1、多边形的内角和教学设计【教学内容】义务教育教科书数学四年级下册第9697页内容。【教学目标】1.使学生通过观察、操作等具体活动，探索发现多边形的内角和与它的边数之间的关系，用自己能理解的方式表示所发现的规律。2.引导学生经历探索多边形内角和的过程，积累探索和发现数学规律的经验，发展空间观念，培养动手操作能力和合情推理能力。3.使学生在参与探索活动的过程中，进一步产生对数学的好奇心，感受数学活动的挑战性和趣味性，增强学好数学的信心。【教学重点】探索多边形内角和的规律。【教学难点】经历探索多边形内角和公式的过程，积累数学活动经验。【教学准备】每组一个材料袋（内含两个不同的四边形、一个五边形、一个六
2、边形）、量角器、剪刀、学习单。【教学过程】一、回顾旧知，引入新课1.同学们，在以往的学习中，你认识过哪些平面图形？（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形）（课件出示图形）2.这些图形中，像三角形这样有三条线段围成的图形可以叫做三边形，像正方形、长方形、平行四边形、梯形这样有四条线段围成的图形可以统称为四边形。（课件出示五边形）那么，如果一个图形有五条线段围成，可以叫做几边形？（五边形）（课件出示六边形）如果是有六条线段围成的图形呢？（六边形）指出：像这些由三条或三条以上的线段首尾相接围成的平面图形，它们都叫做多边形。（板书：多边形）三角形是边数最少的多边形。3.我们已经知道三角形的内角和是
3、180，还记得我们是用什么方法来验证三角形内角和是180的？（测量、撕拼、折叠）谈话：三角形的内角和我们已经知道并且验证过了，那么四边形、五边形、六边形甚至更多边形，它们的内角和又分别是多少度呢？其中是否还存在一些规律呢？今天这节课我们就一起来研究多边形的内角和。（补充板书：多边形的内角和）【设计意图】和学生一起回顾已经学过的平面图形，帮助学生梳理并认识什么是多边形。学生已经知道了三角形的内角和是180，教师引导学生回顾验证“三角形内角和是180”的方法，为接下来探索多边形的内角和做好铺垫。二、操作研究，探索规律1.活动一：探究四边形的内角和，初步感知方法谈话：研究复杂的问题，先从简单的入手，
4、我们先来研究四边形的内角和。（课件出示各种四边形）在这些四边形中，哪几个图形的内角和你已经可以确定了？（正方形、长方形）你是怎么知道的？（长方形、正方形的四个角都是90，通过计算可以知道它们的内角和是360。）那么其他几个四边形，它们的角不都是直角，猜猜看它们的内角和会是多少度呢？（板书：猜想）预设1：180。追问一下，有没有可能？引导学生和三角形对比，发现肯定不是180，应该比180要大。预设2：360。追问一下，有没有可能？（有可能，需要验证）（板书：验证）可以用什么方法来验证呢？可能想到的方法：方法1：量一量。用量角器量一量每个角的度数，记录下来，然后相加，算出内角和。（板书：量）方法2
5、：撕一撕、拼一拼。把四边形的角一个一个撕下来，拼一拼，看看能不能拼成360的周角。（板书：撕、拼）方法3：分一分。把四边形分一分，分成几个三角形，利用三角形的内角和是180，来叠加出四边形的内角和。（此方法如果没想到，则运用方法1、方法2进行验证，最后肯定会出现些许误差，引导学生明白操作就会带来误差，因此借助于已有的知识作为新知识的生长点，进行推理是最为科学的方法。）同桌合作，拿出准备好的四边形，选择一种方法进行验证。交流验证结果：“量一量”验证情况：用量角器分别量出4个角的度数后相加，发现四边形内角和是360，也可能接近360。“撕一撕、拼一拼”验证情况：把四个角撕下来拼到一起，发现正好可以
6、拼成一个周角，因此可知四边形内角和是360。“分一分”：在四边形内加了一条线把四边形分成两个三角形，再用（1802）得出这个四边形的内角和是360。追问：没有量也没有撕，只加一条线，听起来很简单，请学生到实物投影下具体说一说。（从一个顶点到相对的顶点连一条线将四边形分割成两个三角形，原来的四个内角被分割成了六个角，标上序号，这些角分别在两个三角形中，已知三角形的内角和是180，由此可知，四边形的内角和就是2个180，也就是360。）课件再次展示将“一个四边形”转化成“两个三角形”的过程，再逐步呈现出原来的4个内角转化成现在三角形的6个内角，从而明白“四边形的内角和”可以转化成“两个三角形的内角
7、和”来计算。指出：分割、转化是我们学习数学知识时经常用到的重要的数学方法。（板书：分割、转化。）引导学生进行验证方法的优化：量、撕拼、分割转化这三种方法，你觉得哪种方法更为科学严谨？学习单第1题：运用分割法将学习单上各种不同的四边形都分割成两个三角形，发现不同的四边形都可以分割成两个三角形，再次验证“四边形的内角和”都可以转化成“两个三角形的内角和”。得出结论：四边形的内角和是360。（板书：四边形1802=360。）【设计意图】研究四边形的内角和是继续探究多边形内角和的第一重关口，从“量一量”“撕一撕、拼一拼”到“分一分”，给学生足够的操作时间和思维空间，引导学生数形结合，自主思考，帮助学生
8、跨越思维障碍，通过同桌合作来验证猜想，渗透“猜想”“验证”的数学思想。同时，也让学生明白操作会带来一定的误差，推理是科学严谨的、高阶思维的研究方法，为接下来进一步探究五边形、六边形以及其他多边形的内角和优化了研究方法。2.活动二：探究五边形、六边形的内角和，优化分割方法学习单第2题：你能用分割的方法求出五边形的内角和吗？学生自主操作：从材料袋中取出五边形，运用分割法求出五边形的内角和。汇报交流（投影展示）：从任意一个顶点出发进行分割，将五边形分割成了3个三角形，“五边形的5个内角和”与“3个三角形的9个内角和”相等，从而通过计算1803=540得出五边形的内角和是540。从边上任意一点出发进行
9、分割，将五边形分割成了4个三角形，从而得出了1804=720的结论。请同学们仔细观察两种分法的图示，说说有什么想法？（720错了，他多算了4个角。）追问：他多算了哪里的4个角呢？请同学上来指一指，发现他多算了以边上任意一点为顶点的4个新的角。那么，把多算的角减去也可以得到正确的内角和，这4个角合在一起正好是一个平角，是180，所以720-180=540，也得到了五边形的内角和是540。指出：分法不同，角的变化情况就不同，要学会灵活处理。（若学生中有出现这种情况则展示学生作业，若没有则教师课件出示。）从图形中间任一点到多边形五个顶点连线进行分割，引导生感受从图形中间任意一点到多边形各个顶点连线，
10、将多边形分割成了5个三角形，说说这种分法又该怎样处理呢？（分成5个三角形也可以，5个三角形的内角和比五边形的内角和多了中间的5个角，这5个角正好合成一个周角，要用1805-360，得出五边形内角和也是540。)对比观察三种分法以及三种计算五边形内角和的方法（课件出示），你觉得哪一种分法在计算五边形内角和时更加方便？引导学生认识到：从五边形任意一个顶点出发，分别与它不相邻的其他顶点（相对的两个顶点）连线分割三角形最为方便（不会产生新的角，只是将原来多边形的内角进行了分割，分成3个三角形，内角和就是3个180）。（板书：五边形1803=540)学习单第3题：请同学们运用“从任意一个顶点出发分割三角
11、形”的方法，求出六边形的内角和。学生独立自主进行连线分割，求出六边形的内角和。汇报交流并明确：从六边形任意一个顶点出发，分别与它不相邻的4个顶点连线，将六边形分割成4个三角形，则六边形的内角和是1804=720。（板书：六边形1804=720。)【设计意图】在突破了四边形的内角和是360之后，明确分割、推理的方法是研究多边形内角和最为科学合理的方法，为继续探究五边形、六边形的内角和明确操作及思考方式。在分割三角形并且推理五边形内角和时，放手让学生进行自主迁移，在此过程中，学生可能会出现“从任意一个顶点出发分割”“从图形边上的任意一点出发分割”“从图形中间任一点出发分割”这三种分割的思考方式，引
12、导学生对这三种分割方式分别展开多维探讨及五边形内角和的推理，自主发现从五边形任意一个顶点出发，分别与它不相邻的其他顶点连线分割三角形最为方便，优化分割方法，进一步渗透数学思想，发展思维。在此基础上，由学生独立求出六边形的内角和就轻而易举了。3.活动三：探究其他多边形的内角和，尝试发现规律谈话：让我们继续探究其他多边形的内角和。学习单第4题：请同学们选择一个或画一个多边形自主研究它的内角和。汇报交流：（投影展示）板书：七边形1805=900八边形1806=1080十边形1808=1440十二边形18010=1800谈话：大家运用分割法又快又好地求出了这些多边形的内角和。那你知道三十边形的内角和是
13、多少度吗？想要分，却发现：三十边形画不出来，边数太多，也不好分。引导：看来，碰上边数比较多的多边形，分割也遇到困难了，我们有必要来找一找多边形的内角和有没有什么规律。课件出示以下表格，学生思考、填写：集体交流，完善课件表格填写。请大家仔细观察表格中相关数据，看看能发现什么，在小组里说一说。交流：一个多边形能分成的三角形个数都比它的边数少2，所以多边形的内角和可以表示为180（边数-2）。板书：180（边数-2）【设计意图】在计算了更多多边形内角和之后，抛出问题“计算三十边形的内角和”，激发学生探寻规律的需求，于是通过归总填表，观察多边形的边数和分成的三角形个数之间的关系，发现一般规律，即分成的
14、三角形个数比边数少2，从而得出多边形的内角和的计算方法为180（边数-2）三、规律应用，内化提升现在你能求出三十边形的内角和吗？(180(30-2)=2700)追问：如果是n边形呢？n边形有n条边，则可以分成（n-2）个三角形，n边形的内角和就是180（n-2）。板书：180（n-2）【设计意图】应用规律计算三十边形的内角和，帮助学生进一步内化规律，并且提升认识n边形的内角和为180(n-2) ，培养运用规律解决问题的意识，提升解决问题的能力，发展核心素养。四、回顾感悟，文化链接1.回顾总结刚才，我们是怎样探索发现多边形内角和规律的？和你的同桌说一说。回顾这一段探究的过程，你有什么收获?交流明
15、确：把新问题（未知）和已有知识（已知）相结合；先从简单的图形开始，通过猜想验证推理，发现了多边形内角和的规律。指出：通过这节课的学习，我们的收获不止于一条规律、一个公式，“猜想验证推理”这种发现规律的方法是我们更大的收获，是我们探索数学问题的重要方法。【设计意图】引领学生从知识探究过程本身、探究方法等多角度对整节课的学习进行回顾小结，再一次让学生经历探究规律活动的全过程，感悟规律探究的一般方法，培养反思总结能力，从重知识、规律的理解记忆转变为重规律探究方法的感悟。2.数学文化介绍。师:古代数学家对多边形的内角和早有探索，一起来看。(课件出示“古希腊数学家泰勒斯、欧几里得等人多边形内角和的探索历程”简介）【设计意图】增加文化积累，提升数学素养。
