1、 北京市延庆区 2019-2020 学年高二下学期期中考试试题 本试卷共本试卷共 4 页，满分页，满分 150 分，考试时间分，考试时间 90 分钟分钟 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 48 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知全集U R，集合 |10Ax x ， |40Bx x，则() U AB U （A） |1x x （B） |x4x （C） |1x x （D） |4x x 2.计算 2 1 i （A）2i （B）2i
2、（C）2i （D） 2+i 3.已知点 (0,1),(1,2)AB ，向量(2,3)AC ，则向量BC （A）(1,2) （B）( 1, 2) （C）(3,6) （D）( 3, 5) 4.复数1+i i 在复平面内对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 5.已知函数( )f x的定义域为R,则“( 1)(1)ff”是“( )为偶函数f x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6.圆 22 2430 xyxy 的圆心到直线0 xy的距离为 （A）2 （B） 2 2 （C） 1 （D） 2 7.对
3、任意实数x，都有log (e4)1 x a （0a且1a ），则实数a的取值范围是 （A） 1 (0, ) 4 （B）(1,4) （C）1,4 （D） 4,) 8.已知函数( )sincos ,( )f xxx g x是( )f x的导函数，则下列结论中错误的是 （A）函数( )f x的值域与( )g x的值域相同 （B）若 0 x是函数( )f x的极值点，则 0 x是函数g( )x的零点 （C）把函数( )f x的图象向左平移 2 个单位，就可以得到函数( )g x的图象 （D）函数( )f x和g( )x在区间 (, ) 4 4 上都是增函数 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题
4、：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分分. 9.若抛物线 2 2(0)ypx p的准线经过双曲线 22 2xy的一个焦点,则p= . 10.在ABC中, 1, 3 aC ,ABC的面积为 3 3 4 ,则b= ; c= . 11.已知平面 ， 和直线 m，给出条件：m；m；m； .当满足条件 时，m. 12.已知函数 2 2,1 ln 1. xaxx f x ax x x 当1x 时，若函数 f x有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是 ； 若函数 f x的最小值为-1，则a 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 7
5、8 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 13.（本小题满分 15 分） 已知 n a是等差数列， n b是等比数列，且 1 5a ， 234 5,3,1aaa成等比数列， 14 ba， 2 48 b ba （）求 n a的通项公式和 n a的前n项和 n S及 n S的最小值； （）求和: 13521n bbbb 14.（本小题满分 16 分） 已知函数 ( )2sin (sincos )f xaxxx 的图象经过点(, 1) 2 , （）求a的值,并求函数 ( )f x的单调递增区间; （）当 0, 2 x 时,不等式 ( )f xm 恒成立
6、,求实数m的取值范围. 15. （本小题满分15分） 为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后 对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩，并规定60X 为考核合格. 为了了解本次 培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶 图： 5 0 1 1 6 6 0 1 4 3 3 5 8 7 2 3 7 6 8 7 1 7 8 1 1 4 5 2 9 9 0 2 1 3 0 () 请根据图中数据，写出该考核成绩的中位数、众数，若从参加培训的学生中随机选取 1 人，估计这名学生考核为合格的概率； ()从图中考核成绩满足,X 6
7、0 69的学生中任取3人，设Y表示这3人中成绩满足 |70| 6X 的人数，求Y的分布列和数学期望； 16.（本小题满分 16 分） 如图， 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， 已知/ /ABCD，ADCD， 1 22 2 ABAD=CD （）求证：/ /平面BFCDE； （）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的 余弦值； （）线段EC上是否存在点M，使得 平面平面BDMBDF?若存在，求出 EM EC 的值；若不存在，说明理由 17.（本小题满分 16 分） 已知函数( )22 x f xexe， 2 ( ) x e g xx ex . （）求曲线( )yf x在点( ,(
8、)f11处的切线方程； （）求曲线( )yf x的最值； （）求证:( )0g x 对任意的( ,)x0成立. 参考答案 一、选择题： （一、选择题： （6 848 ） 1. D 2. B 3 .A 4.D 5. B 6.B 7. C 8. D 二、填空题： （二、填空题： （6 424 ） 9.4；10.3, 7（前 3 后 3） ；11. ；12. 1,1a .（前 3 后 3） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 78 分分. 13.（本小题满分 15 分） 解： （）根据三者成等比数列，可知 2 324 351aaa， 1 分 故 2 52355531ddd
9、 ，解得2d ， 2 分 故5 2127 n ann ； 3 分 由 2 527 6 2 n nn Snn ， 5 分 该二次函数开口向上，对称轴为3n，故3n时， n S取最小值-9. 7 分 （）由（）知 14 1ba， 8 9a . 9 分 所以 2 4 9b b ,可得 3 3b 或3（舍）. 11 分 因此 2 3q . 13 分 从而数列 21 n b 是等比数列，公比为3，首项为1. 所以 2 13521 2 1(1)31 12 nn n q bbbb q 15 分 14. (本小题满分 16 分） 解： （）根据题意得2sin(sincos)1 222 a , 1 分 即2 1
10、 (10)1a ,解得1a . 2 分 所以( )12sin (sincos )f xxxx 2 12sin2sin coscos2sin2xxxxx 4 分 2sin(2) 4 x . 5 分 由222() 242 kxkkZ , 6 分 得 3 () 88 kxkkZ , 7 分 所以函数( )f x的单调递增区间是 3 ,() 88 kkkZ . 8 分 (一个kZ都没写的扣一分) （）由（）可知( )2sin(2) 4 f xx .当0, 2 x 时, 5 2, 444 x , 10 分 所以 2 sin(2),1 42 x .所以( )1, 2f x . 12 分 当2 42 x ,
11、即 8 x 时, f(x)取得最大值,最大值为2. 14 分 因为“不等式( )f xm恒成立”等价于“ max ( )mf x”, 15 分 所以2m.故实数m的取值范围是 2,). 16 分 15. （本小题满分 15 分） 解： （）中位数为76.5，众数为77， 4 分 设该名学生考核成绩合格为事件A，由茎叶图中的数据可以知道， 5 分 30名同学中，有26名同学考核合格，所以所求概率( )P A约为 2613 3015 . 7 分 （）Y的所有可能取值为0,1,2,3 8 分 因为成绩60,70X 的学生共有7人，其中满足|70| 6X 的学生有3人， 9 分 所以 3 4 3 7
12、4 (0) 35 C P Y C ， 21 43 3 7 18 (1) 35 C C P Y C 12 43 3 7 12 (2) 35 C C P Y C ， 3 3 3 7 1 (3) 35 C P Y C 13 分 随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 418121459 ( )0123 35353535357 E Y 15 分 16. (本小题满分 16 分） 解： （）因为/ /ABCD，平面ABCDE，平面CDCDE，所以 / /平面ABCDE，1 分 同理， / /平面AFCDE， 2 分 又 ABAF= A，所以 / /平面平
13、面ABFCDE， 3 分 因为 平面BFABF，所以 / /平面BFCDE 4 分 （）因为平面平面ABEFABCD，=平面平面ABEFABCD AD，CDAD， 平面CDABCD，所以 平面CDADEF,又 平面DEADEF，故CDED， 而四边形ADEF为正方形，所以 ADDE又ADCD，所以以D为原点， ,DA DC,DE所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系 Dxyz， 6 分 如图:则 (0 0 0)，D，(1 2 0)，B(1 0 1)，F，(0 4 0)，C， (0 0 1)，E，则(1,2,0)DB ,(1,0,1)DF 取平面CDE的一个法向量=(1 0 0)，
14、DA uu u r ， 7 分 设平面BDF的一个法向量= ()nx y z r ，则 0 0 ， ， n DB n DF r uuu r r uuu r 即 20 0 xy xz 8 分 令2x ，则1y ，2z ，则=(-2 1 2)，n r 9 分 设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为，则 1 ( 2)0 1022 coscos, 3 13 DA n 所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为 2 3 10 分 （） 若M与C重合， 则平面BDM(C)的一个法向量=(0 0 1)，m u r 由 （） 知平面BDF 的一个法向量=(-2 1 2)，n r ，则n = 20m
15、 u r r ，则此时平面BDF与平面BDM不垂 直 11 分 若M与C不重合，如图， 设(01) EM = EC ，则 (0 41)(0 4)， ，EM = EC uuu ruuu r 所以(0 41)， ，M 12 分 设平面BDM的一个法向量m=()，x y z u r ，则 0 0 ， ， m DB m DM u r uuu r u r uuuu r 即 x20 41)0 ， ， y y+( -z 令2x，则1y ， 4 1 z ，所以 4 m = (2 -1) 1 ， ， u r ，14 分 若平面平面BDMBDF，则0m n，即 8 4 10 1 ，所以 5 0,1) 13 所以，
16、线段EC上存在点M使平面平面BDMBDF，且 5 13 EM = EC 16 分 17. (本小题满分 16 分） （）因为( )22 x f xexe,所以( )22 x fxee, 1 分 所以( )f10， 而( )f10 3 分 所以曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线方程为00 (1)yx ， 化简得0y 4 分 （）因为( )22 x fxee,令( )0fx，得1x ， 5 分 则x，( )fx，( )f x在区间(,) 的变化情况如下表： 8 分 所以( )f x在x 1时取得最大值( )f10,无最小值. 10分 x (, ) 1 1 ( ,)1 ( ) x + + 0 ( ) x Z 极大值 （）由 2 22 ( ) xx eexe g xx exex ，因为0 x ， 所以只需证明 2 ( )20 x h xexe即可 12 分 因为( )22( ) x h xexef x，由（）知( )h x 0 13 分 （仅在x 1处( )h x 0，其余各处( )h x 0） 14 分 所以( ) h x在( ,)x0 上单调递减，所以( ) (0)20h xh ， 所以 ( )0g x 对任意的 ( ,)x0 成立. 16 分
