1、 2020 届全国各地最新模拟试题(文)分类汇编 09 解三角形 一选择题(共一选择题(共 17 小题)小题) 1 (2020七星区校级一模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,已知 2 coscoscoscBbAaB ,则(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 2 (2020荆州一模)ABC是边长为 2 的正三角形,D、E、F分别为AB、AC、BC上 三点,且ADDF,ADEFDE,则当线段AD的长最小时,(ADE ) A 3 B 5 6 C 5 12 D 3 4 3(2020随州模拟) 在Rt ABC中, 角 2 C , 点D是边AC上一点, 点E在BD上 若1CD
2、 , DAEDEAABC ,则(BE ) A1 B2 C3 D4 4 (2020宜宾模拟)如图,在Rt ABC中, 2 C , 6 B ,4AC ,D在AC上 :3:1AD DC ,当AED最大时,AED的面积为( ) A 3 2 B2 C3 D3 3 5 (2020漳州模拟)如图,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,23ABBD, 2BCBD,则sinC的值为( ) A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 6 (2020东宝区校级模拟)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,M 在边AB上,且 1 3 AMAB,2b , 2 7 3 CM , 2sinsin sin
3、2 ABc Bb ,则( ABC S ) A 3 3 4 B3 C2 3 D 8 3 3 7(2020吉林二模) 设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c 已知2cos0baC, sin3sin()AAC,则 2 ( bc a ) A 7 4 B 14 9 C 2 3 D 6 9 8 (2020沙坪坝区校级模拟)在ABC中, sin3 sin2 B C ,60BAC,D是BC的中点,若 AEEC,且ADBE,则实数( ) A 7 5 B 7 12 C 4 3 D 4 7 9 (2020晋城一模)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的 面积为S,若 22 2 sin(
4、) S AC bc ,则 1 tan 2tan() C BC 的最小值为( ) A2 B2 C1 D2 2 10(2020江西一模) 在锐角ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知24ab, sin4 sin6 sinsinaAbBaBC,则ABC的面积取得最小值时有 2 (c ) A 5 5 2 B 5 5 3 C 2 55 3 D 4 55 3 11(2020南充模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c 若 t a nt a n ab ab AB , 则角(C ) A 6 B 4 C 3 D 2 12(2020焦作一模) 在ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a
5、,b,c,coscos bc BC a , 8 sin bc A ,则ABC的周长的最小值为( ) A3 B33 2 C4 D44 2 13 (2020芜湖模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 3 (cossin) 3 baCC,2a , 2 6 3 c ,则角(C ) A 3 B 6 C 3 4 D 4 14(2020贵州模拟) 在ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足 222 bcabc, 3a ,则bc的取值范围是( ) A(1, 3) B( 3,2 3 C( 3,3 3) D 3 3 ( 3, 2 15 (2020龙岩一模)第 24 届国际数学家大会会
6、标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 进行设计的 如图所示, 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较大的锐角为, 那么 2 cos( 2 ) A 3 10 B 3 5 C 7 10 D 4 5 16 (2020泉州一模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三 斜求积”公式:设ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三 斜求积” 公式为 222 222 1 () 42 acb Sa c 若 2 s i n s i n5 Cc A , 且() () 4 0a b
7、 c a b c , 则利用“三斜求积”公式可得ABC的面积(S ) A 3 2 B2 C4 D3 17 (2020开封一模)2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15的观礼 台上, 某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上, 在该列的第一排和最后一排测得旗 杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为10 6米,则旗杆的高度为( )米 A20 2 B30 C30 3 D35 二填空题(共二填空题(共 10 小题)小题) 18 (2020龙岩一模)波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262190年)的著作圆锥曲 线论 是古代世界光辉的科学成果, 它将圆锥曲线的性质网
8、罗殆尽几乎使后人没有插足的余 地 他证明过这样一个命题: 平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k kk的点的轨迹是圆, 后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,现有ABC,4AC ,sin2sinCA,则当ABC的面 积最大时,AC边上的高为 19 (2020渭南一模)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45,与观 测站A距离20 2海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测 站A东偏北(045 )的C处,且 4 cos 5 ,已知A、C两处的距离为 10 海里,则该 货船的船速为 海里/小时 20(2020金安区校级模拟) 在ABC中,E,F分别是AC,AB的中点
9、, 且4AB ,6AC , 若ABC的面积不小于6 3,则 BE CF 的最小值为 21 (2020东胜区校级一模)在ABC中,23ABAC,AD是BAC的角平分线,设 ADmAC,则实数m的取值范围是 22 (2020天河区二模)如图,在ABC中,点P在BC边上,60PAC,2PC , 4APAC,若ABC的面积是 3 3 2 ,则sinBAP 23 (2020九江一模)如图,在平面四边形ABCD中,1AD ,5BD ,ABAC, 2ACAB,则CD的最小值为 24 (2020汉中一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC 的面积为15,2bc, 1 cos 4 A
10、 ,则a的值为 25 (2020广州一模)已知ABC的三个内角为A,B,C,且sin A,sinB,sinC成等 差数列,则sin22cosBB的最小值为 ,最大值为 26 (2020邯郸模拟)锐角ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,1b , cos2sincoscBAC,则B 27 (2020郑州一模)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且 2cos( 2cos)AaC,2c ,D为AC上一点,:1:3AD DC ,则ABC面积最大时, BD 三解答题(共三解答题(共 5 小题)小题) 28 (2020天河区二模)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
11、3c , 且 1 sin() cos 64 CC (1)求角C的大小; (2)若向量(1,sin)mA与(2,sin)nB共线,求ABC的周长 29 (2020眉山模拟)如图,EFGH是矩形,ABC的顶点C在边FG上,点A,B分别 是EF,GH上的动点(EF的长度满足需求) 设BAC,ABC,ACB,且 满足sinsinsin (coscos ) (1)求; (2)若5FC ,3CG ,求 53 ACBC 的最大值 30(2020泉州一模) 如图, 已知在平面四边形ABCD中,CAB,ABC,ACB, 且cos (sinsin)sin (2coscos ) (1)证明:2CACBAB; (2)
12、若CACB,21DADC,求四边形ABCD的面积的取值范围 31 (2020黄冈模拟)如图,在ABC中, 3 B ,2BC (1)若7AC ,求AB的长; (2)若AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D,E两点,且 6 2 DE ,求角A的 大小 32(2020遂宁模拟) 已知向量(sin, 36sin)axx, 向量(2cos, 2sin1)bxx, 01,函数( )f xa b,直线 5 6 x 是函数( )f x图象的一条对称轴 (1)求函数( )f x的解析式及单调递增区间; (2)设ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3c ,sin2sinBA,又 已知tan21(
13、0 2 ),锐角C满足(2)2fC,求ab的值 2020 届全国各地最新模拟试题(文)分类汇编 09 解三角形 一选择题(共一选择题(共 17 小题)小题) 1 (2020七星区校级一模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a、b、c,已知 2 coscoscoscBbAaB ,则(B ) A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 【解答】解:由正弦定理得:2sincossincossincosCBBAAB , 可得:2sincossin()sinCBABC , 由于sin0C , 可得 12 cos 23 BB 故选:D 2 (2020荆州一模)ABC是边长为 2 的正三角形,D、E、F分别
14、为AB、AC、BC上 三点,且ADDF,ADEFDE,则当线段AD的长最小时,(ADE ) A 3 B 5 6 C 5 12 D 3 4 【解答】解:ABC是边长为 2 的正三角形且ADDF,ADEFDE, 在BDF中,2BDAD, 3 B ,2 3 BFDADE ,0 2 ADE , 由正弦定理,有 sinsin DFBD BBFD , 2 sinsin(2) 33 ADAD ADE , 2 3 2sin(2)3 3 AD ADE , 0 2 ADE ,当sin(2)1 3 ADE , 即 5 12 ADE 时,AD的取得最小值 故选:C 3(2020随州模拟) 在Rt ABC中, 角 2
15、C , 点D是边AC上一点, 点E在BD上 若1CD , DAEDEAABC ,则(BE ) A1 B2 C3 D4 【解答】解:设DAEDEAABC ,则2BDC,BEA, Rt BCD中,易得tan2BC, Rt ABC中, tan2 ,2 cos2 ABBAE , ABE中,由正弦定理可得 sinsin ABBE AEBBAE ,即 tan2 cos sin sin(2 ) 2 BE , tan2 cos2sin2 2 sincossincos BE 故选:B 4 (2020宜宾模拟)如图,在Rt ABC中, 2 C , 6 B ,4AC ,D在AC上 :3:1AD DC ,当AED最大
16、时,AED的面积为( ) A 3 2 B2 C3 D3 3 【解答】解::3:1AD DC , 1 1 4 DCAC, AEDACEDEC SSS 11 22 AC CEDC EC 11 1 22 4 AC CEAC CE 11 () 28 AC CE 3 8 AC EC, 4AC ,CE CB,3ACDC,4AC DC 而在Rt ABC中, 2 C , 6 B ,4AC , 得4 3CB AEDAECDEC , 设AEC,AEC,DEC,有图知:在ACE中,tan AC EC ,DEC中 tan DC CE tantan tantan() 1tantan 22 ()3333 4 444 1
17、2 ACDC ACDC ECEC CECE AC DC ECAC DCEC EC CE CE CEEC EC , 当且仅当 4 EC EC , 即2EC 时,tan最大, 即这时AED最大,ADE面积最大为 3 4 23 8 ; 故选:C 5 (2020漳州模拟)如图,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,23ABBD, 2BCBD,则sinC的值为( ) A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 【解答】解:设BDa,则由题意可得:2BCa, 3 2 ABADa, 在ABD中,由余弦定理得: 2 2 222 2 3 2 1 4 cos 233 2() 2 a a ABADBD A
18、AB ADa , 2 2 2 sin1 3 Acos A, 在ABC中,由正弦定理得, sinsin ABBC CA ,即 3 2 2 sin2 2 3 a a C , 解得: 6 sin 6 C , 故选:D 6 (2020东宝区校级模拟)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,M 在边AB上,且 1 3 AMAB,2b , 2 7 3 CM , 2sinsin sin2 ABc Bb ,则( ABC S ) A 3 3 4 B3 C2 3 D 8 3 3 【解答】解:ABC中, 2sinsin sin2 ABc Bb , 2sinsinsin sin2sin ABC BB ,
19、2sincos2sinsinCBAB, 2sincos2(sincoscossin)sinCBBCBCB, 1 cos 2 C, 又(0 ,180 )C, 60C; 又 1 3 AMAB, 1121 () 3333 CMCAAMCAABCACBCACACB, 32CMCACB, 222 944CMCACBCA CB; 2 28164aa, 解得2a 或6a (不合题意,舍去) , ABC的面积为 1 22sin603 2 S ABC 故选:B 7(2020吉林二模) 设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c 已知2cos0baC, sin3sin()AAC,则 2 ( bc a ) A
20、7 4 B 14 9 C 2 3 D 6 9 【解答】解:2cos0baC, 由余弦定理可得 222 2 2 abc ba ab , 整理可得, 222 3bca, sin3sin()3sinAACB, 由正弦定理可得,3ab, 联立可得,6cb, 则 22 66 99 bcbb ab 故选:D 8 (2020沙坪坝区校级模拟)在ABC中, sin3 sin2 B C ,60BAC,D是BC的中点,若 AEEC,且ADBE,则实数( ) A 7 5 B 7 12 C 4 3 D 4 7 【解答】解:因为 sin3 sin2 B C ,所以 3 2 b c , 不妨设3bk,2ck 因为AEEC
21、, 所以 1 AEAC , 因为ADBE,所以0AD BE , 所以 1 () ()0 2 ABACAEAB 1 () ()0 21 ABACACAB , 221 0 211 AB ACABACAB AC 22 cos60cos600 11 cbcbcb , 22 1 0 2(1)1 bccb , 22 1 32(2 )(3 )0 2(1)1 kkkk , 化简得, 39 40 11 , 解得, 7 5 故选:A 9 (2020晋城一模)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的 面积为S,若 22 2 sin() S AC bc ,则 1 tan 2tan() C BC 的
22、最小值为( ) A2 B2 C1 D2 2 【解答】解:由 22 2 sin() S AC bc ,得 2222 2sin sin SacB B bcbc , 所以 22 bcac,由 222 2cosbacacB,得2 cosacBc, 利用正弦定理sin2sincossinACBC, sincoscossin2sincossincoscossinsinBCBCCBBCBCC, 即sin()sinBCC, 锐角ABC中,tan()tanBCC, 111 tantan2 tan2 2tan()2tan2tan CCC BCCC ,当且仅当 2 tan 2 C 时取等号 故选:A 10(2020
23、江西一模) 在锐角ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知24ab, sin4 sin6 sinsinaAbBaBC,则ABC的面积取得最小值时有 2 (c ) A 5 5 2 B 5 5 3 C 2 55 3 D 4 55 3 【解答】解:由正弦定理,sin4 sin6 sinsinaAbBaBC即为 22 46sinababC, 又 1 sin 2 SabC,即有 22 412abS, 由于24ab,即有 222 4(2 )4164abababab, 即有41612abS, 由42(ab 2 2 )8 2 ab , 即有16 128S,解得 2 3 S 当且仅当22ab,取
24、得等号 当2a ,1b ,S取得最小值 2 3 , 2 sin 3 C ,(C为锐角) ,则 45 cos1 93 C 则 222 54 5 2cos4122 15 33 cababC 故选:D 11(2020南充模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c 若 t a nt a n ab ab AB , 则角(C ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解:根据题意, tantan ab ab AB , 由正弦定理可得 sinsinsinsin sinsincoscos sinsin tantan coscos ABAB ABAB AB AB AB , 则有sinsincoscos
25、ABAB, 变形可得:2sin()cos()2cos()cos() 2222 ABABABAB , 又由 222 AB ,则cos()0 2 AB , 则有2sin()cos() 22 ABAB ,即tan()1 2 AB , 又由0 22 AB ,则 24 AB ,即 2 AB , 则 2 C , 故选:D 12(2020焦作一模) 在ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,coscos bc BC a , 8 sin bc A ,则ABC的周长的最小值为( ) A3 B33 2 C4 D44 2 【解答】解:由coscos bc BC a , 222222 22 bcacbabc
26、 aacab , 得 22223223 22b cbca bc bba cb cc, 即 222233 ()b cbca ba cbc, 222 ()()0bc bca, 所以 222 0bca,90A , sin1A ,8bc , 所以 22 ()2244 2abcbcbcbcbc,当且仅当bc取等号, 所以三角形周长最小值为44 2 故选:D 13 (2020芜湖模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 3 (cossin) 3 baCC,2a , 2 6 3 c ,则角(C ) A 3 B 6 C 3 4 D 4 【解答】解: 3 (cossin) 3 baCC, 由正弦
27、定理可得: 3 sinsincossinsin 3 BACCA, 又sinsin()sincoscossinBACACAC, 可得: 3 sincos 3 AA,可得:tan3A , (0, )A, 3 A ,可得: 3 sin 2 A, 又2a , 2 6 3 c , 由正弦定理可得: 2 63 sin2 32 sin 22 cA C a , ca,C为锐角, 4 C 故选:D 14(2020贵州模拟) 在ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足 222 bcabc, 3a ,则bc的取值范围是( ) A(1, 3) B( 3,2 3 C( 3,3 3) D 3 3 ( 3, 2
28、 【解答】解: 222 bcabc, 222 1 cos 222 bcabc A bcbc , 由(0, )A,可得 3 A , 由正弦定理可得: 3 2 sinsin sin 3 bc BC , 2sin2sinbcBC 2 2sin2sin() 3 BB 31 2sin2(cossin) 22 BBB 3sin3cosBB 2 3sin() 6 B , 2 3 BC , 2 (0,) 3 B ,可得:( 66 B , 5 ) 6 , 1 sin()( 62 B ,1, 2 3sin()( 3 6 bcB ,2 3, 故选:B 15 (2020龙岩一模)第 24 届国际数学家大会会标是以我国
29、古代数学家赵爽的弦图为基础 进行设计的 如图所示, 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较大的锐角为, 那么 2 cos( 2 ) A 3 10 B 3 5 C 7 10 D 4 5 【解答】解:设大直角三角形的直角边长为a,1a , 则 22 (1)25aa,0a 解得3a 3 cos 5 , 4 sin 5 2 1cos4 cos 225 ; 故选:D 16 (2020泉州一模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三 斜求积”公式:设ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b
30、,c,面积为S,则“三 斜求积” 公式为 222 222 1 () 42 acb Sa c 若 2 s i n s i n5 Cc A , 且() () 4 0a b c a b c , 则利用“三斜求积”公式可得ABC的面积(S ) A 3 2 B2 C4 D3 【解答】解:由 2 sin sin5 Cc A ,结合正弦定理可得, 2 5 cc a 即5ac , ()()40abc abc, 整理可得, 222 240acbac即 222 6acb, 则利用“三斜求积”公式可得ABC的面积 222 222 11 () 2592 422 acb Sa c 故选:B 17 (2020开封一模)2
31、009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15的观礼 台上, 某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上, 在该列的第一排和最后一排测得旗 杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为10 6米,则旗杆的高度为( )米 A20 2 B30 C30 3 D35 【解答】解:如图所示,依题意可知45AEC,1806015105ACE 1804510530EAC 由正弦定理可知 sinsin CEAC EACCEA sinsinCEEACACCEA, sin 20 3 sin CECEA ACAC EAC 米 在Rt ABC中, 3 sin20 330 2 ABACACB米
32、所以旗杆的高度为 30 米 故选:B 二填空题(共二填空题(共 10 小题)小题) 18 (2020龙岩一模)波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262190年)的著作圆锥曲 线论 是古代世界光辉的科学成果, 它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余 地 他证明过这样一个命题: 平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k kk的点的轨迹是圆, 后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,现有ABC,4AC ,sin2sinCA,则当ABC的面 积最大时,AC边上的高为 2 【解答】解:ABC,4AC ,sin2sinCA即2 c a 根据阿波罗尼斯圆的性质, 点B的轨迹为:以AC的中点O为圆心,2 为半径
33、的圆上(去掉A,C两点) OBAC时,ABC的面积最大 此时 1 2 2 OBAC 故答案为:2 19 (2020渭南一模)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45,与观 测站A距离20 2海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测 站A东偏北(045 )的C处,且 4 cos 5 ,已知A、C两处的距离为 10 海里,则该 货船的船速为 4 85 海里/小时 【解答】解: 4 cos 5 , 3 sin 5 , 由题意得45BAC,即 2 437 2 coscos(45)() 25510 BAC, 20 2AB ,10AC , 由余弦定理得 222 2co
34、sBCABACAB ACBAC, 即 222 7 2 (20 2)10220 2 10800100560340 10 BC , 即3402 85BC , 设船速为x,则 1 2 85 2 x , 4 85x(海里/小时) , 故答案为:4 85 20(2020金安区校级模拟) 在ABC中,E,F分别是AC,AB的中点, 且4AB ,6AC , 若ABC的面积不小于6 3,则 BE CF 的最小值为 91 14 【解答】解:由题意可得 11 sin4 6sin6 3 22 ABC SAB ACAA ,属于 3 sin 2 A,即 1 cos 2 A,E,F为中点, 在三角形ABE中, 22 2c
35、os1692 4 3cos2524cosBEABAEAB AEAAA , 同理在三角形ACF中可得 22 2cos4024cosCFACAFAC AFAA, 所 以 2 52 4 c o s1 5 1 4 02 4 c o s4 02 4 c o s B EA C FAA , 因 为 1 c o s 2 A, 所 以 BE CF 的 最 小 值 为 1591 1 1 14 4024 2 , 故答案为: 91 14 21 (2020东胜区校级一模)在ABC中,23ABAC,AD是BAC的角平分线,设 ADmAC,则实数m的取值范围是 6 (0, ) 5 【解答】 解: 设1AC , 则 3 2
36、AB , 由三角形内角平分线的性质可知, 3 5 BDBC, 2 5 CDBC, 在ABD中,由余弦定理可得: 222 333 ()( )2cos 5222 A BCmm, 在ACD中,由余弦定理可得: 22 2 ()12cos 52 A BCmm , 消去BC并化简得: 5 cos 26 Am , 090 2 A ,cos(0,1) 2 A 5 01 6 m , 解得 6 (0, ) 5 m 实数m的取值范围是: 6 (0, ) 5 故答案为: 6 (0, ) 5 22 (2020天河区二模)如图,在ABC中,点P在BC边上,60PAC,2PC , 4APAC,若ABC的面积是 3 3 2
37、,则sinBAP 21 14 【解答】解:设APx,则4ACx, 在APC中 , 由 余 弦 定 理 有 , 222 2cosPCAPACAP ACPAC, 即 22 4(4)(4)xxxx,解得2x , 2APAC,即APC为等边三角形,则60CAPCPAC , 又ABC的面积是 3 3 2 , 133 3 2 222 BC ,则3BC , 1PB, 在ABC中,由余弦定理有, 222 1 2cos60492237 2 ABACBCAC BC , 在ABP中,由余弦定理有, 222 74 15 7 cos 214272 ABAPBP BAP AB AP , 2 5 721 sin1() 14
38、14 BAP 故答案为: 21 14 23 (2020九江一模)如图,在平面四边形ABCD中,1AD ,5BD ,ABAC, 2ACAB,则CD的最小值为 5 【解答】解:设ADB, 在ABD中 , 由 正 弦 定 理 得 sinsin ABBD BAD , 即 5 s i ns i n AB BAD , 即 s i n5 s i nA BB A D, 由余弦定理得 2 62 5cosAB, 在ACD中,由余弦定理得 2222 2cos144sin258 5cos4 5sin2520sin()CDADACAD ACDACABABBAD , 当sin()1时,5 min CD 故答案为:5 24
39、 (2020汉中一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC 的面积为15,2bc, 1 cos 4 A ,则a的值为 2 6 【解答】解:由于 1 cos 4 A ,则 2 A , 利用 22 sincos1AA,解得 15 sin 4 A, 由于ABC的面积为15,所以 1 sin15 2 bcA ,解得8bc 由于2bc,所以 2 ()4bc,整理得 22 20bc, 所以 222 1 2cos202 824 4 abcbcA , 解得2 6a 故答案为:2 6 25 (2020广州一模)已知ABC的三个内角为A,B,C,且sin A,sinB,sinC成等 差数
40、列,则sin22cosBB的最小值为 3 1 2 ,最大值为 【解答】解:sin A,sinB,sinC成等差数列, 2sinsinsinBAC, 由正弦定理可得,2bac, 由余弦定理有, 222222 ()2331 cos11 22222 acbacbacbac B acacacac (当且仅当 abc时取等号) , 又B为三角形ABC内角,故(0, 3 B , 设( )sin22cos ,(0, 3 f BBB B ,则f(B) 2 2cos22sin4sin2sin2BBBB , 令f(B)0,解得0 6 B ,令f(B)0,解得 63 B , 故函数f(B)在(0,) 6 单调递增,
41、在(,) 6 3 单调递减, 23 ( )()sin2cos1 3332 min f Bf , 3 3 ( )()sin2cos 6362 max f Bf 故答案为: 33 3 1, 22 26 (2020邯郸模拟)锐角ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,1b , cos2sincoscBAC,则B 4 【解答】解:cos2sincoscBAC, 由余弦定理可得: 222222 2sin 22 acbabc cA acab , 又1b , 2222 11 2sin 22 acac A aa ,可得2sinaA, 由正弦定理可得2 sinsin ba BA ,由1b ,可得 2 si
42、n 2 B 由B为锐角可得 4 B 故答案为: 4 27 (2020郑州一模)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且 2cos( 2cos)AaC,2c ,D为AC上一点,:1:3AD DC , 则ABC面积最大时,BD 6 2 【解答】解:2cos( 2cos )AaC,2c , cos2coscAaaC, 由正弦定理可得sincossincos2sinCAACA, sin()sin2sinACBA, 2ba, 由 22 2 aa p , 22 2 aa pa , 22 2 aa pc , 22 2 aa pb , 由三角形的海伦面积公式可得 22222222 ()()()
43、2222 ABC aaaaaaaa Sp papbpc 22222222242 1111 (2)22(2) 4(4)4(4)16(4)2416 4444 aaaaaaaaaaaa 22 1 (12)128 4 a, 当 2 12a ,即2 3a 时,2 6b ,ABC的面积取得最大值, D为AC上一点,:1:3AD DC , 6 2 AD, 由余弦定理可得 2 222 6 4 24412 4 cos 222 626 22 2 BD bca A bc , 解得 6 2 BD 故答案为: 6 2 三解答题(共三解答题(共 13 小题)小题) 28 (2020天河区二模)设ABC的内角A,B,C的对
44、边分别为a,b,c,已知3c , 且 1 sin() cos 64 CC (1)求角C的大小; (2)若向量(1,sin)mA与(2,sin)nB共线,求ABC的周长 【解答】解: (1) 1 sin() cos 64 CC , 311 (sincos) cos 224 CCC, 3111 sin2cos2 4444 CC, sin(2)1 6 C , 22, 62 CkkZ , , 3 CkkZ , 又C为ABC的内角, 3 C ; (2)向量(1,sin)mA与(2,sin)nB共线, sin2sin0BA, 由正弦定理可知,2ba, 由(1)结合余弦定理可知, 222 2coscabab
45、C,即 222 1 944 2 aaa, 3,2 3ab, ABC的周长为33 3 29 (2020眉山模拟)如图,EFGH是矩形,ABC的顶点C在边FG上,点A,B分别 是EF,GH上的动点(EF的长度满足需求) 设BAC,ABC,ACB,且 满足sinsinsin (coscos ) (1)求; (2)若5FC ,3CG ,求 53 ACBC 的最大值 【解答】解: (1)设BCa,ACb,ABc,由sinsinsin (coscos ), 根据正弦定理和余弦定理得, 222222 () 22 bcaacb abc bcac , 化简整理得, 222 abc, 由勾股定理可得 2 ; (2
46、)设,0 2 CAF ,由(1)可知,BCG, 在Rt ACF中,sinACFC,由5FC ,故 5 sin AC , 在Rt BCG中,cosBCCG,由3CG ,故 3 cos BC , 53 sincos2sin() 4ACBC , 由 3 444 知,当 42 ,即 4 时, 53 ACBC 取得最大值2 30(2020泉州一模) 如图, 已知在平面四边形ABCD中,CAB,ABC,ACB, 且cos (sinsin)sin (2coscos ) (1)证明:2CACBAB; (2)若CACB,21DADC,求四边形ABCD的面积的取值范围 【解答】 (1)证明:由cos (sinsin)sin (2coscos ), 得cos sincos sin2sinsin cossin cos, 则sincoscossinsincoscossin2sin, sin()sin()2sin,则sinsin2sin, 由正弦定理可得:2CACBAB; (2)解:CACB,由(1)可得2CACBAB, CACBAB,ABC为等边三角形, 设ADC,则 11 sinsin 24 ACD SAD DC 222 15 2cos1coscos 44 ACADDCAD DC , 5 cos 4 AC,则 13 5 sin60(cos )