1、第21章：一元二次方程 人教版九年级上册 21.2 21.2 解一元二次方程解一元二次方程 21.2.5 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 2.求根公式求根公式 一、知识回顾 学习目标： 1.理解并掌握根与系数关系： x1 + x2 = - , x1 x2 = 2.会用根的判别式及根与系数关系解题. a b a c 二、目标展示 方程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，与x1 x2系数有什么规律？ 猜
2、想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2 qxxpxx 2121 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 三、导入新课 方方 程程 x1x2xx 21 xx 21. 0169 2 x x 0143 2 x x 0273 2 x x 3 1 3 1 3 2 9 1 3 72 3 4 3 1 3 1 - -2 2 3 7 3 2 x1+ x2，x1x2与系数有什么规律? 3 72 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a0） 的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系. a b xx 21 a c xx 21
3、04 2 acb 探究新知： x1+x2= -b+ b2-4ac 2a + -b- b2-4ac 2a x1= -b+ b2-4ac 2a x2= -b- b2-4ac 2a = -2b 2a x1x2= -b+ b2-4ac 2a -b- b2-4ac 2a = (-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac) 4a2 = 4ac 4a2 = b2-(b2-4ac) 4a2 xx 21 xx 21. a b a c 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 , 那么x1 + x2= , x1 x2= a b - a c （韦达定理）
4、 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0 例1、不解方程，求下列方程两根的和与积. 2 2 2 415)3( 0973)2( 0156)1( xx xx xx 例题讲解： 在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用x1+x2= 时， 注意“ ”不要漏写. a b 2 2 2 1 ) 1 (xx 例2、设 是方程 的两个 根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 21 ,xx0342 2 xx ) 1)(1)(3( 21 xx 2 212 2 1 )4(xxxx 2 1 1 2 )5( x x x x 2 21 )(6(xx 21 11 ) 2( xx 关于
5、两根几种常见的求值 21 11 .4 xx 21 21 xx xx )1)(1.(3 21 xx1)( 2121 xxxx 1 2 2 1 .5 x x x x 21 2 2 2 1 xx xx 21 21 2 21 2)( xx xxxx 21 .6xx 2 21 )(xx 21 2 21 4)(xxxx 21 2xx 2 2 2 1 .1xx 2 21 )(xx 2 21 ).(2xx 2 21 )(xx 21 4xx 例3、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二 次项系数为1. 变式：且二次项系数为5 例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分 别是关
6、于方程（1）的两根 的平方. 求关于y的方程. 的倒数. 的相反数. 比 都大2. 例5、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一 次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出 的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？ 1.甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求 出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。 则这个一元二次方程为_ x2-5x+6=0 课堂练习： 2、如果1是方程的一个根，2x2-x+m=0则另一个根是_ =_。 （还有其他解法吗？) -3 3、已知3是方程 x2-mx-3=0的一根，求m及另一根. 2 30 xmx 3 2 例7、方
7、程x2+px+q=0 的两根同为正数，求p、q的取值范围. 四、求方程中的待定系数 4、方程 有一个正根，一个负 根，求m的取值范围. 解:由已知, 0) 1(44 2 mmm= 0 1 21 m m xx 即 m0 m-10 0m1 )0(012 2 mmmxmx 一正根，一负根 0 X1X20 两个正根 0 X1X20 X1+X20 两个负根 0 X1X20 X1+X20 5、 已知方程 的两个实数根是 且 求k的值。 02 2 kkxx2, 1 xx 4 2 2 2 1 xx 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0 1、一元二次方程根与系数的关系？ a c a b aCbxax
8、 xxxxxx 212121 2 .;, )0(0 则有 的两根分别是如果 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0 课堂小结与反思： （1）教材p16练习. （2）教材p17习题第7题 布置作业： 已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 1 yx 2 yx 解得: x=2 y=1 或 x1 y=2 解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则: 02 2 aa 求得 1, 2 21 aa 两数为2, *已知两个数的和与积，求两数 *求未知系数的取值范围 *例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论k取何值时,方
9、程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1? 分析分析: (1)列出的代数式列出的代数式,证其恒大于零证其恒大于零 (2)(x1-1)(x2-1)0 方程总有两个不相等的实数根方程总有两个不相等的实数根 (2)由题意得由题意得: 解得解得: 12 12 12 7 9 3 9 (1)(1)0 m xx m x x xx 13 2 m 当当 时方程的一根大于时方程的一根大于1,另一根小于另一根小于1 13 2 m 练习 返回 *1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根 ? *2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-
10、1)x+m2=0的两个 非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围; 若不能同号,请说明理由. 返回 *题9 在ABC中a,b,c分别为A, B,C 的对边,且c= ,若关于x的方程 有两个相等的实数根,又方程 的两实数根的平方和为6,求ABC的面积. 35 0)35(2)35( 2 baxxb 0sin5)sin10(2 2 AxAx c a A sin规定： 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= 2 1k 2 3k 1 2 3 4 2 ) 2 1 ( kk 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。
