1、 垂直于弦的直径垂直于弦的直径情景引入问题：你知道赵州桥吗?它是约1400年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（1）用纸剪一个圆，用纸剪一个圆，如何通过折纸的方法如何通过折纸的方法找到圆的圆心？找到圆的圆心？（2）通过这项活动可以得到圆的什么性质？）通过这项活动可以得到圆的什么性质？观察思考观察思考活动活动1 1 圆是轴对称图形圆是轴对称图形它的对称轴是什么它的对称轴是什么?如果如果一个图形一个图形沿某条直线对折后，直沿某条直线对折后，直线两旁的部分能
2、够线两旁的部分能够完全重合完全重合，那么这个，那么这个图形叫做图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条，这条直线直线叫这个叫这个图形的图形的对称轴对称轴。圆是轴对称图形圆是轴对称图形它的对称轴是什么它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？n圆的对称轴是任意一圆的对称轴是任意一条经过圆心的条经过圆心的直线直线,它它有无数条对称轴有无数条对称轴.O O设CD是 O中一条直径，点A为 O上除点C，点D以外的任意一点，过点A作ABCD，交 O于点B，垂足为M，连接OA，OB在OAB中，OAOB，OAB是等腰三角形.又ABCD，AMMB.即CD是AB的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一
3、点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此 O关于直线CD对称证明圆的对称性证明圆的对称性OABCDM如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为垂足为M你能你能猜想猜想图中有那些相等的线段和弧？图中有那些相等的线段和弧？能不能验证你的猜想能不能验证你的猜想？线段：线段：AM=BM弧弧:AC=BC,AD=BD活动活动2 2OABCDM观察思考观察思考垂径定理 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弦所对的两条弧弧.OABCDMCDAB,CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.文字语言：图形语言：符号语言
4、垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化三种语言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABcOEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：AM=BM,OABCDM由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.这五条进行这五条进行排列组合，会出排列组合，会出现多少个命题？现多少个命题？将任意两个条件当作题将任意两个条件当作题设，其他三个条件当结设，其他三个条件当结论，命题还成立
5、吗？论，命题还成立吗？过圆心过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧由由 CD过圆心过圆心条件条件结论结论命题命题垂径定理的九条推论垂径定理的九条推论是否可以通过在圆上画出满足条件的线段，看折叠后是否重合来验证我们的猜想是否成立 过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABCD注意注
6、意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？AB冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件CDAB,OCD由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD.MAB平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于弦于弦,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂
7、直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论三个结论注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一条弦增加应对另一条弦增加”不是不是直径直径”的限制的限制.冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件例例1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：答：答：O的半径为的半径为5c
8、m.在RtAOE中OEAB冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件d+h=r222)2(adra弦长弦长r半径半径有哪些等量关系？有哪些等量关系？MOABDCd圆心到弦的距离圆心到弦的距离h弓形高弓形高冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件例例1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE变式变式1：若弦若弦AB长为长为8cm，O半径为半径为5cm，求圆心，求圆心O到到AB距离距离（答案：（答案：3cm）
9、变式变式2：若圆心：若圆心O到到AB距离为距离为3cm，O半径为半径为5cm求弦求弦AB长长（答案：（答案：8cm）冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗?冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件37m7.23m赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上
10、册垂直于弦的直径精品课件37m7.23mABOCD如图，用如图，用 AB 表示主桥拱，表示主桥拱，设设AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作作弦弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂为垂足，足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据根据垂径定理垂径定理，D 是是AB 的中点，的中点，C是是AB的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件解得：解得：R27.3BODACR在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即R2=18.52+(R7.23)2赵州桥的主桥拱半径约为赵州
11、桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD2OCAB，OC过圆心过圆心OD=OCCD=R7.23解：解：7.2318.5 AD AB 3718.5例例2.赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弧所对的弦的长弦的长)为为37m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？R7.23冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件1.本节课我们主要学习了本节课我们主要学习了圆的轴对称性圆的轴对称性 和和垂径定理垂径定理垂径定理：垂直于弦
12、的直径平分这条弦，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 2.垂径定理的证明，是通过垂径定理的证明，是通过“实验实验观察观察猜想猜想证明证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法想方法 3.有关弦的问题，常常需要有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅助线辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长圆心到弦的距离、半径、弦长构成构成直角三角形直角
13、三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题，便将问题转化为解直角三角形的问题 冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件1 1已知已知OO的半径为的半径为1313，弦，弦ABCDABCD，AB=24AB=24，CD=10CD=10，则，则ABAB和和CDCD的距离为的距离为 2 2如图，已知如图，已知ABAB、ACAC为弦，为弦，OMABOMAB于点于点M M，ONACONAC于点于点N N，BC=4BC=4，求，求DEDE的长的长2 2或或1414A AC CO OD DE EB B冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九
14、年级上册垂直于弦的直径精品课件3：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。求证：两点。求证：ACBD。ACBDE.ACDBO证明：过证明：过O作作OEAB于于E则则AEBE，CEDEAECEBEDE冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件4如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，
15、为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件5 5 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=100m.F,EF=100m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF做这类问题是，思考问题一定要做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况全面，考虑到多种情况.冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件6:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长的长.OABCDEF冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件冀教版初中数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件
