1、 - 1 - 上学期高二数学 12月月考试题 07 一、选择题（ 8个小题，每题 5 分，共 40分。只有一个是符合题目要求的。） 1、若 ba? 且 Rc? ，则下列不等式中一定成立的是 ( ) A bcac? B 22 ba ? C cbca ? D 22 bcac ? 2、 已知命题 p： 041, 2 ? xxRx ，则命题 p 的否定 p? 是 （ ） A. 041, 2 ? xxRx B. 041, 2 ? xxRx C. 041, 2 ? xxRx D. 041, 2 ? xxRx .3、已知某等差数列共有 10项 ,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 ( )
2、A.5 B.4 C.3 D.2 4、在等比数列 an中，若 a1=1，公比 q=2，则 a12+a22+? +an2= （ ） A、 （ 2n-1） 2 B、 31 （ 2n-1） C、 4n -1 D、 31 （ 4n-1） 5、已知 a、 b为实数，且 a+b=2，则 3a+3b的最小值为 （ ） A、 18 B、 6 C、 32 D、 243 6、已知点（ 3， 1）和（ -4， 6）在直线 3x-2y+a=0的两侧，则 a的取值范围是 ( ). （ A） a24 （ B） a=7或 24 （ C） -70)的两个焦点 ,若 1F 、 2F 、 P(0,2b)是正三角形的三个顶点 ,则双
3、曲线的离心率为 ( ) A.32 B.2 C.52 D.3 二、填空题（每小题 5 分，共 35 分） 9、数列 ?na 的前 n 项和 *2 3( )nns a n N? ? ?，则 5a? - 2 - 10、椭圆 252x + 92y =1上一点 P到一个焦点的距离为 5,则 P到另一个焦点的距离为 . 11、 设等差数列 na 、 nb 的前 n项和分别为 nS 、 nT ，若对任意自然数 n都有nnTS 2n 34n 3，则483759 bb abb a ? 的值为 _ 12、中心在原点，一个焦点是 (-5,0)，一条渐近线是直线 4x-3y=0的双曲线方程是 _ 13、 已知 m,n
4、,m+n 成等差数列 ,m,n,mn 成等比数列 ,则椭圆 122 ?nymx 的离心率为_ 14、已知 0,0 ? yx 且 112 ?yx，若 mmyx 22 2 ? 恒成立，则实数 m的取值范围是 15、 若不等式组 0,0,4xyy kx k? ?表示的区域面积为 S，则 （ 1）当 S=2时， ?k ； （ 2）当 1?k 时， 1?kkS 的最小值为 . 三、解答题（本大题共 6个小题，共 75分 解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程 ） 16、数列 na 满足 11?a ，111122nnaa? ?（ *Nn? ）。（ 12分） （ I）求证 1na?是等差数列； （ II）若
5、 331613221 ? ?nn aaaaaa ?，求 n 的取值范围。 17、（ 12 分） 已知 1)1()( 2 ? xaaxxf （ I）当 21?a 时，解不等式 0)( ?xf ； - 3 - （ II）若 0?a ，解关于 x的不等式 0)( ?xf 。 18、已知命题：“ 11| ? xxx ，都有不等式 02 ? mxx 成立”是真命题。 （ 1）求实数 m 的取值集合 B ； （ 2）设不等式 ? ? ? 023 ? axax 的解集为 A ，若 Ax? 是 Bx? 的充分不必要条件， 求实数 a 的取值范围 . (12 分 ) 19 、 (本小题满分 13 分 ) 为了进
6、一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 .某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元 .该建筑物每年的能源消耗费用 c （单位：万元）与隔热层厚度 x（单位： cm）满足关系：)100(53)( ? xxkxc 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元 .设 )(xf 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 . （）求 k 的值及 )(xf 的表达式； （）隔热层修建多厚时，总费用 )(xf 达到最小，并求其最小值 . 20、（ 13 分）如图，抛物线顶点在原点，圆 xyx 422 ? 的圆心是抛物线的焦点，直
7、线过抛物线的焦点，且斜率为 2，直线交抛物线与圆依次为 A 、 B 、 C 、 D 四点 (1)求抛物线的方程 （ 2）求 CDAB? 的值 - 4 - 21、（ 13 分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点 F1(0， 2 2 )，且离心率 e满足： 32 ， e， 34 成等比数列 (1)求椭圆方程； (2)是否存在直线 l，使 l与椭圆交于不同的两点 M、 N，且线段 MN恰被直线 x 21 平分若存在，求出 l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由 - 5 - 答案 1、 C 2、 A 3、 C 4、 D 5、 B 6、 C 7、 D 8、 B 二、填空题（每小题 5 分，共 35 分） 9
8、、数列 ?na 的前 n 项和 *2 3( )nns a n N? ? ?，则 5a? 48 10.椭圆 252x + 92y =1上一点 P到一个焦点的距离为 5,则 P到另一个焦点的距离为 . 11 设等差数列 na 、 nb 的前 n项和分别为 nS 、 nT ，若对任意自然数 n都有nnTS 2n 34n 3，则483759 bb abb a ? 的值为 _1941 12、中心在原点，一个焦点是 (-5,0)，一条渐近线是直线 4x-3y=0的双曲线方程是 _ 13、 已知 m,n,m+n 成等差数列 ,m,n,mn 成等比数列 ,则椭圆 122 ?nymx 的离心率为_ 22 14.
9、已知 0,0 ? yx 且 112 ?yx，若 mmyx 22 2 ? 恒成立，则实数 m的取值范围是 （ 4， 2） 15若不等式组 0,0,4xyy kx k? ?表示的区域面积为 S，则 （ 1）当 S=2时， ?k ； （ 2）当 1?k 时， 1?kkS 的最小值为 . （ 1） 41 （ 2） 32 三、解答题（本大题共 6个小题，共 75分 解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程 ） 16、数列 na 满足 11?a ，111122nnaa? ?（ *Nn? ）。（ 12分） （ I）求证 1na?是等差数列； （ II）若 331613221 ? ?nn aaaaaa ?，求
10、n 的取值范围。 - 6 - 解：（ I）由111122nnaa? ?可得：1112nnaa? ?所以数列 1na是等差数列，首项 111?a，公差 2d? 12)1(111 ? ndnaa n 12 1? nan（ II） )12 112 1(21)12)(12( 11 ? nnnnaa nn )12 112 151313111(2113221 ? ? nnaaaaaa nn ?11(1 )2 2 1 2 1nnn? ? ? 162 1 33nn ?解得 16n? 17、已知 1)1()( 2 ? xaaxxf （ 12分） （ I）当 21?a 时，解不等式 0)( ?xf ； （ II）
11、若 0?a ，解关于 x的不等式 0)( ?xf 。 解：（ I）当 21?a 时，有不等式 0123)( 2 ? xxxf ， 0)2)(21( ? xx ， 不等式的解为： 221| ? xxx （ II）不等式 0)(1()( ? axaxxf 当 10 ?a 时，有 aa?1 ，不等式的解集为 1| axax ? ； 当 1?a 时，有 aa?1 ，不等式的解集为 1| axax ? ； 当 1?a 时，不等式的解为 1?x 。 18、 已知命题： “ 11| ? xxx ，都有不等式 02 ? mxx 成立 ” 是真命题 。（ 12 （ 1） 求实数 m 的取值集合 B ； （ 2）
12、 设不等式 ? ? ? 023 ? axax 的解集为 A ，若 Ax? 是 Bx? 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 . - 7 - 解： （ 1）命题： “ 11| ? xxx ，都有不等式 02 ? mxx 成立 ” 是真命题， 得 02 ? mxx 在 11 ? x 恒成立 ， ? max2 )( xxm ? 得 2?m 即 ),2( ?B ? 6分 （ 2） 不等式 ? ? ? 023 ? axax 当 aa ?23 ,即 1?a 时解集 )3,2( aaA ? ， 若 Ax? 是 Bx? 的充分不必要条件 ， 则 BA? , ? 22 ?a 此时 ),1( ?a . 当 a
13、a ?23 即 1?a 时解集 ?A ， 若 Ax? 是 Bx? 的充分不必要条件 ， 则 AB? 成立 . 当 aa ?23 ,即 1?a 时解集 )2,3( aaA ? ， 若 Ax? 是 Bx? 的充分不必要条件 ， 则BA? 成立 ， ? 23?a 此时 ? 1,32a . 综上 ： ? ? ,32a ? 14分 20. (本小题满分 13 分 ) 为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 .某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元 .该建筑物每年的能源消耗费用 c （单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：
14、cm）满足关系： )100(53)( ? xxkxc 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元 .设 )(xf为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和 . （）求 k 的值及 )(xf 的表达式； （）隔热层修建多厚时，总费用 )(xf 达到最小，并求其最小值 . 解：（）设隔热层厚度为 )(cmx ， 由题设，每年能源消耗费用为 53)( ? xkxc 再由 8)0( ?c ，得 ,40?k 因此 5340)( ? xxc ，而建造费用为 xxc 6)(1 ? （ 3分） 最后得隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和为 1 4 0 8 0 0( ) 2 0 ( ) ( ) 2 0 6
15、 6 (0 1 0 )3 5 3 5f x C x C x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?.（ 6分） ? - 8 - （） 8 0 0 1 6 0 0( ) 6 (6 1 0 ) 1 03 5 6 1 0f x x xxx? ? ? ? ? ?，（ 8分） 1 6 0 0 1 6 0 0( 6 1 0 ) 2 ( 6 1 0 ) 8 06 1 0 6 1 0xxxx? ? ? ? ? ?， 当且仅当 1600 (6 10)6 10 xx ? 即 5x? 时等号成立（ 10 分） 对应的最小值为 800(5) 6 5 7 01 5 5f ? ? ? ?. 答：当隔热层修建 5
16、cm 厚时总费用达到最小值 70万元 .（ 13分） 20、如图，抛物线顶点在原点，圆 xyx 422 ? 的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为 2，直线交抛物线与圆依次为 A 、 B 、 C 、 D 四点 （ 13分 ） (1)求抛物线的方程 （ 2）求 CDAB? 的值 解：（ 1） 由圆的方程 xyx 422 ? ，即 4)2( 22 ? yx 可知，圆心为 )0,2(F ，半径为 2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 )0,2(F ，抛物线方程为 xy 82? （ 2） BCADCDAB ? BC 为已知圆的直径， 4?BC ，则 4? ADCDAB 设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxD ， FDAFAD ? ，而 A 、 D 在抛物线上， 由已知可知，直线方程为 )2(2 ? xy ， 由? ? ).2(2 ,82 xyy 消去 y ，得 0462 ? xx ， 621 ?xx 1046 ?AD ， 因此， 6410 ? CDAB 21、已知椭圆的中心在原点，一个焦点 F1(0， 2 2 )，且离心率 e满足： 32 ， e， 34 成等比- 9 - 数列（ 13分） (1)求椭圆方程； (2)是否存在直线 l，使 l与椭圆交于
