1、第二十三章 旋转 231 图形的旋转(1) 1了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念 2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题 重点：旋转及对应点的有关概念及其应用 难点：从生活中抽象出数学概念 (2 分钟) 请同学们完成下面各题 (1)将如图所示的四边形 ABCD 平移，使点 B 的对应点为点 D，作出平移后的图形 ,第(1)小题图) ,第(2)小题图) (2)如图，已知ABC 和直线 l，请你画出ABC 关于 l 的对称图形ABC. (3)圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其他的吗？ 答：(1)是；(2)是；(3)等腰梯形、长方形、正多边形等 点拨精讲： (1)平移的有关概
2、念及性质； (2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称 图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形 一、自学指导(10 分钟) 观察：让学生看转动的钟表和风车等 (1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转) (2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大 小不变，位置发生变化) 问题： (1)从 3 时到 5 时，时针转动了多少度？(60) (2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60) (3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转) 思考：在数学中如何定义旋转？ 归纳： 把一个图形
3、绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8 分钟) 1下列物体的运动不是旋转的是( C ) A坐在摩天轮里的小朋友 B正在走动的时针 C骑自行车的人 D正在转动的风车叶片 2下列现象中属于旋转的有_4_个 地下水位逐年下降；传送带的移动；方向盘的转动；水龙头的转动；钟摆的 运动；荡秋千运动 3如图，如果把钟表的指针看成四边形 AOBC， 它绕着 O 点旋转到四边形 DOEF 位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点_O
4、_，旋 转角是_AOD(或BOE)，经过旋转，点 A 转到_D_点，点 C 转到_F_点，点 B 转到 _E_点，线段 OA，OB，BC，AC 分别转到 OD，OE，EF，DF，A，B，C 分别与 D，E，F_是对应角 点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分 钟) 1如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方形 (1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心和旋转角； (3)经过旋转，点 A，B，C，D 分别移到什么位置？ 解：(1)可以看做是由基本图案正
5、方形 ABCD 通过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点 A、 点 B、点 C、点 D 移到的位置是点 E、点 F、点 G、点 H. 点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一 的 2如图，ABC 与ADE 都是等腰直角三角形，C 和AED 都是直角， 点 E 在 AB 上，如果ABC 经旋转后能与ADE 重合，那么旋转中心是点_A_；旋 转的度数是_45_ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5 分钟) 两个边长为 1 的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合， 不难知道重合部分的面积为1 4， 现把其中一
6、个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正 方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由 点拨精讲： 设任转一角度， 如图中的虚线部分， 要说明旋转后正方形重叠部分面积不变， 只要说明 SOEESODD，即说明OEEODD. 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1旋转及其旋转中心、旋转角的概念 2旋转的对应点及其它们的应用 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 231 图形的旋转(2) 1通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质 2了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形 重点：图形的旋转的基本性质及其应用 难点：利用旋转的性质解决相关问题
7、 一、自学指导(10 分钟) 动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点 O 作为旋转中心，把挖好的 硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(ABC)，然后围绕旋转中心 O 转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(ABC)，移去硬纸板 (分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明) 1线段 OA 与 OA，OB 与 OB，OC 与 OC有什么关系？ 2AOA，BOB，COC有什么关系？ 3ABC 与ABC的形状和大小有什么关系？ 点拨精讲： (1)OAOA，OBOB，OCOC，也就是对应点到旋转中心距离相等 (2)AOABOBCOC，我们把这三个相等的角，即
8、对应点与旋转中心所连线 段的夹角称为旋转角 (3)ABC 和ABC形状相同且大小相等，即全等 归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE1 4，ABF 是ADE 的旋转图形 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF 的长度是多少？ (4)如果连接 EF，那么AEF 是怎样的三角形？ 分析：由ABF 是ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF 的长 度，根据旋转
9、前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到ABF 与ADE 是完全重合的，所以AEF 是等腰直角三角形 解：(1)旋转中心是 A 点； (2)ABF 是由ADE 旋转而成的， B 是 D 的对应点， DAB90就是旋转角； (3)AD1，DE1 4， AE12（1 4） 2 17 4 . 对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点， AF 17 4 ； (4)EAF90(与旋转角相等)且 AFAE， EAF 是等腰直角三角形 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分 钟) 1如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，以
10、点 A 为中心，把ADE 顺时针 旋转 90， 画出旋转后的图形 点拨精讲：关键是确定ADE 三个顶点的对应点的位置 2已知线段 AB 和点 O，画出 AB 绕点 O 逆时针旋转 100后的图形 作法：1.连接 OA； 2在逆时针方向作AOC100，在 OC 上截取 OAOA； 3连接 OB； 4在逆时针方向作BOD100，在 OD 上截取 OBOB； 5连接 AB. 线段 AB就是线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转 100后的对应线段 点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 1如图，ADDCB
11、C，ADCDCB90，BPBQ，PBQ90. (1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？ (2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由 (3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点 解：(1)能； (2)由BCQ 绕 B 点旋转得到理由：连接 AB，易证四边形 ABCD 为正方形再证 ABPCBQ.可知QCB 可绕 B 点旋转与ABP 重合，从而得到正方形 ABCD. (3)90.点 C 对应点 A，点 Q 对应点 P. 2如图，ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确定顶点 B 对应点的位 置，以及旋转后的三角形 解：(1)连接 CD； (2)以 CB 为一边作BCE，使
12、得BCEACD； (3)在射线 CE 上截取 CBCB，则 B即为所求的 B 的对应点； (4)连接 DB，则DBC 就是ABC 绕 C 点旋转后的图形 点拨精讲：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是ACD，根据对应点 与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即BCBACD，又由对应点到旋转中心的距 离相等，即 CBCB，就可确定 B的位置 3如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM，使 L，M 在 AK 的同旁，连接 BK 和 DM，试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系 解：四边形 ABCD、四边形 AKLM 是正方形， ABAD，A
13、KAM，且BADKAM 为旋转角且为 90， ADM 是以 A 为旋转中心，以BAD 为旋转角，由ABK 旋转而成的 BKDM. 点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？ 2本节课要掌握： (1)旋转的基本性质 (2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 231 图形的旋转(3) 1理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果 2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案 重点
14、：用旋转的有关知识画图 难点：根据需要设计美丽图案 一、自学指导(15 分钟) 1学生独立完成作图题如图，ABC 绕 B 点旋转后，O 点是 A 点的对应点，作出 ABC 旋转后的三角形 点拨精讲：要作出ABC 旋转后的三角形，应找出三方面的关系：旋转中心 B； 旋转角ABO；C 点旋转后的对应点 C. 探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋 转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来因此，下面就选择不同的旋转中 心、不同的旋转角来进行研究 把一个图案以 O 点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不 同的效果图形 1旋转中心不变
15、，改变旋转角 2旋转角不变，改变旋转中心 我们可以设计成如下图美丽的图案 归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所 以可以经过旋转设计出美丽的图案 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(2 分钟) 如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过_3_次旋转，每 次旋转_120_得到的 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(6 分 钟) 1如图所示，图沿逆时针方向旋转 90可得到图_图按顺时针方向至少旋 转_180_度可得图. 2如图所示，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 P 是ABC 内的
16、一点，且 AP3，将ABP 绕点 A 旋转后与ACP重合，求 PP的长 解：依题意，AP 绕点 A 旋转 90时得 APAP3，则APP是等腰直角三角形 所以 PP PA2PA2 32323 2. 解题的关键是确定 AP 与 AP垂直且相等 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 如图所示， 点 C 是线段 AB 上任意一点， 分别以 AC， BC 为边在同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指 明旋转中心、旋转角及旋转方向 解：ACE 旋转后能与DCB 完全重合 旋转中心是点 C，
17、旋转角是 60，旋转方向是顺时针方向(也可看作DCB 绕点 C 逆 时针旋转 60得到ACE) 学生总结本堂课的收获与困惑(3 分钟) 1选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案 2 作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案， 要先求出图中的关键点线的端点、 角的顶点、圆的圆心等 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 232 中心对称 23. 2. 1 中心对称 1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念 2. 掌握中心对称的基本性质 重点：中心对称的性质及初步应用 难点：中心对称与旋转之间的关系 一、自学指导(10 分钟) 自学 1：中心对称，对称中心，对称点等
18、概念：把一个图形绕某一个点旋转 180，如 果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点 自学 2：中心对称的性质： (1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分； (2)关于中心对称的两个图形是全等图形 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8 分钟) 1如图，四边形 ABCD 绕 D 点旋转 180，请作出旋转后的图案，写出作法并回答 (1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明
19、理 由 (2)如果是中心对称，那么 A，B，C，D 关于中心对称的对称点是哪些点 解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是 D 点 (2)A，B，C，D 关于中心 D 的对称点是 A，B，C，D，这里的 D与 D 重合 2如图，已知 AD 是ABC 的中线，作出以点 D 为对称中心， 与ABD 成中心对称的三角形 分析：因为 D 是对称中心且 AD 是ABC 的中线，所以 C，B 为一对对应点，因此， 只要再作出 A 关于 D 的对应点即可 解：(1)延长 AD，且使 ADDA，因为 C 点关于 D 的中心对称点是 B(C)，A 点关于中 心 D 的对称点为 A.
20、(2)连接 AB，AC.则ABD 为所求作的三角形，如图所示 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5 分 钟) 如图，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形 ABCD，使四边形 ABCD和四 边形 ABCD 关于点 O 成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法) 点拨精讲：(1)画法总结；(2)性质归纳 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10 分钟) 1如图，等边ABC 内有一点 O，试说明：OAOBOC. 解：如图，把AOC 以 A 为旋转中心顺时针方向旋转 60后，到AOB 的位置， 则 AOCAOB. AOAO，OC
21、OB. 又OAO60， AOO 为等边三角形AOOO. 在BOO中，OOOBBO， 即 OAOBOC. 点拨精讲：要证明 OAOBOC，必然把 OA，OB，OC 转化在一个三角形内，应用 两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋转以 A 为旋转中心，旋转 60，便可把 OA，OB，OC 转化在一个三角形内 2教材第 66 页练习 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1中心对称及对称中心的概念； 2关于中心对称的两个图形的性质 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 232.2 中心对称图形 1. 掌握中心对称图形的定义 2. 准确判断某图形是否为中心对称图形 重
22、点：中心对称图形的判断 难点：两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定 一、自学指导(7 分钟) 自学：自学课本 P6667 的内容 探究：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形 能够与原来的图形重合那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(3 分钟) 将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转 180后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克 吗？议一议 解：J. 点拨精讲：这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(
23、8 分 钟) 1我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什 么？(出示课件图片) (1)平行四边形 (2)矩形 (3)菱形 (4)正方形 (5)正三角形 (6)线段 (7)角 (8)等腰梯形 解：常见的中心对称图形：线段(线段中点)、平行四边形(对角线交点)、矩形、菱形、 正方形、圆(圆心)等 2中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系 解：区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成 中心对称 联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中 心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称 二、跟踪练习：
24、学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(15 分钟) 1英文大写字母中有哪些中心对称图形？ 答：(H，I，N，O，S，X，Z) 2说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？ 学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结 3想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？ 点拨精讲： 边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形， 边数为偶数的 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 4课本第 67 页小练习 2. 点拨精讲：怎样判断非常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转 180，即 倒过来后，看图形是否与原来一样 5如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔
25、直的小路就将这块草坪分成面 积相等的两部分？ 点拨精讲：由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成 的两部分面积相等 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1中心对称图形的定义 2怎样准确判断某图形是否为中心对称图形 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 232.3 关于原点对称的点的坐标 掌握两个点关于原点对称时的坐标特征，能够运用特征解决相关问题 重点：关于原点对称的点的坐标的关系及初步应用 难点：关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题 一、自学指导(10 分钟) 自学：自学课本 P68 的内容 思考：关于原点作中心对称时，(1)它们的横坐
26、标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐 标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 点拨精讲：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等；(2)坐标 符号相反，即 P(x，y)关于原点 O 的对称点为 P(x，y) 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8 分钟) 1如图，在直角坐标系中，已知 A(3，1)，B(4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3， 2)，F(2，2)，作出 A，B，C，D，E，F 点关于原点 O 的中心对称点，写出它们的坐标， 并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 解：A，B，C，D，E，F 点关于原
27、点 O 对称点分别为 A(3，1)，B(4，0)，C(0， 3)，D(2，2)，E(3，2)，F(2，2) 这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数 2如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与ABC 关于原点对称的图形 解： ABC 的三个顶点 A(2， 2)， B(4， 1)， C(1， 1)关于原点的对称点分别为 A(2， 2)，B(4，1)，C(1，1)，依次连接 AB，BC，AC，就可得到与ABC 关于原点对称的ABC，如右图所示 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动 后，小组代表展示活动成果(8 分钟) 如图， 直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A， B
28、两点， 将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到直线 A1B1. (1)在图中画出直线 A1B1. (2)求出过线段 A1B1中点的反比例函数解析式 (3)是否存在另一条与直线 A1B1平行的直线 ykxb(我们发现互相平行的两条直线斜 率 k 值相等)，它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请 说明理由 点拨精讲： (1)只需画出 A， B 两点绕点 O 顺时针旋转 90得到的点 A1， B1， 连接 A1B1. (2)先求出 A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为 yk x代入求 k. (3)要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加以
29、说明这 一条直线是存在的，因为 A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过 A1B1的坐标作 A1，B1关 于原点的对称点 A2，B2，连接 A2B2的直线就是我们所求的直线 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(7 分钟) 1已知ABC，A(1，2)，B(1，3)，C(2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特 点，作出ABC 关于原点对称的图形 点拨精讲：先在直角坐标系中画出 A，B，C 三点并连接组成ABC，要作出ABC 关 于原点 O 的对称三角形，只需作出ABC 中的 A，B，C 三点关于原点的对称点，依次连 接，便可得到所求作的ABC. 2教材 P69的第
30、1，2，3 题 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 的对称点 P(x，y)，及利用这些特点解决一些实际问题 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 233 课题学习 图案设计 1认识和欣赏平移、轴对称、旋转在现实生活中的应用 2. 利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案 重点：设计图案 难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案 一、自学指导(10 分钟) 自学：自学教材 P72 内容，思考下列问题 (1)我们学过哪些图形变换？它们分别有何特征？ (2)下列图形之
31、间的变换分别属于什么变换？ 探究： (1)观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？ (2)观察三种图形变换的过程，回答问题： 平移、旋转和轴对称变换的基本特征； 归纳三种图形变换的共性 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8 分钟) 1分析图案的形成过程要注意些什么？ 分析图案的形成过程，应注意运用_平移、_轴对称_、_旋转_进行描述，只要合理 就行 2图案设计的关键是什么？ 选取简单的基本几何图形，然后通过不同的变换组合出美丽的图案 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(7 分 钟) 用平移、 旋转或轴对称变换分析下图
32、中各个图案， 分析它是将哪种基本图形经过了哪些 变换后得到的？ 点拨精讲：将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(8 分钟) 1某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相 同颜色的花集中种植， 且每种颜色的花所占的面积相同， 现征集设计方案， 你能帮忙设计吗？ 点拨精讲：将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换，设计出和谐、丰富、 美观的组合图案 2下面花边中的图案，由圆弧、圆构成仿照例图，请你为班级的板报设计一条花边， 要求： (1)只要画出组成花边的一个图案； (2)以所给的图形为基础，用圆弧、圆或线段画出； (3)图案应有美感 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)
