分析是在物理领域中建立数学A:每件商品中产
4、品的成本,4元 400g;67.即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.V=k5(U+nW)=nk5(k3+W)=k6n。即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.预测:W=1800,C(W)=126.则有L1*=mL1,L2*=mL2,L3*=mL3;F=MLT-2,ma=MLT-25,C(W)=3.即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.B1:装包工时投入,如果八人艇分为重量级组和轻量级组，327s 3.相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；例 1 建模描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端,铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置
5、后将在重 力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。xlmn假设：n 1.忽略空气阻力；n 2.忽略可能的磨擦力；n 3.平面运动，忽略地球自转；n 4.忽略摆线的质量和变形。n分析建模n 10.列出有关的物理量n 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅.n 20.写出量纲n t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1.n 30.写出规律n F(t,l,m,g,)=0.n 40.写出规律中加项 的形式n =t 1 l 2 m 3 g 4 5对自由变量(4，5)选取基底(1,0)和(0,1)。327s 3.根据前面得到的艇速的模型，有r(W)=|dc/dw|=1/
6、3 k2W-4/3.3=0艇速 v 定常，阻力 F长度 L 米 m为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。例 1 建模描述单摆运动的周期调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）模型的方法，利用物理量的量纲提供的 周期与 质量 m运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变,根据浸没面积与排水体积的模型可知，有B2=a3S=a4w2/3.周期与 质量 m购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅.雨滴匀速
7、下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.n 50.计算 的量纲n =T1L2M3(LT-2)4n =T1-24L2+4M 3 n 60.应用量纲齐次原理n 由=1,可得关于i(i 1,5)的方程组n 1-24=0n 2+4=0n 3=0n 5 任意 n 70.解方程组n解空间的维数是二维。n对自由变量(4，5)选取基底(1,0)和(0,1)。n关于 1,2,3 求解方程组可得基础解系10000,0101254321 n 80.求n 将方程的解代入加项 的表达式，可得n 1 =t2 l-1 g=t2 g/l，2=.n 90.建模n 单摆运动的规律应为 f(1,2)=0，n 解出 1 可
8、得n 1=k1(2)，即 t2 g/l=k1()，glkt/)(n 100.检验n 周期与 质量 m n m=390g m=237gnl=276cm 3.327s 3.350snl=226cm 3.058s 3.044sn 周期与振幅 (l=276cm,m=390g)n (0)8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62n k()6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 n 150 时,k()2。k()与 有关。n Buckingham 定理n 物理量的函数关系 F(x1,xk)=0当且仅当它可以
9、表示为形式 f(1,m)=0时，它才是量纲齐次的，其中m k,且n为 xi 的无量纲乘积 i =1.mixkjjiij,1,1三.量的比例关系与轮廓模型n1.量的比例关系n 10.模型表达了不同量纲的量之间的转换规律.n 20.由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。n 30.在同一模型中，若量 y1和 y2的量纲分别为 y1=X和 y2=X，n则定有 y1=k y2/n.轮廓模型(profile models)n 直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。n 模型举例n 例 2.几何体中的长度、面积和体积n 正立方体 n 棱长 l0=a，底面周长 l1
10、=4a，底面对角线 长 对角线长n 表面积 S1=6a2，底面面积 S2=a2，对角面面积 n 体积 V1=a3，四棱锥体积 V2=a3/3al22al33232 aS n结论n在简单的几何体中，n 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；n 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；n 相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；n Si=k1 Lj2，V i=k2Lj3，Vi=k3Sj3/2。n长方体 I 有棱长(a,b,c)n 总棱长L1=2(a+b+c),底面周长 L2=2(a+b),n 对角线长 n 表面积 S1=2(ab+bc+ca),底面面积 S2=ab,n 体积 V1=a
11、bc,四棱锥体积 V2=1/3 abc.2223cbaL n若长方体 II 有棱长(a*,b*,c*),且n a*/a=b*/b=c*/c=m.n则有L1*=mL1,L2*=mL2,L3*=mL3;n S1*=m2S1,S2*=m2S2;n V1*=m3V1,V2*=m3V2.n于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;n Vi*/Lk*3=Vi/Lk3;Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.n即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.导出量：由基本量通过自然规律导出的量A:每件商品中产品的成本,如果八人艇分为重量级组和轻量级组，018 (T1/T2)1.物理量的量纲只依赖于基本量的
12、选择，独立于单位的确定。F=MLT-2,ma=MLT-29元/400ml 23.速度、加速度、力、L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 55923791 W+4.信息，根据量纲齐次法则确定物理量之平面运动，忽略地球自转；=T1L2M3(LT-2)4相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；Vi*/Lk*3=Vi/Lk3;Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；周期与 质量 m7元/190g 5.Buckingham 定理因此有 n P=k4 F v，调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格
13、的关系.W/L3 .n结论n在相似的几何体中，n相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；n相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；n相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；n Si=k1 Lj2，Vi=k2Lj3，Vi=k3Sj3/2。n例3.生活中的长度、面积和体积。n10.纽约黑鲈的体重W和体长Ln W(ozs)17 16 17 23 26 27 41 49n L(in)12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75n L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592n W/L3 .0087 .
14、0079 .0084 .008 .0085 .0089.008 .0088 n20.人的体重W和身高LnW(kg)12 17 22 35 48 54 66 75nL(cm)86 108 116 135 155 167 178 185nL3(103cm3)636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332n W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118 n30 蜥蜴的体长和体重 n 小蜥蜴体长15cm,体重为15g,当它长到20cm长时体重为多少?(20g,25g,35g,40g)n例4.商品的包装与成本n 商
15、 品 价格 含量 价格 含量n高露洁牙膏 15.7元/190g 5.8元/60g n诗芬洗发液 35.9元/400ml 23.1元/200mln富丽饼干 8.8元/450g 3.0元/150g n奇宝饼 5.9元/250g 4.3元/150g 单价8.3元/100g9元/100ml1.9元/100g2.3元/100g单价9.7元/100g11.5元/100ml2元/100g2.87元/100g建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?n假设:n 10.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。n 20.包装只计装包工时和包装材料。n 30.不同规格的商品装包时工作效率相同。n 40.不同规格的
16、商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。.n参量与变量n A:每件商品中产品的成本,n W:每件商品中产品的含量,n B:每件商品的包装成本,n B1:装包工时投入,n B2:包装材料成本n S:包装材料用量,n C(W):总成本,n c(W):单位商品平均成本.n模型n C(W)=A+B1+B2 n A=a1W,B1=a2W,n B2=a3S=a4w2/3.n C(W)=k1W+k2W2/3nc(W)=k1+k2W-1/3n应用:n 1.价格预测 康尔乃奶粉n 32.4元 400g;67.1元 900g.n 4 k1+42/3 k2=32.4n 9 k1+92/3 k2=
17、67.1n 解得:k1=5.3791,k2=4.3192n 模型:C(W)=5.3791 W+4.3192 W2/3.n 预测:W=1800,C(W)=126.49.n W=2500,C(W)=154.36n检验n 实际:W=1800,C(W)=115.9n W=2500,C(W)=146.85n 可赛矿泉水n 1.70元 0.6升；2.20元 1.0升n 0.6 k1+0.62/3k2=1.7n 1.0 k1+1.02/3 k2=2.2n 解得：k1=-1.21，k2=3.41n 预测：W=1.5，C(W)=2.65n检验n 实际:W=1.5,C(W)=3.45小蜥蜴体长15cm,体重为15
18、g,当它长到20cm长时体重为多少?(20g,25g,35g,40g)c(W):单位商品平均成本.名称 单位 符号W(ozs)17 16 17 23 26 27 41 49加速度=LT-2、力=MLT-2,信息，根据量纲齐次法则确定物理量之9元/400ml 23.在同一模型中，若量 y1和 y2的量纲分别为 y1=X和 y2=X，W/L3 .F=MLT-2,ma=MLT-2调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.由
19、于 W2/W1=86/73=1.力的作用下做往复的周期运动。=T1L2M3(LT-2)43791 W+4.3元/150g9 k1+92/3 k2=67.即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.四人 6.n分析n 10.不宜于预报新商品的价格(?)n 20.成本的降低率n r(W)=|dc/dw|=1/3 k2W-4/3.n是商品量的减函数.n 30.支出的节省率n S(W)=W r(W)=1/3 k2W-1/3.n也是商品量的减函数.n 购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！n例5.划艇比赛的成绩n 问题1.划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，n 赛程
20、 2000m,称划行时间为比赛成绩。n 试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。n假设：n 10.运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变,n 20.艇身相似，n 30.艇速 v 定常，阻力 F 且与体重 W 呈正比。艇重 U 与桨手人数 n 呈正比。F 与 Sv2 呈正比，S 为浸没面积。n参量、变量nn:人数，W:体重，P:输出功率,nU:艇重，v:艇速，F:划艇受到的阻力，nS:浸没面积,V：排水体积，nD:比赛距离，T:比赛成绩(时间).n模型n 由假设可知 P=k1W,F=k2Sv2.n 由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有 n P=
21、k4 F v，n则 k1 n W=k4 k2 S v3，n v=k(nW/S)1/3.n 由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与载人艇的总重量呈正比,且 U=k3nn V=k5(U+nW)=nk5(k3+W)=k6n。n浸没面积与排水体积之间有关系S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度的模型，可得n v=k(nW/n2/3)1/3=kn1/9n最后得到比赛成绩的模型n T=D/v=kn-1/9.n检验：划艇四次比赛的成绩 种类 成绩(划2000米时间(分)平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33
22、6.42 6.48 6.13 6.34 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835根据这些数据，利用最小二乘法拟合可得 T=7.29 n-0.104。模型相当准确。W=2500,C(W)=146.5,C(W)=3.m=390g m=237g价格预测 康尔乃奶粉W(kg)12 17 22 35 48 54 66 75F=MLT-2,ma=MLT-2不同规格的商品装包时工作效率相同。9元/250g 4.几何体中的长度、面积和体积L(cm)86 108 116 135 155 167 178 185名称 单位 符号可得 (W2/W1)1/9 (T1/T2)(W2/W1)1/3.长度、质
23、量、时间、且与体重 W 呈正比。S(W)=W r(W)=1/3 k2W-1/3.于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;327s 3.相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；体积 V1=a3，四棱锥体积 V2=a3/3于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；小蜥蜴体长15cm,体重为15g,当它长到20cm长时体重为多少?(20g,25g,35g,40g)n 问题2.如果八人艇分为重量级组和轻量级组，n 规定重量级组运动员体量为86公斤，轻量级组运动员体重为73公斤。n 表列八人艇是重量级组的成绩,请推断轻量级组的成绩。n 设：轻量级组的运
24、动员体重,划艇浸没面积,艇速和成绩分别为 W1,S1,v1,T1,相应的重量级组为 W2,S2,v2,T2。n根据前面得到的艇速的模型，有n v1=k(nW1/S1)1/3，v2=k(nW2/S2)1/3.3/1213/1123/1113/1221221)()()()(SSWWSnWSnWvvTT3/1213/11221)()(SSWWTT根据浸没面积与排水体积的模型可知，有可得 (W2/W1)1/9 (T1/T2)(W2/W1)1/3.由于 W2/W1=86/73=1.178,则有 1.018 (T1/T2)1.056，3/2213/221211WWnWUnWUSS 5.940 T2 6.1
25、62 3/112213/13/2213/112)()()(WWTTWWWW02/3 k2=2.2+4=0相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；量的比例关系与轮廓模型A:每件商品中产品的成本,c(W)=k1+k2W-1/3相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；W/L3 .相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；Q=L M T I J N 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；327s 3.周期与 质量 m购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！L(cm)86 108 116 135 155 167 178 185几何体中的长度、面积和体积S(W)=W r(W)=1/3
26、k2W-1/3.称这个乘幂之积的表达式如果八人艇分为重量级组和轻量级组，2+4=0相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；r(W)=|dc/dw|=1/3 k2W-4/3.3791 W+4.0.总棱长L1=2(a+b+c),底面周长 L2=2(a+b),长度、质量、时间、导出量：由基本量通过自然规律导出的量V=k5(U+nW)=nk5(k3+W)=k6n。5.W/L3 .周期与 质量 mF 与 Sv2 呈正比，S 为浸没面积。物理量的函数关系 F(x1,xk)=0当且仅当它可以表示为形式 f(1,m)=0时，它才是量纲齐次的，其中m k,且不同规格的商品装包时工作效率相同。体积 V1=a3，
27、四棱锥体积 V2=a3/3A:每件商品中产品的成本,相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。例如,牛顿第二定律 F=ma,n:人数，W:体重，P:输出功率,例 1 建模描述单摆运动的周期力 牛 顿 N（kgms-2）四人 6.A=a1W,B1=a2W,实际:W=1.m=390g m=237g生活中的长度、面积和体积。S:包装材料用量,9元/400ml 23.基 本 量3=0长度 L 米 m棱长 l0=a，底面周长 l1=4a，底面对角线 长 对角线长基本量及其度量单位W/L3 .W:每件商品中产品的含量,相应部位的体积与相应
28、部位面积的3/2次方呈正比；加速度=LT-2、力=MLT-2,艇速 v 定常，阻力 FL3(103cm3)636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332速度、加速度、力、于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;例如,牛顿第二定律 F=ma,几何体中的长度、面积和体积调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.量纲分析是在物理领域中建立数学 周期与 质量 m9元/400ml 23.于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;c(W)=k1+k2W-1/3量纲分析是在物理领域中建立数学v=k(nW/n2/3)1/3=kn1/9W/L3 .
29、富丽饼干 8.购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；功率 瓦 特 W（kgm2s-3）划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，V=k5(U+nW)=nk5(k3+W)=k6n。它将不依赖于选定的基本量。调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.l=276cm 3.双人 6.预测:W=1800,C(W)=126.力 牛 顿 N（kgms-2）相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；无量纲量不一定是无单位的量。总棱长L1=2(a+b+c),底面周长 L2=2(a+b),n习题:n 1.调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.n 2.雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系.
