1、 1 主主 题题 函数的零点与应用问题 教学内容教学内容 1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点； 2. 掌握常见类型函数的应用。 （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 问题：已知二次函数6 2 xxy 求0y时x的值. 作出函数的简图，并观察方程06 2 xx的根与函数图象与x轴交点之间的关系. 学生通过观察分析易得方程06 2 xx的根就是6 2 xxy的图像与x轴的交点横坐标. 【引入零点的定义，可以让学生自己去总结，教师进行补充【引入零点的定义，可以让学生自己去总结，教师进行补充.】 1.零点的定义：一般地，如果函数)(xfy 在实数a处的值等于零，即0)(af，则a叫做这个函数
2、的零点； 2.函数零点的求法： 求函数)(xfy 的零点就是求相应的方程0)(xf的根，一般可以 借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点. 思考：思考：如何判断函数)(xfy 在区间,ba上是否存在零点. 【可借助于学生熟悉的二次函数图象和二次方程帮学生总结出函数零点存在的条件.】 问题：完成下表，回答问题： 方程 032 2 xx012 2 xx 032 2 xx x y 2 3 2 函数 32 2 xxy 12 2 xxy 32 2 xxy 图像 方程的根 1 1 x，3 2 x 1 21 xx 无实根 函数零点 3. 函数)(xfy 在区间,ba上存在零点
3、的条件：如果函数)(xfy 在区间,ba上的图像是一条不间断的 曲线，且0)()(bfaf，则函数)(xfy 在区间),(ba内有零点. 借助上面零点存在的条件，进一步引出二分法 4. 二分法：把函数)(xfy 零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以 求得零点的近似值.这种方法叫做二分法. 练习：练习：判断下列说法是否正确： 任何函数都有零点; 103 2 xxy的零点是（-2,0）和)0, 5(; 103 2 xxy的零点是-2 和 5. 解解 错； 错； 对. （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 函数23)(
4、2 xxxf的零点是 （ ） A.0 , 1； B0 , 2； C0 , 1，0 , 2； D1，2 解：解：由 2 320f xxx得，1x 和 2，所以选 D 注意零点的定义，它是方程的根，而不是点坐标 试一试：若函数)(xfy 在区间, a b上的图象为连续的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） x y 1 3 0 x y 1 0 x y 0 3 A若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf； B若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf； C若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf； D若0)()(bfaf，有可能不存在实数
5、),(bac使得0)(cf. 解：对于 A 选项：可能存在；对于 B 选项：必存在但不一定唯一，故选 C. 例 2. 某公司生产某种消防安全产品， 年产量x台(0100,)xxN时， 销售收入函数 2 ( )300020R xxx（单 位：百元），其成本函数满足( )500C xxb（单位：百元）.已知该公司不生产任何产品时，其成本为 4000 （百元）. （1）求利润函数( )P x； （2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？ （3）在经济学中，对于函数( )f x，我们把函数(1)( )f xf x称为函数( )f x的边际函数， 记作( )Mf x对于（1）求得的利润函
6、数( )P x，求边际函数( )MP x；并利用边际函数( )MP x 的性质解释公司生产利润情况（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）. 解： （1）由题意，0,4000 xb，所以( )5004000C xx 2 2 ( )( )( )3000205004000 2025004000,0100 P xR xC xxxx xxx （2） 2 125 ( )20()74125 2 P xx （0100 x，xN） 所以62x或63x max ( )(62)63)74120P xPP（百元） （3）( )(1)( )402480MP xP xP xx （099x，xN） 边际
7、函数为减函数， 说明随着产量的增加， 每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少； 当0 x时， 边际函数取得最大值为 2480，说明生产第一台的利润差最大；当62x时，边际函数为零，说明生产 62 台 时，利润达到最大. 例 3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位： 千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时 车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当20020 x时， 车流速度v是车流密度x的一次函数 （）当2000 x时，
8、求函数 xv的表达式； （） 当车流密度x为多大时， 车流量 （单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位： 辆/小时） xvxxf 可以达到最大，并求出最大值 （精确到 1 辆/小时） 解： （）由题意：当020 x时， 60v x ；当20200 x时， 4 设 v xaxb，显然 v xaxb在20,200是减函数， 由已知得 2000 2060 ab ab ，解得 1 3 200 3 a b 故函数 v x的表达式为 v x= 60,020, 1 200,20200. 3 x xx （）依题意并由（）可得 f x 60 ,020, 1 200,20200. 3 xx xxx 当020
9、x时， f x为增函数，故当20 x时，其最大值为60 201200； 当20200 x时， 2 2001110000 200 3323 xx f xxx ， 当且仅当200 xx，即100 x 时，等号成立 所以，当100 x 时， f x在区间20,200上取得最大值10000 3 综上，当100 x 时， f x在区间0,200上取得最大值100003333 3 ， 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。 （注意分段函数求最值时一定要先求每一段上的最值进行比较（注意分段函数求最值时一定要先求每一段上的最值进行比较） 例 4. 某单位用木料
10、制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三 角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 解：题意得 xy 1 4 x28， y 2 8 4 x x 8 4 x x (0x42). 于是， 框架用料长度为 l2x2y2( 2 2 x)( 3 2 2)x 16 x 464 2. 当( 3 2 2)x 16 x ，即 x842时等号成立. 此时， x2.343，y222.828. 故当 x 为 2.343m，y 为 2.828m 时， 用料最省. 5 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细
11、讲解） 1. 已知函数 f (x)在区间 a，b上单调，且 f (a)f (b)0，则方程 f (x)=0 在区间a，b内（ ）. A.至少有一实根； B.至多有一实根； C.没有实根； D.必有惟一实根. 解：分析题目条件，判断函数 f (x)是否与x轴有交点，因为函数单调并且在端点函数值乘积小于 0，所以存在 惟一零点，所对应的方程有惟一实根，故选 D. 2. 函数 5 ( )3f xxx的实数解落在的区间是( ) B A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 3. 若方程 3 10 xx 在区间( , )( ,1)a b a bZba且上有一根，则ab的值为（ ） C A1 B2 C3 D
12、4 4. 某自来水厂的蓄水池中有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水为 120t 6,吨（0t24）. （1）问多少小时后蓄水池中的水量最少. （2）若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问每天有几小时出现这种现象. 解：求变量之间的关系，换元化归为二次函数区间上问题和二次不等式解法求解. （1）设 t 小时后蓄水池水量为 y 吨,则 y=400+60t-1206t(0t24). 换元法令 x=6t,则 y=400+10 x2-120 x=10(x-6)2+40, 当 x=6,即 t=6 时，y 有最小值 40 吨.供
13、水 6 小时，水池中水最少为 40 吨. （2）由 400+10 x2-120 x80，解得 0 x4,即 06t4,解得 8 3 t 32 3 , 故每天有 8 小时供水紧张. 5. 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距 d 正比例于车速 v（千米/小时）的平方和车身长的 积（米） ，且最小车距不得小于半个车身长，假定车身长为均为 S（米） ，且当车速为 50（千米/小时） ，车距恰 好为车身长（车流量即为 1 小时所通过的车辆数）.问交通繁忙时，应规定怎样的车速才能使此地的车流量最 大？ 解：理解车距和车流量概念，探求车距和车速的分段函数式， 从而构建车流量和车速的分段函数，研
14、究其最值解决. 依题设，d=kv2S(k 为系数)，代入待定系数有 1 2500 k ， 又dS， 2 kv SS，25 2v (千米/小时). 则车距 d 与车速 v 的关系为分段函数d 2 1 25 225 2 22500 v S S vdv或, 6 而车流量 y=1000v dS . 故车流量为车速的分段函数y= 2 2000 25 2 3 1000 25 2 1 2500 v v S v v v S 25 2v 时y1= 20005000 2 ;25 2 33 v v SS 当时,y2= 250000012500 2500 SS v v . 5000 2 3S 2500 , S 车速为
15、 50 千米/小时车流量最大. 本节课主要知识点：零点的定义，二分法求零点，函数应用问题 【巩固练习】 1. 设函数 1 ,2 , 1, 22 2 xxx xx xf，则函数)(xfy 的零点是 . 答案：0，1 2. 用“二分法”求方程052 3 xx在区间2,3内的实根，取区间中点为5 . 2 0 x，那么下一个有根的区 间是 . 2,2.5 3. 某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为 3 万元。为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分种植户从事蔬菜加工。据估计，如果能动员0 x x 户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种 植的农民每户年均收入有望提高 2x%，从
16、事蔬菜加工的农民每户年均收入为 3 3() 50 x a（0a）万元 （1）在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年 总收入，试求 x 的取值范围； 7 （2）在（1）的条件下，要使这 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的 年总收入，试求实数a的最大值 解解（1）由题意得 3(100)(12 %)3 100 xx ， 即 2 500 xx，解得050 x， 又因为0 x，所以050 x； （2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为 3 3() 50 x ax万元， 从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100)(12
17、%)xx万元， 根据题意得， 3 3() 50 x ax3(100)(12 %)xx恒成立， 即 2 100 25 x axx恒成立。 又0 x，所以 100 1 25 x a x 恒成立， 而 100 1 25 x x 5（当且仅当50 x时取得等号） ，所以a的最大值为 5. 【预习思考】 1下面说法正确的选项 （ ） A函数的单调区间可以是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2在区间)0 ,(上为增函数的是 （ ） A1y B2 1 x x y C12 2 xxy D 2 1xy 3函数cbxxy 2 )1 ,(x是单调函数时，b的取值范围 （ ） A2b B2b C 2b D 2b 4如果偶函数在,ba具有最大值，那么该函数在,ab 有 （ ） A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值 5函数pxxxy|，Rx是 （ ） A偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与p有关 8
