1、微专题微专题 辅助圆问题辅助圆问题 (2014.24) 模型一模型一 定点定长作圆定点定长作圆 平面内平面内，点点A为定点为定点，点点B为动点为动点，且且AB长度固定长度固定，则点则点B的轨迹的轨迹 在以点在以点A为圆心为圆心，AB长为半径的圆上长为半径的圆上(如图如图). 依据的是圆的定义：依据的是圆的定义： 圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合 图 模型分析模型分析 推广：如图推广：如图，点点E为定点为定点，点点F为线段为线段BD上的动点上的动点(不含点不含点B)，将将BEF沿沿EF折叠折叠 得到得到BEF，则点则点B的运动轨迹为以点的运动轨迹为以点
2、E为圆心为圆心，以线段以线段BE为半径的一段圆弧为半径的一段圆弧 图 针对训练针对训练 1. 如图如图，已知已知OC3，点点A、B分别是平面内的动点分别是平面内的动点，且且OA2，BC4，请在平请在平 面内画出点面内画出点A、B的的运动轨迹运动轨迹 解：如解图，点解：如解图，点A的运动轨迹为的运动轨迹为 O，点，点B的运动轨迹为的运动轨迹为 C. 第1题图 第1题解图 2. 如图如图，在在 ABCD中中，点点E为为AD边上一定点边上一定点，点点F为边为边AB上的动点上的动点(不含点不含点A)，将将 AEF沿沿EF折叠得到折叠得到AEF，请在图中画出点请在图中画出点A在在 ABCD内内(含边上的
3、点含边上的点)的运动的运动 轨迹轨迹 解：如解图，点解：如解图，点A的运动轨迹为以点的运动轨迹为以点E为圆心，为圆心，AE长为半径的长为半径的 E上的劣弧上的劣弧 . 第2题图 第2题解图 MN 模型二模型二 直角对直径直角对直径 模型分析模型分析 1. 半圆半圆(直径直径)所对的圆周角是所对的圆周角是90. 如图如图， ABC中中，C90，AB为为 O的直径；的直径； 2. 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式定弦对定角的特殊形式)如图如图， ABC中中，C 90，点点C为动点为动点，则点则点C的轨迹是以的轨迹是以AB为直径的为直径的 O(不包含不包含A、B
4、两点两点) 3. 如图如图，已知线段已知线段AB.请你在图中画出使请你在图中画出使APB90的所有点的所有点P. 针对训练针对训练 解：如解图，解：如解图， O(不含不含A、B两点两点)即为所求即为所求P点的轨迹点的轨迹 第3题图 第3题解图 模型三模型三 定弦对定角定弦对定角( (非非90) ) 模型分析模型分析 固定的线段只要对应固定的角度固定的线段只要对应固定的角度(可以不是可以不是90)，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分 如图如图，在，在 O中中，若弦若弦AB长度固定长度固定，则弦则弦AB所对的圆周角都相等；所对的圆周角都相等；(注意：弦注意：弦AB的劣
5、的劣 弧弧 上也有圆周角上也有圆周角，需要根据题目灵活运用需要根据题目灵活运用) 图 AB 如图如图，若有一固定线段若有一固定线段AB及线段及线段AB所对的所对的C大小固定大小固定，根据圆的知识可知点根据圆的知识可知点C 不唯一当不唯一当C90时时，点点C在优弧上运动；当在优弧上运动；当C90时时，点点C在半圆上运动；在半圆上运动； 当当C90时时，点点C在劣弧上运动在劣弧上运动 图 针对训练针对训练 4. 如图如图，已知四边形已知四边形ABCD. (1)如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，请你在矩形请你在矩形ABCD的边上画出使的边上画出使APB30的所有点的所有点P； (2)如图如图，在矩
6、形在矩形ABCD中中，请你在矩形请你在矩形ABCD的边上画出使的边上画出使BPC60的所有点的所有点P； (3)如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，请你在矩形请你在矩形ABCD的边上画出使的边上画出使BPC45的所有点的所有点P. 解：解：(1)如解图所示，如解图所示，点点P1、P2即为所求；即为所求； (2)如解图如解图所示，点所示，点P1、P2、P3即为所求；即为所求； (3)如解图如解图所示，点所示，点P1、P2即为所求即为所求 第4题解图 模型四模型四 四点共圆四点共圆 模型分析模型分析 1. 如图如图、，Rt ABC和和Rt ABD共斜边共斜边，取取AB的中点的中点O，根据直角三角形
7、斜边根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半上的中线等于斜边的一半，可得：可得：OCODOAOB，A、B、C、D四点共四点共 圆即共斜边的两个直角三角形圆即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共边同侧或异侧，都可得到四点共 圆圆得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化完成角度等量关系的转化， 这是证明角度相等重要的途径之一这是证明角度相等重要的途径之一 2. 圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形因此遇到四边形ABCD中的动点问题中的动点问题，若满足其中一组对若满足
8、其中一组对 角角度之和等于角角度之和等于180，可考虑作它的外接圆解题如图可考虑作它的外接圆解题如图，在四边形在四边形ABCD中中，满满 足足ABCADC180，可知四边形可知四边形ABCD有外接圆有外接圆 O，其圆心其圆心O为任意一组邻为任意一组邻 边的垂直平分线的交点边的垂直平分线的交点(点点O为为AB和和BC垂直平分线的交点垂直平分线的交点) 图 针对训练针对训练 5. 如图如图，在在ABC中中，ABC90，AB3，BC4，O为为AC的中点的中点，过点过点O作作 OEOF，OE、OF分别交分别交AB、BC于点于点E、F，则则EF的最小值为的最小值为_ 5 2 第5题图 模型五模型五 点圆
9、最值点圆最值 模型分析模型分析 平面内一定点平面内一定点D和和 O上动点上动点E的连线中的连线中，当连线过圆心当连线过圆心O时时，线段线段DE有最大值和有最大值和 最小值具体分以下三种情况讨论最小值具体分以下三种情况讨论(规定：规定：ODd， O半径为半径为r)： 1. 当当D点在点在 O外时外时，d r，如图如图、：当：当D、E、O三点共线时三点共线时，线段线段DE出现出现 最值最值，DE的最大值为的最大值为dr，DE的最小值为的最小值为dr； 2. 当当D点在点在 O上时上时，dr，如图如图、：当：当D、E、O三点共线时三点共线时，线段线段DE出现最出现最 值值，DE的最大值为的最大值为d
10、r2r(即为即为 O的直径的直径)，DE的最小值为的最小值为dr0(点点D、E重合重合)； 3. 当当D点在点在 O内时内时，dr，如图如图、：当：当D、E、O三点共线时三点共线时，线段线段DE出现出现 最值最值，DE的最大值为的最大值为dr，DE的最小值为的最小值为rd. 针对训练针对训练 6. 已知点已知点O及其外一点及其外一点C，OC5，点点A、B分别是平面内的动点分别是平面内的动点，且且OA4， BC3，在平面内画出点在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示的运动轨迹如图所示，则则OB长的最大值为长的最大值为_， OB长的最小值为长的最小值为_，AC长的最大值为长的最大值为_，AC长的最
11、小值为长的最小值为_， AB长的最大值为长的最大值为_，AB长的最小值为长的最小值为_ 第6题图 8 2 9 1 12 0 模型六模型六 线圆最值线圆最值 模型分析模型分析 1如图如图，AB为为 O的一条定弦的一条定弦，点点C为圆上一动点为圆上一动点 (1)如图如图，若点若点C在优弧在优弧 上上，当当CHAB且且CH过圆心过圆心O时时，线段线段CH即为点即为点C到弦到弦 AB的最大距离的最大距离，此时此时S ABC的面积最大的面积最大. (2)如图如图，若点若点C在劣弧在劣弧 上上，当当CHAB且且CH的延长线过圆心的延长线过圆心O时时，线段线段CH即即 为点为点C到弦到弦AB的最大距离的最大
12、距离，此时此时S ABC的面积最大的面积最大 AB AB 2. 如图如图， O与直线与直线l相离相离，点点P是是 O上的一个动点上的一个动点，设圆心设圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d， O的半径为的半径为r，则点则点P到直线到直线l的最小距离是的最小距离是_(如图如图)，点点P到直线到直线l的最大距的最大距 离是离是_(如图如图) dr dr 针对训练针对训练 7. 如图如图，在在Rt ABC中中，C90，AC6，BC8，点点F在在边边AC上上，并且并且CF 2，点点E为边为边BC上的动点上的动点，将将CEF沿直线沿直线EF翻折翻折，点点C落在点落在点P处处，则点则点P到到 边边AB距离的最小值是距离的最小值是( ) A. 1 B. C. D. 5 6 5 2 第7题图 B 第8题图 8. 如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，AB3，BC4，O为矩形为矩形ABCD的中心的中心，以以D为圆心为圆心， 1为半径作为半径作 D，P为为 D上的一个动点上的一个动点，连接连接AP、OP、AO，则则AOP面积的最大面积的最大 值为值为_ 17 4 点击链接至综合提升点击链接至综合提升 W
