1、十三章轴对称十三章轴对称人教版数学八年级人教版数学八年级上课件上课件轴对称（1）我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性方块字中有些也具有对称性对称给我们带来多少对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的发现一些图形的特征，还可以使我
2、们感受到自然界的美与和谐美与和谐 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十三章：轴对称今天我们来研究第一节，来学习第十三章：轴对称今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴认识什么是轴对称图形，什么是对称轴探索探索出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后，这些图形都是对称的这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合左右两部分能够完全重合 小结：小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑
3、物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子现在同学们就从我们生活周围的事物中对称的例子现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子来找一些具有对称特征的例子 我们的黑板、课桌、椅子等我们的黑板、课桌、椅子等 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的的 你能发现它们有什么共同的特点吗？你能发现它们有什么共同的特点吗？可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合可以可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合可以沿一条直线对折，使直线两旁重合。沿一条直线对折，使直线两旁重合。结论：如果
4、一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称条直线（成轴）对称 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做一做 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？
5、与同伴进行交流个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合相重合 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题有些轴接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。数条。下列各图
6、，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴大家想一想，你发现了什么？大家想一想，你发现了什么？像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点叠后重合的点是对应点，叫做对称点随堂练习：随堂练习：课本课本P6P60练习练习小结小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴
7、对这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称区分了轴对称图形和两个图形成轴对称作业：作业：课本课本P64P64习题习题13131 1第第1 1、2 2、7 7题题轴对称（2）上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图丽那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？形呢？今天继续来研究轴对称的性质今天继续来研究轴对称的性质
8、探索探索 如图，如图，ABCABC和和ABCABC关于直线关于直线MNMN对称，对称，点点AA、BB、CC分别是点分别是点A A、B B、C C的对称点，线的对称点，线段段AAAA、BBBB、CCCC与直线与直线MNMN有什么关系？有什么关系？图中图中A A、AA是对称点，是对称点，AAAA与与MNMN垂直，垂直，BBBB和和CCCC也与也与MNMN垂直垂直 AAAA、BBBB和和CCCC与与MNMN除了垂直以外还有什么除了垂直以外还有什么关系吗？关系吗？ABCABC与与ABCABC关于直线关于直线MNMN对称，点对称，点AA、BB、CC分别是点分别是点A A、B B、C C的对称点，设的对称
9、点，设AAAA交对称轴交对称轴MNMN于点于点P P，将，将ABCABC和和ABCABC沿沿MNMN对折后，点对折后，点A A与与AA重合，于是有重合，于是有AP=APAP=AP，MPA=MPA=MPA=90MPA=90所以所以AAAA、BBBB和和CCCC与与MNMN除了垂直以外，除了垂直以外，MNMN还经过线段还经过线段AAAA、BBBB和和CCCC的中点的中点 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段段我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的
10、垂直平分线的垂直平分线 自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系两对称点连线的关系 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段垂直于这条线段归纳图形轴对称的性质：归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线类似地，任何一对对称点所连线段的垂直平分线类似地
11、，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线的垂直平分线探究1如下图木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，到A与B的距离，你有什么发现？1用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2 2 2作好图后，用直尺量出作好图后，用直尺量出APAP1 1、APAP2 2、BPBP1 1、BPBP2 2、CPCP1 1、CPCP2 2讨论发现什么样的规律讨论发现什么样的规律 探究结果：探
12、究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即的距离相等即APAP1 1=BP=BP1 1，APAP2 2=BP=BP2 2，证明证明证法一：利用判定两个三角形全等 如下图，在APC和BPC中，APC BPC PA=PB.PCPCPCAPCB RtACBC证法二：利用轴对称性质证法二：利用轴对称性质由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的 带着探究1的结论我们来看下面的问题 探究探究22如右图用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，如右图用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的做一个简易的“弓
13、弓”，“箭箭”通过木棒中央的孔通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？为什么？活动：1用平面图形将上述问题进行转化作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2会有以下两种可能 2讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？探究过程：探究过程：1 1如如下图甲，若图甲，若APAP1 1BPBP1 1，那么沿，那么沿L L将图形折叠后，将图形折叠后，A A与与B B不可能不可能重合，也就是重合，也就是APPAPP1 1BPPBPP1 1，即，即L L与与A
14、BAB不垂直不垂直2 2如下图乙，若如下图乙，若APAP1 1=BP=BP1 1，那么沿，那么沿L L将图形折叠后，将图形折叠后，A A与与B B恰好重合，就恰好重合，就有有APPAPP1 1=BPPBPP1 1，即，即L L与与ABAB重合当重合当APAP2 2=BP=BP2 2时，亦然时，亦然 探究结论：探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上也就是说在的垂直平分线上也就是说在探究探究22图中，只图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直射出箭的方向与
15、木棒垂直 评析：上述两个探究问题的结果就给出了线评析：上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上分线上 所以线段的垂直平分线可以看成是与线所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合段两端点距离相等的所有点的集合随堂练习：随堂练习：课本课本P62P62练习练习 1 1、2 2小结小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，这节课通
16、过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题灵活运用这些性质来解决问题作业：作业：课本课本P64P64习题习题13131 1第第3 3、4 4、9 9题题画轴对称图形 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题在上节课的作业称图形的一些相关的性质问题在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样
17、么样将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形轴对称的图形 准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕再将纸打开后铺平，并且手指压出清晰的折痕再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的 这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的
18、图形后的图形探索探索 由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分点的线段被对称轴垂直平分类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案的图案对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化大家看大屏幕，从电脑向和位置也会发生变化大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置
19、的变化在图案设计中的奇妙会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途用途 下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下学们互相交流一下 结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线线L L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的完全相同；新图形上的每一点
20、，都是原图形上的某一点关于直线某一点关于直线L L的对称点；的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分分 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换做轴对称变换 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到一个轴对称图形也可个图形经过轴对称变换后得到一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的的 取一张长取一张长3030厘米，宽厘米，宽6 6厘米的纸条，将
21、它每厘米的纸条，将它每3 3厘米一厘米一段，一正一反像段，一正一反像“手风琴手风琴”那样折叠起来，并在折叠那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母好的纸上画上字母E E，用小刀把画出的字母，用小刀把画出的字母E E挖去，拉挖去，拉开开“手风琴手风琴”，你就可以得到以字母，你就可以得到以字母E E为图案的花为图案的花边回答下列问题边回答下列问题 （1 1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由个图案又有什么关系？说说你的理由 （2 2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？）如果以相邻两个
22、图案为一组，每一组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？为什么？三个图案为一组呢？为什么？（3 3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风手风琴琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做形吗？先猜一猜，再做一做 注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些一些随堂练习：随堂练习：（一）（一）P68P68练习练习1 1、2 2。（二）如图（二）如图（1 1），将一张正
23、六边形纸沿虚线对折折），将一张正六边形纸沿虚线对折折3 3次，得到一个多次，得到一个多层的层的6060角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2 2）（1 1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？（2 2）这个图形有几条对称轴？）这个图形有几条对称轴？（3 3）如果想得到一个含有）如果想得到一个含有5 5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？应如何折叠？答案：答案：（1 1）轴对称图形）轴对称图形 （2 2）这个图形至少有）这个图形至少有3 3条
24、对称轴条对称轴 （3 3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，得到一个多层的条对角线折叠五次，得到一个多层的3636角形纸，角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开即可用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开即可得到一个至少含有得到一个至少含有5 5条对称轴的轴对称图形条对称轴的轴对称图形 小结小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案在利用轴对称变换设换来设计一些美丽的图案在利用轴对称
25、变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案使我们设计出更新疑独特的美丽图案动手并思考动手并思考 （一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含去掉含9090角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平平 （1 1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做）你会得怎样的图案？先猜一猜，再
26、做一做 （2 2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试知识试一试 （3 3）如果将正方形纸按上面方式折）如果将正方形纸按上面方式折3 3次，然后再沿圆弧剪开，去掉次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？展开后结果又会怎样？为什么？（4 4）当纸对折）当纸对折2 2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3 3次呢？次呢？答案：答案：（1 1）得到一个有）得到一个有2 2条对称轴的图形条对称轴的图形 （2 2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的）按
27、照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2 2条对称轴；条对称轴；因此（因此（1 1）中的图案一定有中的图案一定有2 2条对称轴条对称轴 （3 3）按题中的方式将正方形对折）按题中的方式将正方形对折3 3次，相当于折出了正方形的次，相当于折出了正方形的4 4条条对称轴，对称轴，因此得到的图案一定有因此得到的图案一定有4 4条对称轴条对称轴 （4 4）当纸对折）当纸对折2 2次，剪出的图案至少有次，剪出的图案至少有2 2条对称轴；当纸对折条对称轴；当纸对折3 3次，次，剪出的图案至少有剪出的图案至少有4 4条对称轴条对称轴（二）自己设计并制作一个花边（二）自己设计并制作一个花边作业：作业：P71
28、P71习题习题13.213.2第第1 1、5 5题题用坐标表示轴对称复习回顾复习回顾轴对称图形的有哪些性质？轴对称图形的有哪些性质？探索探索 点点(x,y)(x,y)关于关于x x轴对称的点的坐标轴对称的点的坐标(x,(x,y)y)；点；点(x,y)(x,y)关于关于y y轴对称的点的坐标轴对称的点的坐标(x,y)x,y)；点；点(x,y)(x,y)关于原关于原点对称的点的坐标点对称的点的坐标(x,x,y)y)例例2 2 四边形四边形ABCDABCD的四个顶点的坐标分别为的四个顶点的坐标分别为A(-A(-5,1)5,1)、B(-2,1)B(-2,1)、C(-2,5)C(-2,5)、D(-5,4
29、)D(-5,4)，分别作出，分别作出与四边形与四边形ABCDABCD关于关于x x轴和轴和y y轴对称的图形轴对称的图形（1 1）归纳：与已知点关于）归纳：与已知点关于y y 轴或轴或x x轴对称的点的轴对称的点的坐标的规律；坐标的规律；（2 2）画图）画图（3 3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形3 3、探究问题、探究问题分别作出分别作出PQRPQR关于直线关于直线x=1(x=1(记为记为
30、m)m)和直线和直线y=y=1(1(记为记为n)n)对称的图形，你能发现它们的对应点的对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？坐标之间分别有什么关系吗？（1 1）画图，由具体的数据，发现它们的对应点的）画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系坐标之间的关系（2 2）若）若P P1 1Q Q1R R1中中P P1(x(x1,y,y1)关于关于x=1(x=1(记为记为m)m)轴对轴对称的点的坐标称的点的坐标P P2(x(x2,y,y2)，则，则 ，y y1=y=y2若P1Q1R1中P1(x1,y1)关于关于y=y=1(1(记为记为n)n)轴对称的轴对称的点的坐标点的
31、坐标P2(x2,y2)，则，则 x1=x2x1=x2，=n=nmxx221221yy 练习：练习：课本课本7070第第1 1、2 2、3 3题题作业：作业：课本课本P71P71第第2 2、3 3、4 4、6 6题题等腰三角形（等腰三角形（1 1）在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形来研究：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是问题：那什么
32、样的三角形是轴对称图形问题：那什么样的三角形是轴对称图形 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形完全重合的就是轴对称图形 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形角形等腰三角形等腰三角形探索：通过自己的思考来做一个等腰三角形通过自己的思考来做一个等腰三角形 作一条直线作一条直线L L，在，在L L上取点上取点A A，在，在L L外取点外取点B B，作出点，作出点B B关于直线关于直线L L的对称点的对称点C
33、 C，连结，连结ABAB、BCBC、CACA，则可得，则可得到一个等腰三角形到一个等腰三角形 A B I C A B I 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角思考：思考：1 1等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴 2 2等腰三角形的两底角有什么关系？等腰三角形的两底角有什么关系？3 3顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4 4底边上的中线所在
34、的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上底边上的高所在的直线呢？的高所在的直线呢？结论：等腰三角形是轴对称图形它的对称轴是顶角的平分线所在的直线因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线要求：要求：把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系对称轴，并看它的两个底角有什么关系发现：沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形两旁的部分互相重
35、合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高既是底边上的中线，也是底边上的高由此可以得到等腰三角形的性质：1 1等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等等边对等角角”）2 2等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的底边上的高互相重合（通常称作高互相重合（通常称作“三线合一三线合一”）由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利
36、用三角形的形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质同学们现在就动手来写出这些证明全等来证明这些性质同学们现在就动手来写出这些证明过程）过程）如下图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以所以BADBADCADCAD（SSSSSS）所以所以B=B=C C D C A B,AB ACBD CDAD AD如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角BAC的角平分线AD，因为所以所以BADBADCADCAD所以所以BD=CDBD=CD，BDA=BDA=CDA=CDA=BDC=90BDC=90,AB ACBADCADAD AD D C A B 例例1如图，在ABC中
37、，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：求：ABCABC各角的度数各角的度数 分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到A=A=ABDABD，ABC=ABC=C=C=BDCBDC，再由再由BDC=BDC=A+A+ABDABD，就可得到，就可得到ABC=ABC=C=C=BDC=2BDC=2A A再由三角形内角和为再由三角形内角和为180180，就可求出就可求出ABCABC的三个内角的三个内角 把把A A设为设为x x的话，那么的话，那么ABCABC、C C都可以用都可以用x x来表示，这样过程就来表示，这样过程就更简捷更简捷 D C A B 解：
38、因为解：因为AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，所以所以ABC=ABC=C=C=BDCBDC A=A=ABDABD（等边对等角）（等边对等角）设设A=xA=x，则，则 BDC=BDC=A+A+ABD=2xABD=2x，从而从而ABC=ABC=C=C=BDC=2xBDC=2x 于是在于是在ABCABC中，有中，有 A+A+ABC+ABC+C=x+2x+2x=180C=x+2x+2x=180，解得解得x=36x=36 在在ABCABC中，中，A=35A=35，ABC=ABC=C=72C=72 D C A B随堂练习：随堂练习：课本练习课本练习小结小结 这节课我们主要探讨了等腰三
39、角形的性质，这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用等腰三角形是轴对称并对性质作了简单的应用等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们掌握这些性质，并且能够灵活应用它们作业：作业：课本习题课本习题13.313.3第第1 1、2 2、3 3、4
40、4题题等腰三角形（2）复习复习等腰三角形的性质有哪些？情景：情景：某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B(B点点)为为B B标，然后在这棵树的正南方标，然后在这棵树的正南方(南岸南岸A A点抽一小旗作标志点抽一小旗作标志)沿南偏沿南偏东东6060方向走一段距离到方向走一段距离到C C处时，测得处时，测得ACBACB为为3030，这时，地质专家，这时，地质专家测得测得ACAC的长度就可知河流宽度的长度就可知河流宽度探索探索1 1在在ABCABC中，若中，若B=B=C C，则，则AB=AB=ACAC吗？吗？作一个
41、两个角相等的三角形，然后观察两等角所作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？对的边有什么关系？2 2写出已知、求证写出已知、求证2 2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理”此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边等角对等边”例题与练习例题与练习1 1如图如图2 2其中ABC是等腰三角形的是 2 2 如图如图3 3，已知，已知ABCABC中，中，AB=A
42、CAB=ACA=36A=36，则，则C_(C_(根据什根据什么？么？)如图如图4 4，已知，已知ABCABC中，中，A=36A=36，C=72C=72，ABCABC是是_三角形三角形(根据什么？根据什么？)若已知若已知A A3636，C C7272，BDBD平分平分ABCABC交交ACAC于于D D，判断图，判断图5 5中等中等腰三角形有腰三角形有_若已知若已知 ADAD4cm4cm，则，则BC_cmBC_cm 3 3推论推论l_l_ 4 4推论推论2_2_例：例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形的一边，求证这个三角
43、形是等腰三角形分析：根据题意作出图形，写出已知、求证，分析：根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明并分析证明练习：练习：(1)如图如图6 6，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABCABC、ACBACB的平分线相交于点的平分线相交于点F F，过过F F作作DE/BCDE/BC，交，交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于于E E问图中哪些三角形是等腰三角问图中哪些三角形是等腰三角形？形？(2)(2)上题中，若去掉条件上题中，若去掉条件AB=ACAB=AC，其他条件不变，图，其他条件不变，图6 6中还有等腰三角中还有等腰三角形吗？形吗？练习：练习：练习练习1 1、2 2、3
44、 3。小结小结1 1判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？2 2判定一个三角形是等边三角形有几种方法？判定一个三角形是等边三角形有几种方法？3 3等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？4 4现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？布置作业：布置作业：习题习题13.313.3第第5 5、6 6题题等边三角形（1）复习巩固复习巩固1 1叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等，也可以简称等腰三角形的两个底角相等，也可以
45、简称“等边等边对等角对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即相重合的，即ABAB与与ACAC重合，点重合，点B B与点与点 C C重合，线段重合，线段BDBD与与CDCD也重合，所以也重合，所以B BC C。等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称线互相重合，简称“三线合一三线合一”。由于。由于ADAD为等腰三角形的为等腰三角形的对称轴，所以对称轴，所以BDBD CDCD，ADAD为底边上的中线；为底边上的中线；BADBADCADCAD，ADAD为顶角平分线，为顶角平分线，A
46、DBADBADCADC9090，ADAD又为又为底边上的高，因此底边上的高，因此“三线合一三线合一”。2 2若等腰三角形的两边长为若等腰三角形的两边长为3 3和和4 4，则其周长为多少，则其周长为多少?探索探索在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。边三角形。1请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。2你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?等边三角形是特殊的等腰三角形，由等
47、腰三角形等边对等角的性质得到ABC，又由ABC180，从而推出ABC60。3 3上面的条件和结论如何叙述上面的条件和结论如何叙述?等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6060。等边三角形是轴对称图形吗等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴如果是，有几条对称轴?等边三角形也称为正三角形。等边三角形也称为正三角形。例例1 1在在ABCABC中，中，ABABACAC，D D是是BCBC边上的中点，边上的中点，B B3030，求，求1 1和和ADCADC的度数。的度数。分析：由分析：由ABABACAC，D D为为BCBC的中点，可知的中点，可知A
48、BAB为为 BCBC底边上的中线，由底边上的中线，由“三线合一三线合一”可知可知ADAD是是ABCABC的顶角平分线，底边上的高，从而的顶角平分线，底边上的高，从而ADCADC9090，l lBACBAC，由于，由于C CB B3030，BACBAC可求，可求，所以所以1 1可求。可求。问题问题1 1：本题若将：本题若将D D是是BCBC边上的中点这一条件边上的中点这一条件改为改为ADAD为等腰三角形顶角平分线或底边为等腰三角形顶角平分线或底边BCBC上的高上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样线，其它条件不变，计算的结果是否一样?问题问题2 2：求：求1 1是否还有其它方法是否还有其它方
49、法?练习巩固练习巩固1 1判断下列命题，对的打判断下列命题，对的打“”“”，错的打，错的打“”。a.a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合()()b b有一个角是有一个角是6060的等腰三角形，其它两个内角的等腰三角形，其它两个内角也为也为6060()()2 2如图如图(2)(2)，在，在ABCABC中，已知中，已知ABABACAC，ADAD为为BACBAC的平分线，且的平分线，且2 22525，求，求ADBADB和和B B的的度数。度数。3 3课本练习课本练习1 1、2 2。小结小结由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角由等腰三角形的性质可以推出
50、等边三角形的各角相等，且都为相等，且都为6060。“三线合一三线合一”性质在实际应性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。的条件。作业：作业：习题习题13.313.3第，题。第，题。等边三角形（2）复习巩固复习巩固回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识1 1等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴2 2等边三角形每一个角相等，都等于等边三角形每一个角相等，都等于60603 3三个
