1、 河南省新乡市 2019-2020 学年 高一上学期期末考试试题 一、选择题一、选择题 1.已知集合 | 15, | 22AxxBxx Z ，则A B ( ) A. 0,1,2 B. 0,1 C. | 12xx D. | 25xx 【答案】A 【解析】由题意 0,1,2,3,4A ， 0,1,2AB 故选：A 2.已知直线l经过 ( 2, 1), (1, 3 1)AB 两点，则直线l的倾斜角是( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】A 【解析】由题意直线的斜率为 3 1 ( 1)3 1 ( 2)3 k ，倾斜角为30 故选：A 3.函数 3 ( )9f xx 的零点
2、所在的区间是( ) A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 【答案】C 【解析】 (0)9f ， (1)8f ， (2)1f ， (3)18f ， (2) (3)0ff ， 零点在区间(2,3)上故选：C 4.已知 (3,2),( 2,3),(4,5)ABC ，则ABC的BC边上的中线所在的直线方程为( ) A. 10 xy B. 10 xy C. 50 xy D. 50 xy 【答案】C 【解析】由题意边BC的中点为 (1,4)D ，中线AD方程为 23 421 3 yx ， 整理得 50 xy 故选：C 5.已知 0a 且 1a ，则函数 2 2 ( )2 logf xxx
3、a 和 ( ) x g xa 在同一个平面直角坐标系 的图象可能是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 1a 时， ( ) x g xa 是增函数， 只有 C、 D 满足， 此时 ( )f x 的对称轴是 2 log0 xa ， C、D 都不满足，不合题意； 01a 时， ( ) x g xa 是减函数， 只有 A、 B 满足， 此时 ( )f x 的对称轴是 2 log0 xa ， 其中只有 B 满足 故选：B 6.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0 x 时， 3 2f xx ，则不等式 0f x 的 解集为( ) A. 3 3 , 2 2 B. 33 , 22 C
4、. 33 ,0, 22 D. 33 ,0, 22 【答案】C 【解析】 0 x 时， ( )32f xx ， 3 0 2 x 时， ( )0f x ， 3 2 x 时， ( )0f x ， 又 ( )f x 是奇函数， 3 0 2 x 时， ( )0f x ， 3 2 x 时， ( )0f x ， 又 (0)0f ， ( )0f x 的解集为 33 (,)(0, ) 22 故选：C 7.已知 , l m 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，且l ，m ，则下列命题中 为真命题的是（ ） A. 若 ，则l B. 若 ，则l m C. 若l m ，则l D. 若 ，则m 【答案】D 【解析】
5、 选项 A,C 直线l可能在平面内， 故不正确； 选项 B, 若 ， m ， 则， m 或m在平面内，而l ，故l与m可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项 D：由 m ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m ，故为 正确.故选：D 8.已知 0,41.3 3 11 ,log 8 82 abc ，则( ) A. b ac B. cab C. abc D. cba 【答案】B 【解析】 0.41.2 11 ( )( ) 82 a ，又 1.21.3 ， 11.21.3 111 2( )( )( ) 222 而 33 log 8log 92 ，c ab 故选：B 9.某几何体
6、的三视图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位: 3 cm)是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图， 其体积为 3 1 22 1 26 2 V 故选：D 10.在四面体PABC中，PC PA ，PC PB ， 22APBPABPC ，则四面体 PABC外接球的表面积是（ ） A. 19 3 B. 19 12 C. 17 12 D. 17 3 【答案】A 【解析】PC PA ，PC PB ， ,PA PB 平面PAB，PAPBP PC 平面PAB. 如图，设O是外接球球心，H是 ABP 的中心，
7、 则OH 平面PAB， 11 22 OHPC ， 322 3 2 233 PH ， 则 2222 19 12 ROPOHPH ， 故四面体外接球的表面积是 2 19 4 3 SR . 故选 A. 11.已知 ,P Q 分别为圆 22 6)3)4:(Mxy 与圆 22 4)2)1:(Nxy 上的动点， A为x轴上的动点，则| |APAQ 的最小值为（ ） A. 1013 B. 5 53 C. 7 53 D. 5 33 【答案】B 【解析】圆 22 4)2)1:(Nxy 关于x轴对称的圆为圆 22 :(4)(2)1Nxy 则| |APAQ 的最小值为 22 1051 25 53MNrR . 故选
8、B. 12.已知函数 21,2 ( ) (2),2 x x f x f xx ， 1 ( )3 2 g xx ，则方程 ( )( )f xg x 的解的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】根据 ( )f x 的解析式知， ( )f x 在区间0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，2 ,2 2)kk （kN）上的图象相同，作出函数图象，如图，同时作出 ( )g x 的图象，它是一条直线， 由于 (6)(6)0gf ， (0)3g ， (0)0f ，因此它们有 4 个交点 即方程 ( )( )f xg x 有 4 个解 故选：C 二、填空题二、填空题 13
9、.两平行直线3 450 xy 与3 4100 xy 之间的距离d _. 【答案】3 【解析】由题意所求距离为 22 5( 10) 3 3( 4) d 故答案为：3 14.已知集合 22 1,3 ,38,3,0Ma aaNaab ， 且 2 MN ， 则ab的 值为_. 【答案】3 【解析】 2MN ，2 ,2MN ， 由2 M ，若1 2a ，则 1a ，此时 2 2aa ，舍去， 2 2aa ，解得 2a （ 1a 舍去） ，此时 1,2,3M ， 由2 N ，又 2 3818aa ， 32b ， 5b ， 2 53ab 故答案为：3 15.在长方体 1111 ABCDABC D 中， 1
10、3,1,2ABADAA ，点O为长方形ABCD对 角线的交点，E为棱 1 CC 的中点，则异面直线 1 AD 与OE所成的角为_. 【答案】60 【解析】如图，取BC中点F，连接 ,EF OF ， E是 1 CC 中点， 1 / /EFBC ，从而有 1 /EFAD ， OEF 或其补角是异面直线 1 AD 与OE所成的角， 在长方体中， 易求得 13 22 OFAB ， 1 13 22 EFBC ， 1 11 123 22 OEAC ， 222 39 3 1 44 cos 223 23 2 EOEFOF OEF EO EF ， 60OEF，异面直线1 AD 与OE所成的角是60 故答案为：6
11、0 16.用max , , a b c 表示 , ,a b c 三个数中的最大值， 设 2 ( )max ln ,1,4(0)f xx xxx x ，则不等式 1f x 的解集为_. 【答案】 1 ,2 e 【解析】作出函数 2 ln ,1,4yx yxyxx 的图象，如图， 由 2 14xxx 得 521 2 x ，由 1lnxx 得 1x ， 2 ln ,01, 521 1,1 2 521 4 , 2 xx f xxx xx x ， ( )f x 在(0,1上递减，在1, ) 上递增， ( ) 1f x 1 e x 或 2x ， 不等式 ( )1f x 的解集为 1 ( ,2) e 故答案
12、为： 1 ( ,2) e 三、解答题三、解答题 17.(1)计算 0.5 031 lg2 3 4 1 ( 1)( 4)log 2 10 9 ； (2)已知集合 1 |39 3 x Ax ， |121Bx axa ，且B A ，求a的取值范 围. 【解】 （1）原式 20.5lg5 111 1 (3 )4101 345 222 ； （2）由题意 | 12Axx ，B A ， 若 121aa ，即 2a ，则B满足题意， 若 2a ，则B， 11 212 a a ，解得 1 0 2 a ， 综上，a的取值范围是 1 (, 20, 2 18.已知直线l过点 0,2 , 2,0 . (1)求直线l的方
13、程； (2)光线通过点 ( 2,1)A ，在直线l上反射，反射光线经过点 (2, 3)B ，试求入射光线和反射 光线所在直线的方程. 【解】 （1）由题意直线l方程为2 2 1 xy ，即 20 xy （2）设A点关于直线l的对称点 1 A 的坐标为( , ) x y ， 则 1 1 2 21 20 22 y x xy ，解得 1 4 x y ，即 1(1,4) A ， 同理可得B点关于直线l的对称点 1 B 的坐标为(5,0)， 直线 1 AB 方程为 5 125 yx ，即 750 xy ，此为入射光线所在直线方程 直线 1 AB 方程为 32 431 2 yx ，即7 110 xy ，此
14、为反射光线所在直线方程 19.已知 1 ( )f xaxb x 是定义在 |0 xxR 上的奇函数，且 (1)5f . (1)求 f x 的解析式； (2)设 ( ) ( )8g xxf x ，求 g x 在 1 ,2 2 上的最大值与最小值. 【解】 （1） ( )f x 是奇函数， 11 ()()fxaxbaxb xx ，解得 0b ， (1)15fa ， 4a ， 1 ( )4f xx x ； （2）由（1） 2 1 ( )(48)481g xxxxx x 2 4(1)3x ，对称轴为 1x ， 1 ,2 2 x ， min ( )(1)3g xg ， max ( )(2)1g xg 2
15、0.如图， 在四棱锥P ABCD 中， 底面ABCD是直角梯形， 90BADCDA ，PA 面ABCD， 1,2PAADDCAB . (1)证明:平面PAC平面PBC； (2)求点D到平面PBC的距离. 【解】 （1）证明：在直角梯形ABCD中， 由 90BADCDA ， 1,2ADDCAB ，得 2,2ACBC ， 222 ACBCAB ，AC BC ， 又PA 面ABCD，PA BC ，PA ACA ， BC平面PAC，BC 平面PBC，平面PAC平面PBC； （2）由（1）得BC PC ， 3PC ， 116 32 222 PBC SPCBC ， 111 1 1 222 DBC SDCA
16、D ， 1111 1 3326 P BDCDBC VSPA 设点D到平面PBC的距离为h， 则 1166 3326 D PBCPBC VShhh 1 6 P DBC V ， 6 6 h ， 点D到平面PBC的距离为 6 6 21.直线 1 l ： 20ykxk 与坐标轴的交点为A，B，以线段AB为直径的圆C经过点 3,1D . （1）求圆C的标准方程； （2）若直线 2 l ：3 430 xy 与圆C交于M，N两点，求 MN . 【解】 （1）直线 1 l ： 20ykxk 与坐标轴的交点为 0, 2 ， 2 ,0 k . 因为以线段AB为直径的圆C经过点 3,1D ，所以AD BD ， 所以
17、 31 1 2 3 3 k ，解得 1 2 k . 所以圆C的圆心为线段AB的中点，其坐标为 2, 1 ，半径 22 125R ， 圆C的标准方程为 22 215xy . （2）因为圆心C到直线 2 l ：3 430 xy 的距离为 643 1 5 d ， 所以 22 24MNRd . 22.已知函数 22 ( ) 3 xx ee f x ，其中e为自然对数的底数. (1)证明: f x 在(0, ) 上单调递增； (2)函数 2 5 ( ) 3 g xx ， 如果总存在 1 , (0)xa a a ， 对任意 212 ,xf xg xR都成 立，求实数a的取值范围. 【解】 （1）设 12
18、0 xx ， 则 1122 12 22 ( )()()() 33 xxxx f xf xeeee 12 12 211 ()() 3 xx xx ee ee 1212 12 2()(1) xxxx xx eee e e e ， 12 0 xx ， 12 xx ee ， 12 1 xx e e ， 12 ( )0(f xf x ，即 12 ( )()f xf x ， ( )f x 在(0, ) 上单调递增； （2）总存在 1 , (0)xa a a ，对任意 212 ,xR f xg x 都成立， 即 maxmax ( )( )f xg x ， 2 5 ( ) 3 g xx 的最大值为 max 5 ( ) 3 g x ， 22 ( ) 3 xx ee f x 是偶函数，在(0, ) 是增函数， 当 , xa a 时， max 22 ( )( ) 3 aa ee f xf a ， 225 33 aa ee ，整理得 2 2520 aa ee ，( 2)(21)0 aa ee ， 0a ， 1 a e ，即2 10 a e ， 20 a e ， ln2a 即a的取值范围是ln2, )
