1、 1 黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题年初中毕业学业统一考试数学试题 考生注意：考生注意： 1考试时间考试时间 120 分钟 分钟 2全卷共三道大题，总分 全卷共三道大题，总分120分分 一、选择题（每题一、选择题（每题3分，满分分，满分30分）分） 1.下列各运算中，计算正确的是（ ） A. 224 22aaa B. 824 xxx C. 222 ()xyxxyy D. 3 26 39xx 【答案】A 【解析】 【分析】 根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可 【详解】A 224 22aaa ，正确； B
2、88262 xxxx ，故B选项错误； C 222 ()2xyxxyy，故C选项错误； D 3 26 327xx ，故D选项错误， 故选A 【点睛】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解 题的关键 2.下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解 2 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称
3、图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合 3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个 数，以及第三层的最多个数，再相加即可 【详解】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三 层最多1个， 所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个） ； 故选：B 【点睛】 本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力， 同时也体
4、现了对空间想象能力方面的考查 4.一组从小到大排列的数据:a,3,4,4,6(a为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是( ) A. 3.6或4.2 B. 3.6或3.8 C. 3.8或4.2 D. 3.8或4.2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得. 【详解】数据：a，3，4，4，6（a为正整数） ，唯一的众数是4， a=1或2， 当a=1时，平均数为 1 3446 5 =3.6； 当a=2时，平均数为 23446 5 =3.8； 故选C 【点睛】 本题主要考查了众数与平均数的定义， 根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出
5、a的值是解题 的关键. 5.已知关于x的一元二次方程 22 (21)20 xkxkk 有两个实数根 1 x， 2 x， 则实数k的取值范围是 （ ） A. 1 4 k B. 1 4 k C. 4k D. 1 4 k 且0k 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可 【详解】解： 关于x的一元二次方程 22 (21)20 xkxkk 有两个实数根 1 x， 2 x， 2 40,bac 2 1,21 ,2 ,abkckk 2 2 214 120,kkk 41,k 1 . 4 k 4 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的
6、根的判别式是解题的关键 6.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数 k y x 的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐 标原点O，已知1,1B ，120ABC，则k的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质得到ACBD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得 AOE=BOF=45，继而求得点A的坐标，即可求解 【详解】四边形ABCD是菱形， BA=AD，ACBD， ABC=120， ABO=60， 点B（-1，1） ， OB= 22 112 ， tan60 AO OB ， AO= 2 tan606 ， 作BF
7、y轴于F，AEx轴于E， 5 点B（-1，1） ， OF=BF=1， FOB=BOF=45， BOF+AOF=AOE+AOF=90， AOE=BOF=45， AOE为等腰直角三角形， AO 6 ， AE=OE=AO 2 cos4563 2 ， 点A的坐标为（ 3，3） ， 点A在反比例函数 k y x 的图象上， 3kxy ， 故选：C 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、解直 角三角形、等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答 7.已知关于x的分式方程4 22 xk xx 的解为正数，则x的取值范围是（
8、 ） A. 80k B. 8k 且2k C. 8k D. 4k 且2k 6 【答案】B 【解析】 【分析】 先解分式方程利用k表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可 【详解】方程两边同时乘以2x得，420 xxk， 解得： 8 3 k x x为正数， 8 0 3 k ，解得8k ， 2x， 8 2 3 k ，即2k ， k的取值范围是 8k 且2k 故选：B 【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法， 8.如图， 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， 过点D作DH AB于点H， 连接OH， 若6OA， 48 ABCD S 菱形 ，则OH的长为
9、（ ） A. 4 B. 8 C. 13 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【详解】解：四边形ABCD是菱形， 7 AO=CO=6，BO=DO，S 菱形ABCD= 2 ACBD =48， BD=8， DHAB，BO=DO=4， OH= 1 2 BD=4 故选：A 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解 决问题 9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，
10、在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种 购买方案（ ） A. 12种 B. 15种 C. 16种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【分析】 设购买A、B、C三种奖品分别为 , ,x y z个， 根据题意列方程得10 2030200 xyz ， 化简后根据 , ,x y z 均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品分别为 , ,x y z个， 根据题意列方程得102030200 xyz， 即2320 xyz， 由题意得 , ,x y z均为正整数 当z=1时，217xy 17 2 y x ， y分别取1，3，5，7，9，1
11、1，13，15共8种情况时，x为正整数； 当z=2时，214xy 14 2 y x ， 8 y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数； 综上所述：共有8+6=14种购买方案 故选：D 【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键 10.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合） ， 45DAM，点F在 射线AM上， 且 2AFBE ，CF与AD相交于点G， 连接EC、EF、EG 则下列结论：45ECF； AEG的周长为 2 1 2 a ； 222 BEDGEG；EAF的面积的最大值是 2 1 8 a；
12、当 1 3 BEa 时，G是线段AD的中点其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH证明 FAEEHC（SAS） ，即可判断正确；如图2中， 延长AD到H，使得DH=BE，则 CBECDH（SAS） ，再证明 GCEGCH（SAS） ，即可判断 错误； 设BE=x， 则AE=a-x，AF= 2x， 构建二次函数， 利用二次函数的性质解决最值问题即可判断正确； 设AG=y，利用前面所证EG=GH，在Rt AEG中，利用勾股定理求得 1 2 ya，即可判断正确 【详解】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH 9 B
13、E=BH，EBH=90， EH= 2BE， AF= 2BE， AF=EH， DAM=EHB=45，BAD=90， FAE=EHC=135， BA=BC，BE=BH， AE=HC， FAEEHC（SAS） ， EF=EC，AEF=ECH， ECH+CEB=90， AEF+CEB=90， FEC=90， ECF=EFC=45，故正确， 如图2中，延长AD到H，使得DH=BE， 10 则 CBECDH（SAS） ， ECB=DCH， ECH=BCD=90， ECG=GCH=45， CG=CG，CE=CH， GCEGCH（SAS） ， EG=GH， GH=DG+DH，DH=BE， EG=BE+DG，故
14、错误， AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故错误， 设BE=x，则AE=ax，AF= 2x， S AEF= 2 22 111111 222228 ax xxaxxaa ， 1 0 2 ， 当 1 2 xa时， ， AEF的面积的最大值为 2 1 8 a，故正确； 如图3，延长AD到H，使得DH=BE， 11 同理：EG=GH， 1 3 BEa，则 2 3 AEa， 设AG=y，则DG=a y ， EG=GH = 14 33 ayaay， 在Rt AEG中， 222 AEAGEG， 即 22 2 24 33 ayay ，
15、解得： 1 2 ya， 当 1 3 BEa时，G是线段AD的中点，故正确； 综上，正确， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用，勾股定理的应用等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题 二、填空题（每题二、填空题（每题3分，满分分，满分30分）分） 11.5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为_ 【答案】 8 3 10 【解析】 【分析】 12 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|1时，n是正数；当原数的绝 对值1时，n是负数 【详解】30
16、0000000的小数点向左移动8位得到3， 所以300000000用科学记数法表示为3108， 故答案为3108 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|1， 解不等式得：x 2 a ， 不等式组的解集是1x 2 a ， x的一元一次不等式组有2个整数解， x只能取2和3， 34 2 a ， 解得：68a 故答案为：68a 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值 范围 16.如图，AD是 ABC的外接圆O的直径，若 40BAD，则ACB _ 15 【答案】50 【解析】 【分析】 连接BD，如
17、图，根据圆周角定理得到ABD=90，则利用互余计算出D=50，然后再利用圆周角定理得 到ACB的度数 【详解】连接BD，如图， AD为 ABC的外接圆O的直径， ABD=90， D=90-BAD=90-40=50， ACB=D=50 故答案为：50 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半 17.小明在手工制作课上，用面积为 2 150 cm ，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥 的底面半径为_cm 【答案】10 【解析】 16 【分析】 根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解 【详解】由 1 = 2 S
18、lR 扇形 得：扇形的弧长=2 1501520（厘米） ， 圆锥的底面半径=202 10 （厘米） 故答案是：10 【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键 18.如图，在边长为4的正方形ABCD中将 ABD沿射线BD平移，得到EGF，连接EC、GC求 ECGC的最小值为_ 【答案】4 5 【解析】 【分析】 将 ABC沿射线CA平移到 ABC的位置，连接CE、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD 均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得CE=CE，CG=DE，可得 EC+GC=CE+ED， 当点C、E、D在同一直线时，C
19、E+ED最小， 由勾股定理求出CD的值即为EC+GC 的最小值 【详解】如图，将 ABC沿射线CA平移到 ABC的位置，连接CE、AE、DE， 17 ABGEDC且AB=GE=DC， 四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形， AEBG，CG=DE， AECC， 由作图易得，点C与点C关于AE对称，CE=CE， 又CG=DE， EC+GC=CE+ED， 当点C、E、D在同一直线时，CE+ED最小， 此时，在Rt CDE中， CB=4，BD=4+4=8， CD= 22 484 5 ， 即EC+GC的最小值为4 5， 故答案为：4 5 【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行
20、四边形的性质与判定，解题的关键是将 两条线段的和转化为同一条线段求解 19.在矩形ABCD中， 1AB ，BCa，点E在边BC上，且 3 5 BEa，连接AE，将ABE沿AE折 叠若点B对应点 B 落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为_ 【答案】 2或 30 5 【解析】 【分析】 分两种情况：点 B 落在AD上和CD上，首先求出a的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可 【详解】分两种情况： （1）当点 B 落在AD上时，如图1， 18 四边形ABCD是矩形， 90BADB ， 将 ABE沿AE折叠，点B的对应点 B 落在AD边上， 1 45 2 BAEB AEBAD ， ABBE， 3 1 5
21、 a， 3 =1 5 BEa 在Rt ABE中，AB=1，BE=1， AE= 22 2ABBE （2）当点 B 落在CD上，如图2， 四边形ABCD是矩形， 90BADBCD ，ADBCa， 将 ABE沿AE折叠，点B的对应点 B 落在CD边上， 90BAB E ，1ABAB， 3 5 EBEBa ， 222 1DBB AADa ， 19 32 55 ECBCBEaaa， 在ADB和BCE中， 90 90 B ADEB CAB D DC ADBBCE， DBAB CEB E ，即 2 11 23 55 a aa ， 解得， 5 3 a （负值舍去） 35 = 55 BEa 在Rt ABE中，A
22、B=1，BE= 5 5 ， AE= 22 30 5 ABBE 故答案为： 2或 30 5 . 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中 考常考题型 20.如图，直线AM的解析式为1yx与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO， 点B坐标为1,1 过点B作 1 EOMA交MA于点E， 交x轴于点 1 O， 过点 1 O作x轴的垂线交MA于点 1 A 以 11 O A为边作正方形 1111 O ABC， 点 1 B的坐标为5,3 过点 1 B作 12 EOMA交MA于 1 E， 交x轴于点 2 O， 过点 2 O作x轴的垂线交M
23、A于点 2 A，以 22 O A为边作正方形 2222 O A B C，则点 2020 B 的坐标_ 20 【答案】 20202020 2 31,3 【解析】 【分析】 根据题意得出三角形AMO为等腰直角三角形，AMO=45，分别求出个线段长度，表示出B1和B2的 坐标，发现一般规律，代入2020即可求解 【详解】解：AM的解析式为 1yx ， M（-1，0） ，A（0，1） ， 即AO=MO=1，AMO=45， 由题意得：MO=OC=CO1=1， O1A1=MO1=3， 四边形 1111 O ABC是正方形， O1C1=C1O2=MO1=3， OC1=23-1=5，B1C1=O1C1=3，B
24、1（5，3） ， A2O2=3C1O2=9，B2C2=9，OO2=OC2-MO=9-1=8， 综上，MCn=23n，OCn=23n-1，BnCn=AnOn=3n， 当n=2020时，OC2020=232020-1，B2020C2020 =32020， 点B 20202020 2 31,3， 故答案为： 20202020 2 31,3 【点睛】 本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法， 属于中考常考题型 三、解答题（满分三、解答题（满分60分）分） 21.先化简，再求值： 2 2 169 2 11 xxx xx ，其中3tan303x 【答案】 1
25、3 x x , 34 3 3 21 【解析】 【分析】 括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入 3tan 303x 求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可 【详解】原式= 2 213 1 1111 xx x xxxx = 2 11221 1 3 xxxx x x = 2 113 1 3 xxx x x = 1 3 x x ， 当 3 3tan3033333 3 x 时， 原式 33 13434 3 33333 【点睛】本题考查了分式的混合运算化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，特殊角的三角函数 值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法
26、则是解题的关键 22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶 点5,2A、5,5B、1,1C均在格点上 （1）将ABC向左平移5个单位得到 111 ABC，并写出点 1 A的坐标； （2）画出 111 ABC绕点 1 C顺时针旋转90后得到的 221 A B C，并写出点 2 A的坐标； 22 （3）在（2）的条件下，求 111 ABC在旋转过程中扫过的面积（结果保留） 【答案】 （1）见解析, 1 0,2A； （2）图形见解析， 2 3, 3A ； （3）86 【解析】 分析】 （1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 1 A的坐标；
27、 （2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 2 A的坐标； （3）根据题意可以求得BC的长，从而可以求得 111 ABC在旋转过程中扫过的面积 【详解】 （1） 111 ABC如图所示， 1 0,2A； （2） 221 A B C如图所示， 2 3, 3A （3） 22 444 2BC 2 11 s(4 2)3 486 42 【点睛】此题考查作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则 23.如图，已知二次函数 2 yxbxc 的图象经过点1,0A ，3,0B，与y轴交于点C 23 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使PABABC，若存在请直
28、接写出点P的坐标若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 yx2x3 ； （2）存在， 1(2,3) P， 2(4, 5) P 【解析】 【分析】 （1）把点AB坐标代入 2 yxbxc 即可求解； （2）分点P在x轴下方和下方两种情况讨论，求解即可 【详解】 （1）二次函数 2 yxbxc 的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)， 10 930 bc bc ， 解得： 2 3 b c ， 抛物线的解析式为： 2 yx2x3 ； （2）存在，理由如下： 当点P在x轴下方时， 如图，设AP与y轴相交于E， 24 令0 x，则3y ， 点C的坐标为(0，3)， A(-1，0)，B(3，0)，
29、OB=OC=3，OA=1， ABC=45， PAB=ABC=45， OAE是等腰直角三角形， OA=OE=1， 点E的坐标为(0，-1)， 设直线AE的解析式为1ykx， 把A(-1，0)代入得：1k ， 直线AE的解析式为1yx ， 解方程组 2 1 23 yx yxx ， 得： 1 1 1 0 x y (舍去)或 2 2 4 5 x y ， 点P的坐标为(4， 5 )； 当点P在x轴上方时， 如图，设AP与y轴相交于D， 25 同理，求得点D的坐标为(0，1)， 同理，求得直线AD的解析式为1yx， 解方程组 2 1 23 yx yxx ， 得： 1 1 1 0 x y (舍去)或 2 2
30、 2 3 x y ， 点P的坐标为(2，3)； 综上，点P的坐标为(2，3)或(4，5) 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方 程组，分类讨论是解本题的关键 24.为了提高学生体质， 战胜疫情， 某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛， 全校跳绳平均成绩是每分钟99 次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示， （每个小组包括左 端点，不包括右端点） 求： （1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数； （2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围
31、； （3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少 26 【答案】 （1）平均次数至少是100.8次，超过全校的平均次数； （2）跳绳成绩所在范围为100120； （3） 33 50 【解析】 【分析】 （1）观察直方图，用每组的最低成绩，根据加权平均数公式计算可得该班一分钟跳绳的最少平均次数，再 与校平均成绩比较即可得答案； （2）根据中位数意义，确定中位数的范围即可； （3）先确定出该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的人数，然后利用概率公式进行求解即可 【详解】 （1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为 60 480 13 100 19 120 7 140 5 160 2 10
32、0.899 50 ， 即该班一分钟跳绳的平均次数至少是100.8次，超过了全校的平均次数； （2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数， 共有50名学生，可知中位数是将跳绳次数从小到大排列后位于第25、26这两个次数的平均数， 因为4+13=1726， 所以中位数一定在100120范围内， 即该生跳绳成绩的所在范围为100120； （3）该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：l9+7+5+2=33(人)， 所以P（其跳绳次数超过全校平均数）= 33 50 ， 答：从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率为 33 50 【点睛】本题考查了频数分布直方图，简单的概率计算，中位数等知识，读懂
33、统计图，弄清题意，找准相 关数据，灵活运用相关知识是解题的关键 25.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多 往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图 象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最 27 后一次返回物流公司晚1小时 （1）求ME的函数解析式； （2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间 （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离 （直接写出答案） 【答案】 （1）5050yx； （2）货车返回时与快递车途中相遇的时间17 3
34、 h，7h； （3）100km 【解析】 【分析】 （1）由图象可知点M和点E的坐标，运用待定系数法求ME的解析式即可； （2）运用待定系数法求出BC，CD，FG的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果； （3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度时间可得结论. 【详解】解： （1）由图象可知：M0,50，E3,200 设ME的解析式y kxb 0k 把M0,50，E3,200代入得： 50 3200 b kb ，解得 50 50 b k ， ME的解析式为 5050yx03x； （2）由图象知B（4，0） ，C(6,200) 设BC的解析式y mxn, 把B
35、（4，0） ，C(6,200)代入得， 40 6200 mn mn ， 28 解得， 100 400 m n ， BC的解析式为：100400yx 由图象知F（5，200） ，G（9，0） 设FG的解析式y pxq ， 把F（5，200） ，G（9，0）代入上式得， 5200 90 pq pq ， 解得， 50 450 p q ， 故FG的解析式为：50450yx 联立方程组得， 100400 50450 yx yx ，解得 17 3 xh； 由图象得，C（6，200） ，D（8，0） 设CD的解析式为y=rx+s， 把C（6，200） ，D（8，0）代入上式得， 6200 80 rs rs
36、， 解得， 100 800 r s 故CD的解析式为y=-100 x+800, 联立方程组得 100800 50450 yx yx ，解得7xh 答：货车返回时与快递车途中相遇的时间 17 3 h，7h （3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时， 其速度为：2002=100(km/h) 所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：1001=100（km） 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信 息，理解两车的运动过程是解题的关键 29 26.如图，在Rt ABC 中，90ACB，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上，DCEC， 连接D
37、E、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN （1）BE与MN的数量关系是_ （2）将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜 想，并利用图或图进行证明 【答案】 （1） 2BEMN ； （2）图（2） ： 2B EM N ，图（3） ： 2B EM N ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先证明AD=BE，根据中位线定理证明 PMN为等腰直角三角形，得到 2 2 PMMN ，再进行代换 即可； （2） ：如图（2）连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G，先证明ACDBCE，得到，AD=BE， 90AHB，根据中位
38、线定理证明 PMN为等腰直角三角形，得到 2 2 PMMN ，再进行代换即可 【详解】解： （1）Rt ABC中，90ACB，ACBC， BAC=ABC=45 AC BC，DCEC， AD=BE， 点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点， PM，PN分别为 ABE， BAD中位线， 30 PMBE,PM= 1 2 BE,PNAC,PN= 1 2 AD, PM=PN, APM=BPN=45， PMN=90， PMN为等腰直角三角形， 22 sin 22 PMMNPNMMNMN， 22BEPMMN ， 即 2BEMN ； （2）图（2） ： 2B EM N 图（3） ： 2B EM N 证明：如
39、图（2） 连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G， 90ACBDCEQ， DCAECB， DCEC，ACBC， ACDBCE， CADCBE，BEAD， AGHCGE， 90CADAGHCBECGE， 90AHB， P、M、N分别是AB、AE、BD的中点， /PNAD， 1 2 PNAD， /PMBE， 1 2 PMBE， PMPN， 190MPNAHB ， PMN 是等腰直角三角形， 2MNPM ， 22BEPMMN 31 图 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，中位线定理等知识，综合性较强，解 题关键理解运用好中位线性质 27.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策
40、，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场 价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元 （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克 需要212元求m，n的值 （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购 买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬 菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值
41、【答案】 （1）m、n的值分别为10和14； （2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42 千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克； （3） a的最大值为1.8 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案； （3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案 【详解】解： （1）由题意得 1520430 108212 mn mn ， 32 解得： 10 14 m n ； 答：m、n的值分别为10和14； （
42、2）根据题意 1014(100)1160 1014(100)1168 xx xx ， 解得：5860 x， 因为x是整数 所以x为58、59、60； 共3种方案，分别为： 方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克； 方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克； 方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克； （3）方案一的利润为：(16 10) 58(18 14) 42516元， 方案二的利润为：(16 10) 59(18 14) 41518元， 方案三的利润为：(16 10) 60(18 14) 40520元， 利润最大值为520元，甲售出60kg，乙售出40kg， (16 102 ) 60
43、(18 14) 40 20% 1160 aa 解得：1.8a 答：a的最大值为1.8； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元 一次方程组，以及不等式组的知识解答 28.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是方程 2 3180 xx的根，连接BD， 30DBC，并过点C作CNBD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向 匀速运动到点D为止； 点M沿线段DA以每秒3个单位长度的速度由点D向点A匀速运动， 到点A为止， 点P与点M同时出发，设运动时间为t秒0t 33 （1）线段CN _； （2）连接PM和MN，求P
44、MN的面积s与运动时间t的函数关系式； （3）在整个运动过程中，当PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标 【答案】 （1）3 3； （2） 2 2 39 39 0 242 9 0 2 39 39 6 242 ttt st ttt ； （3）(3 3，3)或( 7 3 3 ， 7 3 ) 【解析】 【分析】 （1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长； （2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解 【详解】 （1）解方程 2 3180 xx得： 12 63xx ，(舍去)， AB=6， 四边形ABCD是矩形， 30DBC， AB=CD=6，BD=2AB=12， BC=AD= 2222 1266 3BDAB ， BDC 11 22 SBC CDBD CN， 6 36 3 3 12 BC CD CN BD ， 34 故答数为：3 3； （2）如图1，过点M作MHBD于H， ADBC， ADB=DBC=30， MH= 1 2 MD=
