1、 1 / 7 主主 题题 命题与条件 教学内容教学内容 1. 理解逻辑连接词“或” 、 “且” 、 “非”的含义； 2. 理解四种命题及其相互关系； 3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义； （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 一、命题一、命题 1. 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题例如， （1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等； （2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等； （3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； （4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等. 问题：命题（2） 、 （3） 、 （4）与命题（1）有何关系？ 在上面的例子中， 命题（2）
2、的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题互逆命题 命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题互否命题 命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题互为逆否命题 2. 一般地，设“若p则q”为原命题原命题，那么 “若q则p”就叫做原命题的逆命题逆命题； “若非p则非q”就叫做原命题的否命题否命题； “若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题逆否命题 3. 四种命题之间的关系如下： 2 / 7 练习：写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假： （1）若 a=0，则
3、ab=0； （2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形； （3）全等三角形的对应边相等； （4）四条边相等的四边形是正方形。 解答：解答： （1）原命题真，逆命题假，否命题假，逆否命题真； （2）原命题假，逆命题假，否命题假，逆否命题假； （3）原命题真，逆命题真，否命题真，逆否命题真； （4）原命题假，逆命题真，否命题真，逆否命题假。 4. 通过上面的练习思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？ 原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假 结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同 二、条件二、条件 2 1,1, pqpq xxa bab 讨论一：下列“若 、则 ”的命题中
4、， 、 关系如何？ (1).若则；(2).若都为偶数、则是偶数； 讨论结果：一般地， “若 p、则 q 为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q. 这时，我们就说，由 p 可推出 q， 记作：pq. 于是我们就把 p 叫做 q 的充分条件，q 叫做 p 的必要条件. 定义：一般地如果命题若 p、则 q 为真命题，即 pq，那么我们就把 p 叫做 q 的充分条件，q 叫做 p 的必要条 件. 注意：1. 命题是“若 p、则 q”形式的，要认清 p、q 分别指什么。 2. 命题必须是真命题 练习：下列“若 p、则 q”的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？ （1）若1x ，则 2 43
5、0 xx . 原命题 , pq若 则 逆命题 , qp若 则 逆否命题 , qp若非 则非 否命题 , pq若非 则非 互为逆命题 互为逆命题 互为逆否命题 互 为 否 命 题 互 为 否 命 题 3 / 7 （2）若 x 为无理数，则 2 x为无理数 分析：因为（1）是真命题，所以 p 是 q 的充分条件；因为（2）是假命题，所以 p 不是 q 的充分条件. 从这个练习可以看出判断条件的第一步是判断命题的真假。同时从（2）说明 p、q 的关系：p 不是 q 的充分条 件，q 不是 p 的必要条件。 22 (1) (2) (3) (4) pq xyxy acbcab abacbc 讨论二：下列
6、“若 、则 ”的命题中，写出命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假. 、“若、则”; 、“若、则”; 、“若两直线平行、则内错角相等”; 、“若、则”. 讨论结果： （1）中 p 是 q 的充分条件且 p 不是 q 的必要条件，即：pq且qp，这时我们把 p 叫做 q 的充分不必要条件。 （2）中 p 是 q 的必要条件且 p 不是 q 的充分条件，即：qp且pq，这时我们把 p 叫做 q 的必要不充 分条件。 （3）中 p 是 q 的充分条件且 p 是 q 的必要条件，即：pq且qp，这时我们把 p 叫做 q 的充分必要条 件，简称充要条件。 （4）中 p 不是 q 的充分条件且 p 不是
7、 q 的必要条件，即：pq且qp，这时我们把 p 叫做 q 的既不充 分也不必要条件。 定义： （1） “若 p、则 q” 为真命题，且“若 q、则 p”为假命题，即：pq且qp，我们把 p 叫做 q 的充分 不必要条件。 （2） “若 p、则 q” 为假命题，且“若 q、则 p”为真命题，即：qp且pq，我们把 p 叫做 q 的必要 不充分条件。 （3） “若 p、则 q” 为真命题，且“若 q、则 p”为真命题，即：pq且qp，我们把 p 叫做 q 的充分 必要条件，简称充要条件。 （4） “若 p、则 q” 为假命题，且“若 q、则 p”为假命题，即：pq且qp，我们把 p 叫做 q 的
8、既不 充分也不必要条件。 4 / 7 （采（采用教师引导，学生轮流回答的形式）用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 判断下列命题的真假： （1）所有能被 6 整除的整数都是 3 的倍数； （2）关于x的方程+ =0(ax babR、）有且只有一个实数根。 解： （1）真命题。 （2）假命题。 说明：假命题的判断可以使用“举反例法” 。 若判断为真命题，则需证明。 试一试：判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数； （2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若0 x，0y，则1,-1xy且，则+ 0 x y，写出它的四种形式并判断真假。 解：逆命题：若+ 0 x y，则1,-1xy且
9、。假命题。 否命题： 若1,-1x或y，则+0 x y 。假命题。 逆否命题：若+0 x y ，则1,-1x或y。真命题。 试一试：写出命题“已知abcdR、 、 、，若=a bc d，则=ac bd”的其他三种形式。 解：逆命题：已知abcdR、 、 、，若=ac bd，则=a bc d，。 假命题 否命题：已知abcdR、 、 、，若ab或cd，则acbd。 假命题 逆否命题：已知abcdR、 、 、，若acbd，则ab或cd。 真命题 5 / 7 例 3. 已知Rxy、， “+ =+x yxy”是“0 xy”的什么条件？ 解：必要非充分。 说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即
10、可。 例 4. 证明：0ac是关于x的一元二次方程 2+ + =0axbx c有两个不同的实数根的充分非必要条件。 解：充分性：若0，方程有两个不同的实数根。 非必要性：当方程有两个不同的实数根，则0，而不仅仅是0ac。 说明：证明非必要性，只需证明不成立即可。 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 设:05px，:25q x，那么p是q的（ ） A A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2. 从“充分不必要条件” ， “必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空： （1） “ 2 00axbxca 有实根”是“0ac”的_；
11、必要不充分条件 （2） “ABCABC ”是“ABCABC ”的_ 充分不必要条件 3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题 （1）若0a,则0ab； （2）若ba ，则ba 解：逆命题：若0ab，则0a。 否命题：若0a,则0ab。 逆否命题：若0ab，则0a。 4. 把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假 （1）对顶角相等； （2）四条边相等的四边形是正方形 解： （1）若两个角是对顶角，则它们相等. 真命题 逆命题：若两个角相等，它们是对顶角. 假命题 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 假命题 6 / 7 逆否命题：若两
12、个角不相等，则它们不是对顶角. 真命题 （2）若四边形的四条边都相等，则这个四边形是正方形。 假命题 逆命题：若四边形是正方形，则四条边相等。 真命题 否命题：若四边形的四条边不相等，则这个四条边不是正方形。真命题 逆否命题：若四边形不是正方形，则四条边不相等。假命题 5. 已知abR、，求证： 442 21abb成立的充分条件是 22 1ab。 证明：由 22 1ab，得： 22 10ab 2222 (1)(1)0abab， 442 210abb ，即 442 21abb 所以 22 1ab是 442 21abb的充分条件 本节课主要知识点：四种命题的改写，四种命题之间的真假关系，充分条件必
13、要条件的判定 【巩固练习】 1. 从“充分不必要条件” ， “必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空： （1） “四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的 ； （2） “A”是“ABB”的 ； （3）设 1 O， 2 O的半径为 1 r， 2 r，则“ 1212 OOrr”是“两圆外切”的 （1）必要不充分条件 （2）充要不必要条件 （3）充要条件 2. 指出AB是A=B的什么条件，简述理由。 答案：必要非充分条件。 理由： ABAB，反过来ABAB 【预习思考】 7 / 7 1. 设xR，则2x的一个必要不充分条件是（ ） A1x B1x C3x D3x 2. 的整体叫做集合。 3. 元素与集合的关系有_ _及_两种。 4. 集合元素的三个特征： （1） _;(2)_;(3)_. 5. 集合的表示方法有_、_. 6. 按元素个数分，集合可以分为_、 _、 _。 7. 集合与集合之间存在三种关系：_与_与 . 8. （1）集合 A 与集合 B 的交集：_. （2）集合 A 与集合 B 的并集：_. （3）集合 A 的补集：_.
