1、 常州市二常州市二二二年初中学业水平考试年初中学业水平考试 数学试题数学试题 注意事项：注意事项： 1本试卷共本试卷共 6 页全卷满分页全卷满分 120 分考试时间为分考试时间为 120 分钟考生应将答案全部填写在答题卡分钟考生应将答案全部填写在答题卡 相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试时不允相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回考试时不允 许使用计算器许使用计算器 2答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息 3作图
2、必须用作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分在每小题所给出的四个选项中，只有分在每小题所给出的四个选项中，只有 一项是正确的）一项是正确的） 1. 2 的相反数是（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相反数的概念解答即可 【详解】2 的相反数是-2， 故选 D 2.计算 62 mm结果是（ ） A. 3 m B. 4 m C. 8 m D. 12 m 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用同底数幂
3、除法的运算法则解答即可 【详解】解： 626 24 mmmm 故选：B 【点睛】本题考查了同底数幂除法，掌握公式 mmnm mmm 是解答本题的关键 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】 通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱 【详解】解：由图可知： 该几何体是四棱柱 故选：C 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视 图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状熟记一些简单的几何 体的
4、三视图对复杂几何体的想象会有帮助 4.8 的立方根是（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据立方根的定义，由 23=8，可得 8 的立方根是 2 故选：D 【点睛】本题考查立方根 5.如果x y ，那么下列不等式正确的是（ ） A. 22xy B. 22xy C. 11xy D. 11xy 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【详解】解：A、由 xy 可得：22xy，故选项成立； B、由 xy 可得：2 2xy ，故选项不成立； C、由 xy 可得：1 1xy ，故选项不成立； D、由 xy 可
5、得：11xy ，故选项不成立； 故选 A. 【点睛】 本题考查了不等式的性质： （1） 不等式两边加（或减） 同一个数 （或式子） ，不等号的方向不变 （2） 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 6.如图，直线 a、b 被直线 c 所截，/a b，1 140 ，则2的度数是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据邻补角相等求得3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答 【详解】解：1+3=180 ，1 140 3=180 -1=180 -140 =40 /a b
6、2=3=40 故答案为 B 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键 7.如图，AB是O的弦，点 C 是优弧AB上的动点（C 不与 A、B 重合） ，CH AB，垂足为 H，点 M 是BC的中点若O的半径是 3，则MH长的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知 MH= 1 2 BC，当 BC 为直径时长度最大， 即可求解 【详解】解：CHAB BHC=90 在 Rt BHC 中，点 M 是BC的中点 MH= 1 2 BC BC 为O的弦 当 BC 为
7、直径时，MH 最大 O的半径是 3 MH 最大为 3 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键 8.如图， 点 D 是OABC内一点，CD与 x 轴平行，BD与 y 轴平行，2,135 , 2 ABD BDADBS 若 反比例函数0 k yx x 的图像经过 A、D 两点，则 k 的值是（ ） A. 2 2 B. 4 C. 3 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 作AEBD交 BD 的延长线于点 E，作AFx轴于点 F，计算出 AE 长度，证明BCDAOF，得 出 AF 长度，设出点 A 的坐标，表示出点 D 的坐标，使用 DDAA x yx y，可计算
8、出k值 【详解】作AEBD交 BD 的延长线于点 E，作AFx轴于点 F 135ADB 45ADE ADE为等腰直角三角形 2,2BDS ABD 1 2 2 ABD SBD AE ，即 2 2AE DE=AE=2 2 BC=AO，且/BC AO，/CD OF BCDAOF BCDAOF 2AFBD 3 2 D y 设点 A( , 2)m， (2 2,3 2)D m 2(2 2) 3 2mm 解得： 3 2m 3 226k 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点和点表示出的计算是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，
9、共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 9.计算：|2|(1)0_ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据绝对值和 0 次幂的性质求解即可 【详解】原式=21=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了绝对值和 0 次幂的性质 10.若代数式 1 1x 有意义，则实数 x 的取值范围是_ 【答案】x1 【解析】 【分析】 分式有意义时，分母 x-10，据此求得 x 的取值范围 【详解】解：依题意得：x-10， 解得 x1， 故答案为：x1 【点睛】本题考查了分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零
10、 （2）分式无意义的条件 是分母等于零 11.地球半径大约是6400km，将6400用科学记数法表示为_ 【答案】 3 6.4 10 【解析】 【分析】 对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10na 的形式，其中110a，n 是比原整数位数少 1 的 数. 【详解】6400= 3 6.4 10 . 故答案为： 3 6.4 10 . 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12.分解因式： 3 xx=_ 【答案】x（x+1） （x1） 【解析】 解：原式 13.若一次函数
11、 2ykx 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围是_ 【答案】k0 【解析】 分析】 直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可 【详解】解：一次函数2ykx的函数值 y 随自变量 x 增大而增大 k0 故答案为 k0 【点睛】本题主要考查了一次函数增减性与系数的关系，当一次函数的一次项系数大于零时，一次函数的 函数值随着自变量 x 的增大而增大 14.若关于 x 的方程 2 20 xax有一个根是 1，则a_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的解的定义，把 x=1 代入方程得到关于 a 的一次方程，然后解此一次方程即可 【详解】解：把 x=1 代入方
12、程 2 20 xax 得 1+a-2=0， 解得 a=1 故答案是：1 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解 15.如图，在ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点 E、F若 AFC是等边三角形，则 B_ 【答案】30 【解析】 【分析】 根据垂直平分线的性质得到B=BCF，再利用等边三角形的性质得到AFC=60 ，从而可得B. 【详解】解：EF 垂直平分 BC， BF=CF， B=BCF， ACF 为等边三角形， AFC=60 ， B=BCF=30 . 故答案为：30. 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外
13、角的性质，解题的关键是利用垂直平分线 的性质得到B=BCF. 16.数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补 短在菱形ABCD中，2,120ABDAB如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在 x 轴正 半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标是_ 【答案】(2， 3) 【解析】 【分析】 根据菱形的性质可知 AD=AB=CD=2，OAD=60 ，由三角函数即可求出线段 OD 的长度，即可得到答案 【详解】解：四边形ABCD为菱形，2AB AD=AB=CD=2，AB/CD 120DAB 60DAO 在 Rt DOA 中， 3 sin6
14、0 = 2 OD AD OD= 3 点 C 的坐标是(2，3) 故答案为：(2，3) 【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数 值是解题关键 17.如图，点 C 在线段AB上，且2ACBC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、 BCFG，连接EC、EG，则tan CEG_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 设 BC=a，则 AC=2a，然后利用正方形的性质求得 CE、CG 的长、GCD=ECD=45 ，进而说明 ECG 为直 角三角形，最后运用正切的定义即可解答 【详解】解：设 BC=a，则 AC=2a 正方形ACDE
15、EC= 22 222 2aaa ，ECD= 1 45 2 ACD 同理：CG= 2a,GCD= 1 45 2 BCD 21 tan 22 2 CGa CEG CEa 故答案为 1 2 【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明 ECG 是直角三角形是解答本题 的关键 18.如图，在ABC中，45 ,6 2BAB ，D、E 分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和 直线BC上分别取点 F、G，连接BF、DG若3BFDG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的 长为_ 【答案】4 或 2 【解析】 【分析】 分当点 F 在点 D 右侧时，当点 F 在点 D 左侧时，两种
16、情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及 平行四边形的性质求解即可. 【详解】解：如图，当点 F 在点 D 右侧时， 过点 F 作 FMDG，交直线 BC 于点 M，过点 B 作 BNDE，交直线 DE 于点 N， D，E 分别是 AB 和 AC 中点，AB=6 2， DEBC，BD=AD=3 2，FBM=BFD， 四边形 DGMF 为平行四边形， 则 DG=FM， DGBF，BF=3DG， BFM=90 ， tanFBM= 1 3 FM BF =tanBFD， 1 3 BN FN ， ABC=45 =BDN， BDN 为等腰直角三角形， BN=DN=3 2 BD ， FN=3BN=9，
17、DF=GM=6， BF= 22 BNNF =3 10， FM= 1 3 BF= 10， BM= 22 10BFFM ， BG=10-6=4； 当点 F 在点 D 左侧时，过点 B 作 BNDE，交直线 DE 于 N，过点 B 作 BMDG，交直线 DE 于 M，延长 FB 和 DG，交点为 H， 可知：H=FBM=90 ，四边形 BMDG 为平行四边形， BG=MD，BM=DG， BF=3DG， tanBFD= 1 3 BMDHBN BFFHFN ， 同理可得： BDN 为等腰直角三角形，BN=DN=3， FN=3BN=9， BF= 22 933 10 ， 设 MN=x，则 MD=3-x，FM
18、=9+x， 在 Rt BFM 和 Rt BMN 中， 有 2222 FMBFMNBN， 即 2 22 93 103xx， 解得：x=1，即 MN=1， BG=MD=ND-MN=2. 综上：BG 的值为 4 或 2. 故答案为：4 或 2. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理，难 度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解 答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）答应写出文字
19、说明、演算步骤或推理过程） 19.先化简，再求值： 2 (1)(1)xx x，其中2x 【答案】1x；3 【解析】 【分析】 先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可 【详解】解： 2 (1)(1)xx x = 22 12xxxx =1x 将 x=2 代入， 原式=3 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简 20.解方程和不等式组： （1） 2 2 11 x xx ； （2） 260, 36. x x 【答案】 （1）x=0； （2）2x3 【解析】 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
20、（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可 【详解】解： （1） 2 2 11 x xx 去分母得：x2=2x2 解得 x=0， 经检验 x=0 是分式方程的解； （2） 260 36 x x ， ， 由得：x3 由得：x2 则不等式组的解集为2x3 【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解解一元一次不等式组要注意不等号的变化 21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动 对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图
21、（1）本次抽样调查的样本容量是_； （2）补全条形统计图； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数 【答案】 （1）100； （2）见解析； （3）300 人 【解析】 【分析】 （1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次 抽样调查的样本容量； （2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜 爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图； （3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以 2000 即可求出结果 【详解】解： （1）本次抽样调查的样
22、本容量是 25 25%=100； 故答案为：100； （2）打乒乓球的人数为 100 35%=35 人，踢足球的人数为 100253515=25 人； 补全条形统计图如图所示： （3） 15 2000300 100 人； 答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生有 300 人 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本容量以及利用样本估计总体等知识，属于基本题型， 熟练掌握上述基本知识是解题关键 22.在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中 （1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是_； （2）搅匀后先从中随机抽出 1
23、 支签（不放回） ，再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签上 签号的和为奇数的概率 【答案】 （1） 1 3 ； （2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）由概率公式即可得出答案； （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可 【详解】解： （1）共有 3 个号码， 抽到 1 号签的概率是 1 3 ， 故答案为： 1 3 ； （2）画树状图如下： 所有等可能的情况有 6 种，其中抽到的 2 支签上签号的和为奇数的有 4 种， 抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率为： 4 6 = 2 3 . 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求
24、情况数与总情况数之比 23.已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，/,EA FB EAFB ABCD （1）求证：EF ； （2）若40 ,80AD ，求E的度数 【答案】 （1）见解析； （2）60 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明 ACEBDF，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到D=ACE=80 ，再利用三角形内角和定理求出结果. 【详解】解： （1）AEBF， A=DBF， AB=CD， AB+BC=CD+BC，即 AC=BD， 又AE=BF， ACEBDF（SAS） ， E=F； （2）ACEBDF， D=ACE=80 ， A=40 ， E=180 -A-
25、ACE=60 . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件. 24.某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元 （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2）如果购买苹果和梨共 15 千克，且总价不超过 100 元，那么最多购买多少千克苹果？ 【答案】 （1）每千克苹果售价 8 元，每千克梨 6 千克； （2）最多购买 5 千克苹果 【解析】 【分析】 （1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意列出 x、y 的方程组，解之即可； （2）设购买苹果 a 千克，则
26、购买梨（15-a）千克，由题意列出 a 的不等式，解之即可解答 【详解】 （1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意， 得： 326 222 xy xy ， 解得： 8 6 x y ， 答：每千克苹果售价 8 元，每千克梨 6 千克， （2）设购买苹果 a 千克，则购买梨（15-a）千克，由题意， 得：8a+6(15-a)100， 解得：a5， a 最大值为 5， 答：最多购买 5 千克苹果 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是认真审题，分析相关 信息，正确列出方程组和不等式 25.如图，正比例函数y kx 的图像与反比例函数 8 0yx
27、x 的图像交于点,4A a点 B 为 x 轴正半轴 上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点 C，交正比例函数的图像于点 D （1）求 a 的值及正比例函数y kx 的表达式； （2）若10BD，求ACD的面积 【答案】 （1）a=2；y=2x； （2） 63 5 【解析】 【分析】 （1）已知反比例函数解析式，点 A 在反比例函数图象上，故 a 可求；求出点 A 的坐标后，点 A 同时在正 比例函数图象上，将点 A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求 （2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设 B 点坐标为(b，0)，则 D 点坐标为(b，2b)，根据 BD
28、=10， 可求 b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解 【详解】 （1）已知反比例函数解析式为 y= 8 x ，点 A(a，4)在反比例函数图象上,将点 A 坐标代入，解得 a=2， 故 A 点坐标为(2，4)，又A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为 y=kx，将点 A(2，4)代入正比 例函数解析式中，解得 k=2，则正比例函数解析式为 y=2x 故 a=2；y=2x （2）根据第一问的求解结果，以及 BD 垂直 x 轴，我们可以设 B 点坐标为(b，0)，则 C 点坐标为(b， 8 b )、 D 点坐标为(b，2b)，根据 BD=10，则 2b=10，解得
29、 b=5，故点 B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点 坐标为(5， 8 5 )，则在 ACD 中， 18 1052 25 S ACD = 63 5 故 ACD 的面积为 63 5 【点睛】 （1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析 式的方法是解答本题的关键 （2）本题根据第一问求解的结果以及 BD 垂直 x 轴，利用待定系数法，设 B、C、D 三点坐标，求出 B、C、 D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解 26.如图 1，点 B 在线段CE上，RtABCRtCEF，90ABCCEF，30BAC， 1B
30、C （1）点 F 到直线CA的距离是_； （2）固定ABC，将CEF绕点 C 按顺时针方向旋转 30 ，使得CF与CA重合，并停止旋转 请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不 要求写画法）该图形的面积为_； 如图 2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点 O，当OEOB时，求OF的长 【答案】 （1）1； （2） 12 ； （3） 2 3 OF 【解析】 【分析】 （1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得ACF=ECF=30 ，即 CF 是ACB 的平分线，然后 根据角平分线的性质可得点 F 到直线CA的距离即为 EF 的长，于是
31、可得答案； （2）易知 E 点和 F 点的运动轨迹是分别以 CF 和 CE 为半径、圆心角为 30 的圆弧，据此即可画出旋转 后的平面图形； 在图 3 中， 先解 Rt CEF 求出 CF 和 CE 的长， 然后根据 S阴影= （S CEF+S扇形ACF） （S ACG+S 扇形CEG）即可求出阴影面积； 作 EHCF 于点 H，如图 4，先解 Rt EFH 求出 FH 和 EH 的长，进而可得 CH 的长，设 OH=x，则 CO 和 OE2都可以用含 x 的代数式表示，然后在 Rt BOC 中根据勾股定理即可得出关于 x 的方程，解方程即可 求出 x 的值，进一步即可求出结果 【详解】解：
32、（1）30BAC，90ABC ，ACB=60 ， RtABCRtCEF， ECF=BAC=30 ，EF=BC=1， ACF=30 ，ACF=ECF=30 ， CF 是ACB 的平分线， 点 F 到直线CA的距离=EF=1； 故答案为：1； （2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图 3 中的阴影所示： 在 Rt CEF 中，ECF=30 ，EF=1， CF=2，CE= 3， 由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= 3，ACG=ECF=30 ， S阴影=（S CEF+S扇形ACF）（S ACG+S扇形CEG）=S扇形ACFS扇形CEG= 2 2 303 302 36036012 ； 故
33、答案为： 12 ； 作 EHCF 于点 H，如图 4， 在 Rt EFH 中，F=60 ，EF=1， 13 , 22 FHEH， CH= 13 2 22 ， 设 OH=x，则 3 2 OCx， 2 22222 33 24 OEEHOHxx ， OB=OE， 22 3 4 OBx， 在 Rt BOC 中， 222 OBBCOC， 2 2 33 1 42 xx ， 解得： 1 6 x ， 112 263 OF 【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股 定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方 程
34、思想是解题的关键 27.如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之 间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点”，把PQ PH的值称为I 关于直线 a 的“特征数” （1）如图 2，在平面直角坐标系xOy中，点 E 的坐标为0,4，半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、B、 C、D 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则O 关于直线 m 的“远点”是点_（填“A”、“B”、“C”或“D”） ， O 关于直线 m 的“特征数”为_； 若直线 n 的函数表达式为34yx，求O关于直线 n 的“特征数”； （2
35、）在平面直角坐标系xOy中，直线 l 经过点1,4M，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心， 2为半 径作F 若F与直线l相离， 点1,0N 是F关于直线l的“远点”， 且F关于直线l的“特征数”是4 5， 求直线 l 的函数表达式 【答案】 （1）D；10；O 关于直线 n 的“特征数”为 6； （2）直线 l 的解析式为 y=-3x+7 或 y= 1 3 x+11 3 【解析】 【分析】 （1）根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；过圆心 O 作 OH直线 n，垂足为点 H，交 O 于点 P、Q，首先判断直线 n 也经过点 E（0，4） ，在 Rt EOF 中，利用三角函数
36、求出EFO=60 ，进 而求出 PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可； （2）连接 NF 并延长，设直线 l 的解析式为 y=kx+b1,用待定系数法得到 1 1 4=kb nmkb ，再根据两条直线 互相垂直，两个一次函数解析式的系数 k 互为负倒数的关系可设直线 NF 的解析式为 y= 1 k x+b2,用待定系 数法同理可得 2 2 1 0=b k m nb k ，消去 b1和 b2，得到关于 m、n 的方程组 4 1 nmkk m n kk ；根据F 关于 直线 l 的“特征数”是4 5，得出 NA=10，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把 2 2 2
37、41 1 42 1 kk m k k n k 代入，求出 k 的值，便得到 m、n 的值即点 A 的坐标，再根据待定系数法求直线 l 的函数 表达式注意有两种情况，不要遗漏 【详解】解： （1）O 关于直线 m 的“远点”是点 D， O 关于直线 m 的“特征数”为 DB DE=2 5=10； 如下图：过圆心 O 作 OH直线 n，垂足为点 H，交O 于点 P、Q， 直线 n 的函数表达式为34yx， 当 x=0 时，y=4；当 y=0 时，x= 4 3 3 ， 直线 n 经过点 E（0，4） ，点 F（ 4 3 3 ，0） ， 在 Rt EOF 中，tanFEO= FO EO = 4 3 3
38、 4 = 3 3 ， FEO=30 ， EFO=60 ， Rt HOF 中，sinHFO= HO FO ， HO= sinHFO FO=2， PH=HO+OP=3， PQ PH=2 3=6， O 关于直线 n 的“特征数”为 6； （2）如下图，点 F 是圆心，点1,0N 是“远点”， 连接 NF 并延长，则直线 NF直线 l，设 NF 与直线 l 的交点为点 A（m，n） ， 设直线 l 的解析式为 y=kx+b1（k0）, 将点1,4M与 A（m，n）代入 y=kx+b1中， 1 1 4=kb nmkb -得：n-4=mk-k， 又直线 NF直线 l， 设直线 NF 的解析式为 y= 1
39、k x+b2（k0）, 将点1,0N 与 A（m，n）代入 y= 1 k x+b2中， 2 2 1 0=b k m nb k -得：-n= 1 k + m k ， 联立方程与方程，得： 4 1 nmkk m n kk 解得： 2 2 2 41 1 42 1 kk m k k n k ， 点 A 的坐标为（ 2 2 41 1 kk k ， 2 42 1 k k ） ； 又F 关于直线 l 的“特征数”是4 5，F 的半径为 2， NB NA=4 5， 即 2 2 NA=4 5， 解得：NA= 10， m-(-1)2+(n-0)2=( 10) 2， 即(m+1)2+n2=10， 把 2 2 2 4
40、1 1 42 1 kk m k k n k 代入，解得 k=-3 或 k= 1 3 ； 当 k=-3 时，m=2，n=1， 点 A 的坐标为（2，1） ， 把点 A（2，1）与点1,4M代入 y=kx+b1中，解得直线 l 的解析式为 y=-3x+7； 当 k= 1 3 时，m=-2，n=3， 点 A 的坐标为（-2，3） ， 把点 A（-2，3）与点1,4M代入 y=kx+b1中，解得直线 l 的解析式为 y= 1 3 x+11 3 直线 l 的解析式为 y=-3x+7 或 y= 1 3 x+ 11 3 【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直
41、角三 角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互 相垂直的两个一次函数解析式中系数 k 互为负倒数的关系是解题的关键 28.如图，二次函数 2 3yxbx的图像与 y 轴交于点 A，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B，抛 物线过点1,0C，且顶点为 D，连接AC、BC、BD、CD （1）填空：b_； （2）点 P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于 1，直线PC交直线BD于点 Q若CQDACB ，求 点 P 的坐标； （3） 点 E 在直线AC上， 点 E 关于直线BD对称的点为 F， 点 F 关于直线BC对称的点为 G，
42、 连接AG 当 点 F 在 x 轴上时，直接写出AG的长 【答案】 （1）-4； （2） （3，0）或（ 5 3 ， 8 9 ） ； （3）10 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法求解即可； （2）分点 Q 在 CD 上方和点 Q 在 CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解； （3）设点 C 关于 BD 的对称点为 C，BD 中点为点 R，直线 AC 与直线 BD 交于 N，设 C（p，q） ，利用点 R 到点 C 和点 C的距离相等以及点 N到点 C 和点 C的距离相等，求出点 C的坐标，从而得到 CN直线的 解析式，从而求出点 F 坐标，再利用点 F 和点 G 关于
43、直线 BC 对称，结合 BC 的表达式可求出点 G 坐标， 最后得到 AG 的长. 【详解】解： （1）抛物线过点 C（1，0） ， 将 C（1，0）代入 2 3yxbx得 0=1+b+3， 解得 b=-4， 故答案为：-4； （2）由（1）可得抛物线解析式为： 2 43yxx， 当 x=0 时，y=3， A 的坐标为（0，3） ， 当 y=3 时得 2 343xx， 解得 x1=0，x2=4， 点 B 的坐标为（4，3） ， 2 2 4321yxxx， 顶点 D 的坐标为（2，-1） ， 设 BD 与 x 轴的交点为 M，作 CHAB 于 H，DGCM 于 G， tanACH= tanOAC
44、= 1 3 ， 根据勾股定理可得 BC=3 2，CD= 2，BD=2 5， BD= 22 BCCD ， BCD=90 ， tanCBD= 1 3 ， ACH=CBM， HCB=BCM=45 ， ACH+HCB=CBM+MCB， 即ACB=CMD， Q 在 CD 上方时：若CQD ACB ，则 Q 与 M 点重合， 2 43yxx中，令 y=0，解得：x=1 或 3， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0） ， 即此时 P 的坐标为（3，0） ； Q 在 CD 下方时：过点 Q 作 QKx 轴，过点 C 作 CLQM 于点 L，过点 A 作 ANBC 于点 N， 可得：AB=4，BC=3
45、2，AC= 10，设 CN=x，则 BN=3 2-x， 在 ABC 中， 2222 ACCNABBN， 即 22 22 1043 2xx，解得：x=2， cosACN= CN AC = 5 5 ， 设直线 BD 的表达式为：y=mx+n，将 B，D 代入得： 34 12 mn mn ，解得： 2 5 m n ， 直线 BD 的表达式为 y=2m-5， 令 y=0，则 x= 5 2 ，即点 M（ 5 2 ，0） ， 设点 Q 坐标为（a，2a-5） ， 则 QK=5-2a，CM= 3 2 ，QM= 2 25 25 2 aa ， ACB=CMD，ACB=CQD， CMD=CQD，即 CQ=CM=
46、3 2 , cosCQD=cosACB= 5 5 QL CQ , QL= 3 5 10 ，QM= 3 5 5 ，CL= 3 5 5 ， 在 CQM 中， 11 22 CM KQQM CL， 即 33 5 3 5 255 KQ，解得：KQ= 6 5 ， CK= 22 9 10 CQKQ, Q（19 10 ， 6 5 ） ， 设直线 CQ 表达式为：y=sx+t，将点 C 和点 Q 代入， 0 619 510 st st ，解得： 4 3 4 3 s t ， 则 CQ 表达式： 44 33 yx ，联立： 2 44 33 43 yx yxx ，解得 5 3 8 9 x y ， 即点 P 坐标为（ 5 3 ， 8 9 ） ， 综上：点 P 的坐标为（3，0）或（ 5 3 ， 8 9 ） ； （3）设点 C 关于 BD 的对称点为 C，BD 中点为点 R，直线 AC 与直线 BD 交于 N， R（3，1） ，设 C（p，q） ， 由题意可求得：直线 AC 表达式为：y=-3x+3， 直线 BD 表达式为：y=2x-5， 直线 BC 的表达式为：y=x-1， 令-3x+3=2x-5，
