1、 2018-2019 学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 30 分，每小题分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ） A B C D 2500 米口径球面射电望远镜，简称 FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中 国天眼”2018 年 4 月 18 日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲 星自转周期为 0.00519
2、 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一将 0.00519 用科 学记数法表示应为（ ） A0.519102 B5.19103 C51.9104 D519106 3在ABC 中，AB3，AC5，第三边 BC 的取值范围是（ ） A10BC13 B4BC12 C3BC8 D2BC8 4如图，1+2+3+4+5 等于（ ） A360 B540 C720 D900 5对于一次函数 y（k3）x+2，y 随 x 的增大而增大，k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck3 Dk3 6下列各式中，正确的是（ ） A B C D 7如图，已知ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC 全等
3、的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 8 小东一家自驾车去某地旅行， 手机导航系统推荐了两条线路， 线路一全程 75km， 线路二全程 90km， 汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的 1.8 倍，线路二的用时预计比线路一用时少半 小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ） A + B C + D 9如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，CPE 的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 10如图，线段 AB6cm，动点 P 以 2cm/s 的速
4、度从 ABA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停 止运动；动点 Q 以 1cm/s 的速度从 BA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停止运动若动点 P， Q 同时出发，设点 Q 的运动时间是 t（单位：s）时，两个动点之间的距离为 s（单位：cm），则 能表示 s 与 t 的函数关系的是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 18 分，第分，第 1116 题，每小题题，每小题 2 分，第分，第 17 题题 3 分，第分，第 18 题题 3 分）分） 11若分式的值为零，则 x 的值为 12在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 13计
5、算：20+22 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD若 AC7，BC5，则 BDC 的周长是 15如图，边长为 acm 的正方形，将它的边长增加 bcm，根据图形写一个等式 16如图，在ABC 中，CD 是它的角平分线，DEAC 于点 E若 BC6cm，DE2cm，则BCD 的面积为 cm2 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，3），且 OA5，在 x 轴上确定一点 P， 使AOP 为等腰三角形 （1）写出一个符合题意的点 P 的坐标 ； （2）请在图中画出所有符合条件的AOP 18（1）如图，MAB30，AB2cm点 C
6、在射线 AM 上，利用图 1，画图说明命题“有两边 和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题你画图时，选取的 BC 的长约为 cm（精确到 0.1cm） （2）MAB 为锐角，ABa，点 C 在射线 AM 上，点 B 到射线 AM 的距离为 d，BCx，若ABC 的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 30 分，每小题分，每小题 6 分）分） 19（1）分解因式 x（xa）+y（ax） （2）分解因式 x3y10 x2y+25xy 20计算： + 21解方程： +1 22如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，且 ABCD，若12，ECF
7、B求证：EF 23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y3x 与直线 l2：ykx+b 交于点 A（a，3），点 B（2，4） 在直线 l2上 （1）求 a 的值； （2）求直线 l2的解析式； （3）直接写出关于 x 的不等式 3xkx+b 的解集 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 12 分，第分，第 24 题题 7 分，第分，第 25 题题 5 分）分） 24在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A（2，0），D（2，4）， 顶点 B 在 x 轴的正半轴上 （1）写出点 B，C 的坐标； （2）直线 y5x+5 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交
8、于点 F求EFC 的面积 25阅读下列材料 下面是小明同学“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程 已知：线段 AB（如图 1） 求作：ABC，使CAB90，ABC60 作法：如图 2， （1）分别以点 A，点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 BD （2）连接 BD 并延长，使得 CDBD； （3）连接 AC ABC 就是所求的直角三角形 证明：连接 AD 由作图可知，ADBDAB，CDBD ABD 是等边三角形（等边三角形定义） 1B60（等边三角形每个内角都等于 60） CDAD 2C（等边对等角） 在ABC 中，1+2+B+C180（三角形的内角和等于 18
9、0） 2C30 1+290（三角形的内角和等于 180），即CAB90 ABC 就是所求作的直角三角形 请你参考小明同学解决问题的方式，利用图 3 再设计一种“作一个角等于 60的直角三角形”的尺 规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据 五、解答题（本题五、解答题（本题 8 分）分） 26在ABC 中，ABAC，在ABC 的外部作等边三角形ACD，E 为 AC 的中点，连接 DE 并延 长交 BC 于点 F，连接 BD （1）如图 1，若BAC100，求BDF 的度数； （2）如图 2，ACB 的平分线交 AB 于点 M，交 EF 于点 N，连接 BN 补全图 2； 若 BN
10、DN，求证：MBMN 2018-2019 学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 30 分，每小题分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念解答 【解答】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：A 【点评】本题考查的是轴对称图形的
11、概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可 重合 2500 米口径球面射电望远镜，简称 FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中 国天眼”2018 年 4 月 18 日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲 星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一将 0.00519 用科 学记数法表示应为（ ） A0.519102 B5.19103 C51.9104 D519106 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学 记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原
12、数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数 所决定 【解答】解：0.005195.19103 故选：B 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3在ABC 中，AB3，AC5，第三边 BC 的取值范围是（ ） A10BC13 B4BC12 C3BC8 D2BC8 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的 范围 【解答】解：第三边 BC 的取值范围是 53BC5+3，即 2BC8 故选：D 【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边
13、，则第三边的范围是：大于已知的两边的差， 而小于两边的和 4如图，1+2+3+4+5 等于（ ） A360 B540 C720 D900 【分析】多边形内角和定理：（n2）180（n3）且 n 为整数），依此即可求解 【解答】解：（n2）180 （52）180 3180 540 故1+2+3+4+5 等于 540 故选：B 【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n2）180 （n3）且 n 为整数） 5对于一次函数 y（k3）x+2，y 随 x 的增大而增大，k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck3 Dk3 【分析】一次函数 ykx+b，当 k0 时，y 随
14、x 的增大而增大据此列式解答即可 【解答】解：根据一次函数的性质，对于 y（k3）x+2， 当 k30 时，即 k3 时，y 随 x 的增大而增大 故选：D 【点评】本题考查了一次函数的性质一次函数 ykx+b，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k 0 时，y 随 x 的增大而减小 6下列各式中，正确的是（ ） A B C D 【分析】根据分式的基本性质解答即可 【解答】解：A、，故错误； B、 +，故错误； C、 ，故正确； D、 ，故错误； 故选：C 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键 7如图，已知ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC 全
15、等的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可 【解答】解：AABC 和甲所示三角形根据 SA 无法判定它们全等，故本选项错误； BABC 和乙所示三角形根据 SAS 可判定它们全等，故本选项正确； CABC 和丙所示三角形根据 SA 无法判定它们全等，故本选项错误； DABC 和丁所示三角形根据 AA 无法判定它们全等，故本选项错误； 故选：B 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、 AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参 与，若有两边一角对
16、应相等时，角必须是两边的夹角 8 小东一家自驾车去某地旅行， 手机导航系统推荐了两条线路， 线路一全程 75km， 线路二全程 90km， 汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的 1.8 倍，线路二的用时预计比线路一用时少半 小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ） A + B C + D 【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为 1.8xkm/h，根 据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可 【解答】 解： 设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h， 则在线路二上行驶的平均速度为 1.8
17、xkm/h， 由题意得：+， 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列出方程 9如图，ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，CPE 的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】连接 BE，则 BE 的长度即为 PE 与 PC 和的最小值再利用等边三角形的性质可得PBC PCB30，即可解决问题； 【解答】解：如连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小， ABC 是等边三角形，ADBC， PCPB，
18、PE+PCPB+PEBE， 即 BE 就是 PE+PC 的最小值， ABC 是等边三角形， BCE60， BABC，AEEC， BEAC， BEC90， EBC30， PBPC， PCBPBC30， CPEPBC+PCB60， 故选：C 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此 题的关键 10如图，线段 AB6cm，动点 P 以 2cm/s 的速度从 ABA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停 止运动；动点 Q 以 1cm/s 的速度从 BA 在线段 AB 上运动，到达点 A 后，停止运动若动点 P， Q 同时出发，设点 Q 的运动时间是 t
19、（单位：s）时，两个动点之间的距离为 s（单位：cm），则 能表示 s 与 t 的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】根据题意可以得到点 P 运动的慢，点 Q 运动的快，可以算出动点 P 和 Q 相遇时用的时间和 点 Q 到达终点时的时间，从而可以解答本题 【解答】解：设点 Q 的运动时间是 t（单位：s）时，两个动点之间的距离为 s（单位：cm）， 62t+t 解得，t2 此时，点 P 离点 B 的距离为：6222cm，点 Q 离点 A 的距离为：624cm， 相遇后，点 P 到达 B 点用的时间为：221s，此时两个动点之间的距离为 3cm， 由上可得，刚开始 P 和 Q 两点间的
20、距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为 0，此时用的 时间为 2s； 相遇后，在第 3s 时点 P 到达 B 点，从相遇到点 P 到达 B 点它们的距离在变大，1s 后 P 点从 B 点返 回，点 P 继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到 A 点 故选：D 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 18 分分，第，第 1116 题，每小题题，每小题 2 分，第分，第 17 题题 3 分，第分，第 18 题题 3 分）分） 11若分式的值为零，则 x 的值为 1 【分析】分式的值为 0 的条件是分子为
21、 0，分母不能为 0，据此可以解答本题 【解答】解：， 则 x10，x+10， 解得 x1 故若分式的值为零，则 x 的值为 1 【点评】本题考查分式的值为 0 的条件，注意分式为 0，分母不能为 0 这一条件 12在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 （1，2） 【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案 【解答】解：点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（1，2）， 故答案为：（1，2） 【点评】本题考查了关于 x 轴对称的点的坐标，利用关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为 相反数是解题关键 13计算：20+22 【分
22、析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答 【解答】解：原式1+ 故答案为 【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行 计算，任何非 0 数的 0 次幂等于 1，比较简单 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD若 AC7，BC5，则 BDC 的周长是 12 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DADB，根据三角形的周长公式计算即可 【解答】解：NM 是 AB 的垂直平分线， DADB， BDC 的周长BD+CD+BCAD+CD+BCAC+BC12， 故答案为：12 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性
23、质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等是解题的关键 15如图，边长为 acm 的正方形，将它的边长增加 bcm，根据图形写一个等式 a2+2ab+b2（a+b） 2 【分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式 【解答】解：由题可得，大正方形的面积a2+2ab+b2；大正方形的面积（a+b）2； a2+2ab+b2（a+b）2， 故答案为：a2+2ab+b2（a+b）2 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推 导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释 16如图，在ABC 中，CD 是它的角平分线，
24、DEAC 于点 E若 BC6cm，DE2cm，则BCD 的面积为 6 cm2 【分析】作 DFBC 于 F，根据角平分线的性质求出 DF，根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解：作 DFBC 于 F， CD 是它的角平分线，DEAC，DFBC， DFDE2， BCD 的面积BCDF6（cm2）， 故答案为：6 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关 键 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，3），且 OA5，在 x 轴上确定一点 P， 使AOP 为等腰三角形 （1）写出一个符合题意的点 P 的坐标 答案不唯一，如：（5，
25、0） ； （2）请在图中画出所有符合条件的AOP 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解； （2）可分三种情况：AOAP；AOPO；APPO；解答出即可 【解答】解：（1）一个符合题意的点 P 的坐标答案不唯一，如：（5，0）； （2）如图所示： 故答案为：答案不唯一，如：（5，0） 【点评】本题主要考查了作图复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全 面，不要遗漏 18（1）如图，MAB30，AB2cm点 C 在射线 AM 上，利用图 1，画图说明命题“有两边 和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题你画图时，选取的 BC 的长约为 答 案不唯一如：BC1.2c
26、m cm（精确到 0.1cm） （2）MAB 为锐角，ABa，点 C 在射线 AM 上，点 B 到射线 AM 的距离为 d，BCx，若ABC 的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 xd 或 xa 【分析】（1）答案不唯一，可以取 BC1.2cm（1cmBC2cm）； （2）当 xd 或 xa 时，三角形是唯一确定的； 【解答】解：（1）取 BC1.2cm， 如图在ABC 和ABC中满足 SSA，两个三角形不全等 故答案为：答案不唯一如：BC1.2cm （2）若ABC 的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 xd 或 xa， 故答案为 xd 或 xa 【点评】本题考查全等三角形
27、的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 30 分，每小题分，每小题 6 分）分） 19（1）分解因式 x（xa）+y（ax） （2）分解因式 x3y10 x2y+25xy 【分析】（1）直接提取公因式（xa）分解因式即可 （2）先提取公因式 xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解 【解答】（1）解：x（xa）+y（ax） x（ xa ）y（ xa ） （ xa ）（ xy ）； （2）解：x3y10 x2y+25xy xy（ x210 x+25） xy（ x5）2 【点评】考查了因式分解提公因式法当各项系数都
28、是整数时，公因式的系数应取各项系数的最 大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项 式的次数取最低的 20计算： + 【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值 【解答】解：原式+ 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21解方程： +1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方 程的解 【解答】解：方程两边乘 （x3）（x+3）， 得 x（x+3）+6 （x3）x29， 解得：x1， 检验：当 x1 时，（x3）（x+3）0， 所以，原分式方程的解为 x1 【点评
29、】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 22如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，且 ABCD，若12，ECFB求证：EF 【分析】求出DBFACE，ACDB，根据 SAS 推出ACEDBF，根据全等三角形的性质得 出即可 【解答】证明：1+DBF180，2+ACE180 又12， DBFACE， ABCD， AB+BCCD+BC， 即 ACDB， 在ACE 和DBF 中， ACEDBF（SAS）， EF 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出ACEDBF 是解此题的关键 23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y3x 与直线 l2：ykx+b 交于点
30、 A（a，3），点 B（2，4） 在直线 l2上 （1）求 a 的值； （2）求直线 l2的解析式； （3）直接写出关于 x 的不等式 3xkx+b 的解集 【分析】（1）把 A（a，3）代入 y3x 可求出 a 的值； （2）利用待定系数法求直线 l2的解析式； （3）写出直线 l2：ykx+b 在直线 l1：y3x 上方所对应的自变量的范围即可 【解答】解：（1）直线 l1：y3x 与直线 l2：ykx+b 交于点 A（a，3），所以 3a3 解得 a1 （2）由（1）得点 A（1，3）， 直线 l2：ykx+b 过点 A（1，3），点 B （ 2，4 ）， 所以，解得 所以直线 l2 的
31、解析式为 yx+2.4 分 （3）不等式 3xkx+b 的解集为 x1 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 12 分，第分，第 24 题题 7 分，第分，第 25 题题 5 分）分） 24在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A（2，0），D（2，4）， 顶点 B 在 x 轴的正半轴上 （1）写出点 B，C 的坐标； （
32、2）直线 y5x+5 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F求EFC 的面积 【分析】（1）根据正方形的性质以及 A、D、B 的位置即可求得； （2）求得 E、F 点的坐标，进而求得 OB2，BC4，OF5，OE1，EB3，根据三角形的面积 公式和梯形的面积公式求得即可 【解答】解：（1）如图，正方形 ABCD 的两个顶点的坐标分别为 A（2，0），D（2，4）， 顶点 B 在 x 轴的正半轴上， B（2，0），C（2，4）； （2）直线 y5x+5 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F， E（1，0），F（0，5）， B（2，0），C（2，4）， OB2，BC4，OF5，OE1，E
33、B3， S 梯形OBCF （OF+BC）OB（5+4）29， SOEFOEOF255， SEBCEBBC346， SEFCS 梯形OBCF+SOEFSEBC9+568 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的 坐标解题的关键 25阅读下列材料 下面是小明同学“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程 已知：线段 AB（如图 1） 求作：ABC，使CAB90，ABC60 作法：如图 2， （1）分别以点 A，点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 BD （2）连接 BD 并延长，使得 CDBD； （3）连接 AC ABC 就是
34、所求的直角三角形 证明：连接 AD 由作图可知，ADBDAB，CDBD ABD 是等边三角形（等边三角形定义） 1B60（等边三角形每个内角都等于 60） CDAD 2C（等边对等角） 在ABC 中，1+2+B+C180（三角形的内角和等于 180） 2C30 1+290（三角形的内角和等于 180），即CAB90 ABC 就是所求作的直角三角形 请你参考小明同学解决问题的方式，利用图 3 再设计一种“作一个角等于 60的直角三角形”的尺 规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据 【分析】根据题意设计“作一个角等于 60的直角三角形”的尺规作图过程，连接 DC得到DBC 是等边
35、三角形，根据等边三角形的性质得到B60，根据等腰三角形的性质证明 【解答】解：作法：（1）延长 BA 至 D，使 ADAB； （2）分别以点 B，点 D 为圆心，BD 长为半径画弧，两弧交于点 C； （3）连接 AC，BC 则ABC 就是所求的直角三角形， 证明：连接 DC 由作图可知，BCBDDC， DBC 是等边三角形， B60， CDCB，ADAB， ACBD， ABC 就是所求作的直角三角形 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理， 等腰三角形的三线合一是解题的关键 五、解答题（本题五、解答题（本题 8 分）分） 26在ABC 中，ABA
36、C，在ABC 的外部作等边三角形ACD，E 为 AC 的中点，连接 DE 并延 长交 BC 于点 F，连接 BD （1）如图 1，若BAC100，求BDF 的度数； （2）如图 2，ACB 的平分线交 AB 于点 M，交 EF 于点 N，连接 BN 补全图 2； 若 BNDN，求证：MBMN 【分析】（1）分别求出ADF，ADB，根据BDFADFADB 计算即可； （2）根据要求画出图形即可； 设ACMBCM， 由 ABAC， 推出ABCACB2， 可得NACNCA， DAN 60+，由ABNADN（SSS），推出ABNADN30，BANDAN60+， BAC60+2，在ABC 中，根据BAC
37、+ACB+ABC180，构建方程求出 ，再证明 MNBMBN 即可解决问题； 【解答】（1）解：如图 1 中， 在等边三角形ACD 中， CADADC60，ADAC E 为 AC 的中点， ADEADC30， ABAC， ADAB， BADBAC+CAD160， ADBABD10， BDFADFADB20 （2）补全图形，如图所示 证明：连接 AN CM 平分ACB， 设ACMBCM， ABAC， ABCACB2 在等边三角形ACD 中， E 为 AC 的中点， DNAC， NANC， NACNCA， DAN60+， 在ABN 和ADN 中， ABNADN（SSS）， ABNADN30，BANDAN60+， BAC60+2， 在ABC 中，BAC+ACB+ABC180， 60+2+2+2 180， 20， NBCABCABN10， MNBNBC+NCB30， MNBMBN， MBMN 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
