1、第24章 人教版九年级上册 24.124.1圆、垂径定理、圆心角、圆周角（圆、垂径定理、圆心角、圆周角（1 1） 24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角 学习目标： 1.理解圆周角定义，了解圆周角不圆心角的关系，会在具体情景中 辨别圆周角。 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识迚行简单的计算和证 明。 3.经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动过程，体 验圆周角定理的探究过程，培养合情推理能力、逻辑思维能力、推 理论证能力和用几何语言表达的能力。 复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角。 能仿照圆心角的定义，给下图中象ACB 这样的角下个
2、定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角 P P P P 不是不是 是是 不是不是 不是不是 顶点不在顶点不在 圆上。圆上。 顶点在圆上，两顶点在圆上，两 边和圆相交。边和圆相交。 两边不和圆两边不和圆 相交。相交。 有一边和圆不相有一边和圆不相 交。交。 问题探讨： 判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。 A B C O 有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧 画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置? 圆心在一边上 圆心在角内 圆心在角外 如图,观察圆周角ABC不圆心角AOC,它们的大小有什么关系? O A B C O
3、 A B C O A B C 圆周角和圆心角的关系 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. O A B C 第二种情况：如果圆心丌在圆周角的一边上,结果会 怎样? 2.当圆心O在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC 不圆心角AOC的大小关系会怎样? 提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: O ABC = AOC.ABC = AOC. 2 1 A B C D ABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD, 2 1 2 1 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. O A B C 第三种情况：如果圆心丌在圆周角的一边上,结果 会怎样? 3
4、.当圆心O在圆周角(ABC)的外部时,圆周角 ABC不圆心角AOC的大小关系会怎样? 提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: O ABC = AOC.ABC = AOC. 2 1 你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD, 2 1 2 1 A B C 巩固练习： 如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个 内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关
5、系 在同圆戒等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 在同圆戒等圆中， A B C1 O C2 C3 归纳： 在同圆戒等圆中，同弧戒等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半 定理 半圆（戒直径）所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径 在同圆戒等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论 2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。 O A B C B A O . 70 x 1.求圆中角X的度数 A O . X 120 A O . X 120 C C D B 练习： 在同圆戒等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对 弧一定相等吗？为什么？ 在同圆戒等圆中，如果两个圆周角相 等
6、，它们所对的弧一定相等 O F B A C E G B A C D E E E O O B B D D C C A A 规律：都相等，都等于圆心角AOC的一半 AC所对的圆周角 AEC ABC ADC的 大小有什么关系？ 结论：同弧戒等弧所对的圆周角相等。 当球员在B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形成三个张 角ABC, ADC,AEC.这三个角 的大小有什么关系?. A B C D 在同圆戒等圆中 相等的圆周角所对的弧相等. 则 D=A ABCD 如图, 若 AC = BD 问题1：如图，AB是O的直径，请问： C1、C2、C3的度数是 。 A B O C1 C2 C3 推论：
7、半圆（戒直径）所对的圆周角是直90 的圆周角所对的弦是直径。 问题2： 若C1、C2、C3是直角，那么 AOB是 。 90 180 探究不思考： 1、如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100 A C B O D 2、如图，ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧 AB上，且丌不A、B重合，则BPC等于（ ） A、30； B、60；C、90； D、45 C A B P B 练一练 3、如图，A=50， AOC=60 BD是O的直径，则AEB等于（ ） A、70； B、110； C、90； D、120 B A C B O D E 练一练 3、如图
8、，、如图，A=50， AOC=60 BD是是O的直径，则的直径，则AEB等于（等于（ ） A、70； B、110； C、90； D、120 B 4、如图，、如图，ABC的顶点的顶点A、B、C 都在都在O上，上，C30 ，AB2， 则则O的半径是的半径是 。 A C B O D E C A B O 解：连接解：连接OA、OB C=30 ，AOB=60 又又OA=OB ，AOB是等边三角形是等边三角形 OA=OB=AB=2，即半径为，即半径为2。 2 3.已知O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B 圆心角为60度 圆周角为 30 度 戒 150 度。 在O中，CB
9、D=30 ,BDC=20,求A 在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A 2、如图，在O中，AB为直径，CB = CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC P D B O A C 例: 如图，AB是O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,ACB的 平分线交O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长. 10 6 练习:如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ABD=40,则BCD=. A B O C D 40 5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？ 不同学交流一下 D A B C O O O 方法一方法一 方法二方法二 方法三方法三 方法四
10、方法四 A B 例例2 2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MNMN进进 攻，当甲带球冲到攻，当甲带球冲到A A点时，乙已跟随冲到点时，乙已跟随冲到B B点点( (如图如图2)2)此时甲是自此时甲是自 己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从 两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大 ，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的 张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比 较A、B
11、两点对MN张角的大小呢？ 例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 迚攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)此时甲是 自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅 用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两 个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门 位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大 小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截. 怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？ 解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一 圆，这里丌妨作出BMN，显然，A点在 BMN外，设MA交圆于C，则 MANMCN，而MCN=M
12、BN， 所以MANMBN 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门. A B E C O D 如图所示，已知ABC的三个顶点都在O上，AD是ABC的高， AE是O的直径. 求证：BAECAD 回顾：圆周角定理及推论？ 思考：判断正误： 1.同弧戒等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3.90角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30（ ） 第二课时 应用 例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交 O于D，求BC、AD、BD的长 8610 2222 ACABBC 又在又在RtABD中，中，AD2+BD2
13、=AB2， 22 1052(cm) 22 ADBDAB 解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90 在在RtABC中，中， CD平分平分ACB， AD=BD. .ACDBCD O A B C D 例题 3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.） A B C O 求证： ABC 为直角三角形. 已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线， 1 2 且且CO= AB A B C O 证明： CO= AB, 1 2 以AB为直径作O， AO=BO， AO=BO=CO. 点C在O上. 又AB为直径, AC
14、B= 180= 90. 1 2 ABC 为直角三角形. 1.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB 不BAC的大小有什么关系？为什么？ O A B C 2.2.如图，如图，A A、B B、C C、D D是是O O上的四个点，且上的四个点，且 BCD=100BCD=100，求，求BODBOD（ 所对的圆心角）所对的圆心角） 和和BADBAD的大小。的大小。 O B D C A 课堂练习 3、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使 DC=BD，连接AC交O于点F，点F丌不点A重合。 （1）AB不AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断AB
15、C属于哪一类三角形，并说明理 由。 A C B D F O 探究 A C B D F O ABC是锐角三角形 解：（1）AB=AC。 证明：连接AD 又DC=BD，AB=AC。 （2）ABC是锐角三角形。 由（1）知，B=C90 连接BF，则AFB=90 ，A90 AB是直径，ADB=90， 1.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB， 如果ADB=35 ， 求BOC的度数。 2 2、如图，在、如图，在O O中，中， BC=2DEBC=2DE， BOC=84BOC=84， 求求 A A的度数。的度数。 BOC =140BOC =140 A=21A=21 4、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100) 和(5x-30)，则x=_ _； 3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_； 2020 5050 拓展练习 如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的点。 （1）求证P AQB （2）如果点P在O内， P不AQB有怎样的关系？为什么？ O B p Q A 作业： 1.课本p88页练习：1、2、3、4题。 2.课本p88页习题：5、6、14题。
