1、 高三数学试卷（理科）高三数学试卷（理科） 考生注意：考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1若集合 2 |2,|6Mx xNx x，则MN （ ） A(6,2) B(,6) C(,2) D(,6)(2, 6) 2设 2 2(3)zi，则z （ ） A6 10i B6 10i
2、 C10 6i D10 6i 3已知P为椭圆 22 1 32 xy 短轴的一个端点， 12 ,F F是该椭圆的两个焦点，则 12 PFF的面积为（ ） A2 B2 C4 D2 2 42020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解 到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A6天 B7天 C8天 D9天 5若函数 2 ( )3log (2)f xxx，则 10 (5) 3 f
3、f （ ） A24 B25 C26 D27 6函数( ) |12sin2 |f xx的最小正周期为（ ） A 2 B C 3 2 D2 7在平行四边形ABCD中，若4CEED，则BE （ ） A 4 5 ABAD B 4 5 ABAD C 4 5 ABAD D 3 4 ABAD 8已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 106 2aa，若 32824 mSSS，则m（ ） A 7 15 B 1 2 C 8 15 D 7 16 9已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，直线 3 () 2 yxa与C的一条渐近线在第一 象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C
4、的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 10已知函数 2 41,0, ( ) 22 ,0, x xxx f x x 若关于x的方程( ( )2)( ( )0f xf xm恰有5个不同的实根， 则m的取值范围为（ ） A(1,2) B(2,5)1 C1,5 D2,5)1 11某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A 25 4 B 64 3 C25 D32 12已知定义域为R的函数( )f x满足 11 ,( )40 22 ffxx ，其中( )fx为( )f x的导函数，则不等 式(sin )cos20fxx的解集为（ ） A2,2, 33 kkk Z
5、B2,2, 66 kkk Z C 2 2,2, 33 kkk Z D 5 2,2, 66 kkk Z 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 20 3 1 x x 的展开式的第2项的系数为_ 14设, x y满足约束条件 1 0, 1 0, 30, xy xy x 则当2zxy取得最大值时，y _ 15在正四棱柱 1111 ABCDABC D中，E为棱BC的中点，若 1 BD与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 则异面直线 1 C E与 1 BD所成角的余弦值为_ 16定义( )
6、p n为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如(555)1, (93)2, (1714)3ppp在等 差数列 n a中， 210 9,25aa，则 n a _，数列 n p a的前100项和为_（本题 第一空2分，第二空3分） 三三、解答题：本大题共解答题：本大题共6小题，共小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共60分分 17设, ,a b c分别
7、为ABC内角, ,A B C的对边已知coscosaBbA c （1）证明：ABC是直角三角形 （2）若D是AC边上一点，且3,5,6CDBDBC，求ABD的面积 18甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率 之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18 （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X，求X的分布 列及数学期望 19如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且PA 底面ABCD （1）证明：平面PBD 平面PAC （2）若60
8、BAD，且平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 2 7 7 ，求PCA的大小 20设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，直线l与抛物线交于,M N两点 （1）若l过点F，且| 3MNp，求l的斜率； （2）若, 2 p Pp ，且l的斜率为1，当Pl时，求l在y轴上的截距的取值范围（用p表示），并证明 MPN的平分线始终与y轴平行 21已知函数 1 ( )e2ln x f xxx （1）求( )f x的单调区间； （2）证明： 3 ( ) (2)3(2)f xxx （二）选考题：共（二）选考题：共10分请考生从第分请考生从第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题
9、目计分两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分 22选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线:|3|C yk x以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 E的极坐标方程为 27 6(cos2sin ) （1）求E的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线E与C恰有4个公共点，求k的取值范围 23选修4-5：不等式选讲 已知函数( ) |25|21|f xxx （1）求不等式( )1f x 的解集； （2） 若不等式，( ) |42| |4|f xxtmtm对任意xR， 任意tR恒成立， 求m的取值范围 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案 1B
10、(,6)( 6,),(,6)NMN 2C 因为2 8 610 6zii ，所以106zi 3A 依题意可得 22 2,321bc ，则2,1bc，所以 12 PFF的面积为 1 22 2 c bbc 4B 因为 2 23 45 86 107 169 16 10 10 12 4 7 70 x ， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天 5D 因为 22 104 (5)15log 3,10log 33 ff ，所以 2 10 (5)25log 427 2 ff 6B 由( )f x的图象可知，T 7A 444 4, 555 CEEDCECDBEBCCEADCDABAD 8C 因为 106 2a
11、a，所以 4 2q 由 32824 mSSS，得 32824 111mqqq ，即 (1 16)12 1 8m ，解得 8 15 m 9C 依题意，联立 , , 3 (), 2 xa b yx a yxa 得3ba，即 22 3ba，所以 222 3caa，即 22 4ca，所以 2 c e a 10D 由 ( )2 ( )0f xf xm，得( )2f x 或( )f xm，作出( )yf x的图象，如图所示， 由图可知，方程( )2f x 有3个实根，故方程( )f xm有2个实根，故m的取值范围为2,5)1 11B 由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥BPAC，其中AB 平面 ,2,
12、4PAC PAPCACAB设外接球的半径为,RPAC外接圆的半径 2 3 3 r ，则 222 16 2 3 Rr，所以外接球的表面积 2 64 4 3 SR 12D 令 2 ( )( )21g xf xx，则( )( )40g xfxx，故( )g x在R上单调递增又 2 (sin )cos2(sin )2sin1fxxfxx，且 1 0 2 g ，故原不等式可转化为 1 (sin ) 2 gxg ，所以 1 sin 2 x，解得 5 22, 66 kxkk Z剟 1320 20 3 1 x x 的展开式的第2项的系数为 1 20 C( 1)20 144 作出不等式组表示的可行域（图略），当
13、直线2zxy经过点(3,4)时，z取得最大值 15 15 5 因为 1 BD与该正四棱柱的每个面所成角都相等，所以该正四棱柱为正方体取 11 BC的中点F， 连接 1 ,BF D F（图略），则 1 FBD为异面直线 1 C E与 1 BD所成的角设2AB ，则 11 5,2 3BFDFBD，故 1 5 12515 cos 52 2 35 FBD 1625n；227 因为 210 9,25aa，所以公差 259 2 102 d ，所以92(2)25 n ann因 为 1100 7,205aa，且 n a为奇数，所以当7,9,11,33,55,77,99,111 n a 时，1 n p a； 当
14、101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199 n a 时，2 n p a 在 n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足2 n p a的共有47740项，故 n p a的前100项和为 1 82 (40 17)3 (100840 17)227 17（1）证明：因为coscosaBbA c，所以sincossincossinABBAC 又sinsin()CAB， 所以2sincos0BA 因为sin0B，所以cos0A， 则 2 A ，故ABC是直角三角形 （2）解：因为 222 1 cos 21
15、5 BDCDBC BDC BD CD ， 所以 1 coscos 15 BDABDC 又 2 A ，所以 1 cos 3 ADBDBDA 因为 1 cos 15 BDA，所以 4 14 sin 15 BDA， 故ABD的面积为 12 14 sin 29 ADBDBDA 18解：（1）设甲的命中率为p，则依题意可得20.18pp， 解得0.3p ， 故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.3，0.6，0.9 （2）X的可能取值为0，1，2，3， 则(0)(1 0.3) (1 0.6) (1 0.9)0.028P X ， (1)0.3 (1 0.6) (1 0.9)(1 0.3) 0.6 (1 0.
16、9)(1 0.3) (1 0.6) 0.90.306P X ， (2)0.3 0.6 (1 0.9)(1 0.3) 0.6 0.90.3 (1 0.6) 0.90.504P X ， (3)0.3 0.6 0.90.162P X ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.028 0.306 0.504 0.162 故0 0.028 1 0.306 2 0.504 3 0.162 1.8EX 19（1）证明：因为底面ABCD为菱形， 所以BDAC 因为PA 底面ABCD， 所以PABD 又ACPAA，所以BD 平面PAC 因为BD 平面PBD，所以平面PBD 平面PAC （2）解：设AC与B
17、D交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示， 设2,(0)ABPAt t， 则(3,0, ), (3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0),( 3,0,0)PtABDC， 则(0,0,),( 3,1,0),( 3, 1,)PAtABDCPDt 设平面PAB的法向量为( , , )mx y z，则 0, 30, m PAtz m ABxy 令1x ，得(1,3,0)m 设平面PCD的法向量为,nx y z ，则 30, 30, n PDxytz n DCxy 令xt ，得( ,3 ,2 3)ntt 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则 2 |42 7 cos
18、 7| 2412 m nt m n t ， 解得2t ，则 3 tan 32 3 t PCA，故30PCA 20 解： （1） 当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为 2 p x ， 代入抛物线方程可得 22 yp， 即yp ， 所以| 2MNp， 但| 3MNp，故直线l的斜率存在，设其方程为(0) 2 p yk xk 由 2 , 2 2, p yk x ypx 得 22 222 20 4 k p k xk pp x， 设 1122 ,M x yN x y，则 2 12 2 2k pp xx k ， 所以 2 1212 2 2 | |3 22 ppk pp MNMFNFxxxxppp k
19、， 解得2k ，所以直线l的斜率为2 （2）设直线l的方程为 1122 ,yxm M x yN x y 由 2 , 2, yxm ypx 得 22 (22 )0 xmp xm， 则 2 1212 22 ,xxmp x xm 由 22 (22 )40mpm ，得 2 p m 又 2 p mp，所以 3 2 p m ，从而l在y轴上的截距的取 值范围为 33 , 222 ppp 1221 12 12 12 22 2222 PMPN pp ypxypx ypyp kk pppp xxxx 1221 12 22 22 pp xmpxxmpx pp xx 来源：高中数学资料共享群 1073631656
20、2 1212 1212 2()2(22 )() 22 0 2222 pp x xmxxp mpmmmpp mp pppp xxxx ， 所以直线,PM PN的斜率互补，从而MPN的平分线始终与y轴平行 21（1）解：( )f x的定义域为(0,)， 1 2 ( )e1 x fx x ， 易知 1 2 ( )e1 x fx x 在(0,)上单调递增，且(1)0 f 令( )0fx，得01x，则( )f x的单调递减区间为(0,1)； 令( )0fx，得1x ，则( )f x的单调递增区间为(1,) （2）证明：设 3 ( )(2)3(2)(0),( )3(1)(3)g xxxxg xxx 令(
21、)0g x，得13x；令( )0g x，得01x或3x 所以当1x 时，( )g x取得极大值，且极大值为2， 由（1）知， min ( )(1)2f xf，故当03x时， 3 ( ) (2)3(2)f xxx 设 13 ( )( )( )e2ln(2)46(3) x h xf xg xxxxx ， 12 2 ( )e3(2)4 x hx x x ，设 1 2 2 ( )( ),( )e6(2) x p xh xp xx x ， 设 1 3 4 ( )( ),( )e6 x q xp x q x x ，易知( )q x在(3,)上单调递增， 则 2 4 ( )(3)e60 27 q xq，则(
22、 )q x在(3,)上单调递增， 从而 2 2 ( )(3)60 9 p xpe，则( )h x在(3,)上单调递增， 则 2 1 ( )(3)0 3 h xhe，从而( )h x在(3,)上单调递增， 所以 2 ( )(3)e52ln30h xh ，故当3x 时， 3 ( ) (2)3(2)f xxx， 从而 3 ( ) (2)3(2)f xxx得证 22解：（1） 27 6(cos2sin ) ， 2 6 cos12 sin270 22 cos ,sin ,612270 xyxyxy， E的直角坐标方程为 22 (3)(6)18xy （2）易知曲线C过定点(3,0)M，其图象是关于直线3x
23、 对称的“V”字形， 又曲线E为以(3,6)为圆心，3 2为半径的圆， 来源：高中数学资料共享群 1073631656 0k 当3x时，曲线C的方程为3ykxk，即30kxyk， 则圆心(3,6)到直线的距离 22 |363 |6 3 2 11 kk d kk ， 解得 2 1k ， 又0k ，故k的取值范围为(1,) 23解：（1）不等式( )1f x 等价于 1 , 2 61 x 或 15 , 22 441 x x 或 5 , 2 61, x 即 1 2 x或 13 24 x 所以不等式( )1f x 的解集为 3 , 4 （2）( ) |42| |4|f xxtmtm等价于|25|21| |4|xxtmtm 令( ) |25|21|h xxx，则( )|25(21)| 6h xxx ， 所以 min ( )6h x 而|4|(4)|4|tmtmtmtmmm， 所以6|4|mm， 所以646mmm ，解得1m，即m的取值范围为(,1) 来源：高中数学资料共享群 1073631656
