1、 湖北省荆门市湖北省荆门市 2020 年中考数学试题年中考数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ）一项是符合题目要求的 ） 1.2的平方是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算2，然后再计算平方 【详解】22 2 ( 2)2 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可 2.据央视网消息， 全国广大共产党员积极响应党中央号召， 踊跃捐款， 表达对新冠肺炎疫情防控工
2、作的支持， 据统计，截至 2020 年 3 月 26 日，全国已有 7901 万多名党员自愿捐款，共捐款 82.6 亿元，82.6 亿用科学记 数法可表示为（ ） A. 10 0.826 10 B. 9 8.26 10 C. 8 8.26 10 D. 8 82.6 10 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝 对值1 时，n 是负数 【详解】82.6 亿 9 8.26 10 故选：B 【点
3、睛】此题主要考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3.如图，菱形ABCD中，E，F 分别是AD，BD的中点，若 5EF ，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知 EF 为 ABD 的中位线，可求出 AB 的长，由于菱形四条边相等即可得到周长 【详解】解：E，F 分别是AD，BD的中点， EF 为 ABD 的中位线， 22 5 10ABEF ， 四边形ABCD是菱形， 10ADCDBCAB， 菱形ABCD的周长
4、为10 440 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现 EF 为 ABD 的中位线是解题的关键 4.下列等式中成立的是（ ） A. 3 263 39x yx y B. 22 2 11 22 xx x C. 11 226 23 D. 111 (1)(2)12xxxx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可 【详解】解：A、 3 263 327x yx y ， 故选项 A 错误； B、 2 2 2 2 212 24 11 4 1 2 xxxxxx 22 2121 4 xxxx x ， 故选项 B 错误； C
5、、 1132 22 232323 32 2 6 6 2 32 2 3 ( 32) ( 32)( 32) 62 6 ， 故选项 C 错误； D、 1121 12(1)(2)(1)(2) xx xxxxxx 21 (1)(2) xx xx 1 (1)(2)xx ， 故选项 D 正确， 故选：D 【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相 关运算法则是解决本题的关键 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱
6、，根据体积=底面积 高，把相关数值代入 即可求解 【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角 边长为 1，高为 2， 则，等腰直角三角形的底面积 11 1 1 22 ， 体积=底面积 高 1 21 2 =?， 故选：A 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是 解决本题的关键 6.ABC中， ,120 ,2 3ABACBACBC ，D 为BC的中点， 1 4 AEAB，则EBD的面积为 （ ） A. 3 3 4 B. 3 3 8 C. 3 4 D. 3 8 【答案】B 【解析】 【分析】 连接
7、 AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到BAD的度数，及RtABD，由 1 4 AEAB得 3 4 BEAB， 得 3 4 BDEABD SS ，计算ABD的面积即可 【详解】连接 AD，如图所示： ,120 ,2 3ABACBACBC ，且 D 为 BC 中点 ADBC，且 1 60 2 BADCADBAC ， 3BDDC RtABD中，2,1ABAD 1 4 AEAB 3 4 BEAB 3313 3 13 4428 BDEABD SS 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关 键 7.如图，O中，, 28OCABAPC，则BOC
8、的度数为（ ） A. 14 B. 28 C. 42 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】 由垂径定理都出AC BC ，然后根据圆周角定理即可得出答案 【详解】OCAB， AC BC ， APC= 1 2 BOC， APC=28 ， BOC=56 ， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出AC BC 是解题关键 8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组 10 名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116， 90，120，54，116 这组数据的平均数和中位数分别为（ ） A. 95，99 B. 94，99 C. 94，90 D. 95，108 【答案
9、】B 【解析】 【分析】 按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可 【详解】平均数为： 788660 108 112 116+90+120+54+116 =94 10 将数据按照从小到大进行排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120 中位数为： 90+108 =99 2 故选：B 【点睛】本题考查了平均数，中位数的计算，熟知以上计算方法是解题的关键 9.在平面直角坐标系xOy中，Rt AOB的直角顶点 B 在 y 轴上，点 A 的坐标为 1, 3，将Rt AOB沿直 线y x 翻折，得到RtAOB，过 A 作AC垂直于OA交 y 轴于点 C，则点 C 的坐标为
10、（ ） A. 0, 2 3 B. 0, 3 C. 0, 4 D. 0, 4 3 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 OA，然后证明A OBOCA即可得出答案 【详解】由题意可得 AB=1，OB= 3， ABC 为直角三角形， OA=2， 由翻折性质可得A B=1，OB= 3，OA=2，A B O=90 ， A CO+A OC=90 ，A OB+A OC=90 ， A CO=A OB， ACOA，A B O=90 ， A OBOCA， OAA B OCOA ，即 21 2OC OC=4， 点 C 的坐标为（0，-4） ， 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定
11、理，证明A OBOCA是解题 关键 10.若抛物线 2 (0)yaxbxc a经过第四象限的点1, 1） ，则关于 x 的方程 2 0axbxc的根的情 况是（ ） A. 有两个大于 1 的不相等实数根 B. 有两个小于 1 的不相等实数根 C. 有一个大于 1 另一个小于 1 的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的图像进行判断即可 【详解】a0， 抛物线开口向上， 抛物线经过第四象限的点（1，-1） 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，一个大于 1 另一个小于 1， 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键
12、11.已知关于 x 的分式方程 23 2 2(2)(3) xk xxx 的解满足41x ，且 k 为整数，则符合条件的 所有 k 值的乘积为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 先解出关于 x 的分式方程得到 x= 6 3 k ，代入41x 求出 k 的取值，即可得到 k 的值，故可求解 【详解】关于 x 的分式方程 23 2 2(2)(3) xk xxx 得 x= 21 7 k ， 41x 21 4 7 1 k 解得-7k14 整数 k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
13、又分式方程中 x2 且 x-3 k35 且 k0 所有符合条件的 k 中，含负整数 6 个，正整数 13 个，k 值的乘积为正数, 故选 A 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法 12.在平面直角坐标系中， 长为 2 的线段CD（点 D 在点 C 右侧） 在 x 轴上移动0,2A，0,4B， 连接AC、 BD，则ACBD的最小值为（ ） A. 2 5 B. 2 10 C. 6 2 D. 3 5 【答案】B 【解析】 【分析】 作 A（0，2）关于 x 轴的对称点 A（0，-2） ，再过 A作 AEx 轴且 AE=CD=2，连接 BE 交 x 轴与 D 点
14、， 过 A作 ACDE 交 x 轴于点 C，得到四边形 CDEA为平行四边形，故可知 AC+BD 最短等于 BE 的长，再 利用勾股定理即可求解 【详解】作 A（0，2）关于 x 轴的对称点 A（0，-2） 过 A作 AEx 轴且 AE=CD=2，故 E（2，-2） 连接 BE 交 x 轴与 D 点 过 A作 ACDE 交 x 轴于点 C， 四边形 CDEA为平行四边形， 此时 AC+BD 最短等于 BE 的长， 即 AC+BD=AC+BD=DE+BD=BE= 22 (20)( 24) =2 10 故选 B 【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质 二、
15、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分 ）分 ） 13.计算： 01 1 123tan30(2020)( ) 2 _ 【答案】31 【解析】 【分析】 原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数幂运算法 则计算，第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可. 【详解】 01 1 123tan30(2020)( ) 2 = 3 2 331 2 3 = 31 故答案为：31 【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键. 14.已知关于 x 的一元二次
16、方程 22 430(0)xmxmm的一个根比另一个根大 2，则 m 的值为_ 【答案】1 【解析】 分析】 利用因式分解法求出 x1,x2，再根据根的关系即可求解 【详解】解 22 430(0)xmxmm （x-3m） （x-m）=0 x-3m=0 或 x-m=0 解得 x1=3m,x2=m， 3m-m=2 解得 m=1 故答案为：1 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用 15.如图所示的扇形AOB中， 920,OABOBAO，C 为AB上一点， 30AOC，连接BC， 过 C 作OA的垂线交AO于点 D，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】 23 32 【解析】
17、 【分析】 先根据题目条件计算出 OD，CD 的长度，判断BOC为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行 计算即可 【详解】在Rt COD中，30 ,2AOCOCOA 1,3CDOD 90AOB 60BOC OBOC BOC为等边三角形 BOC = CODBOC SSSS 阴影扇形 2 2 16023 3 12 23604 23 32 故答案为： 23 32 【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键 16.如图，矩形OABC的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上， 2,1B ，将OAB绕点 O 顺时针旋转，点 B 落 在 y 轴上的点 D 处，得到OE
18、D，OE交BC于点 G，若反比例函数(0) k yx x 的图象经过点 G，则 k 的值为_ 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 根据题意证明 AOBEOD， COGEOD，根据相似三角形的性质求出 CG 的长度，即可求解 【详解】解： 由 B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB= 22 125 由旋转可得： AOBEOD，E=OAB=90 ， OE=OA=2，DE=AB=1， COG=EOD，GCO=E=90 ， COGEOD， = OCCG OEDE ，即 1 21 CG ， 解得：CG= 1 2 ， 点 G（ 1 2 ，1） ， 代入(0) k yx x 可得：k= 1 2
19、 ， 故答案为： 1 2 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的 性质求出 OG 的长度 17.如图，抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线1x ，给出下列结 论：0abc；若点 C 的坐标为( ) 1,2，则ABC的面积可以等于 2； 1122 ,M x yN xy是抛 物线上两点 12 xx，若 12 2xx，则 12 yy；若抛物线经过点(3, 1)，则方程 2 10axbxc 的 两根为1，3 其中正确结论的序号为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来
20、判断 a,b,c 的正负情况，即可 根据图形可知 AB 的值大于 4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于 2 利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大 把点代入抛物线，可求得 x=3 是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解 【详解】解： 开口向下， a0， 对称轴 x=1,a0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 的正半轴 上， c0， abc4, 1 2 ABCy SAB C 1 4 2 2 ，2 ABC S ，故错误 12 2xx，从图像可知 1 x 到 1 的距离小于 2 x 到 1 的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数 值越大； 12 yy ，故错误 把点（3，-1）代入抛物线得
21、931abc ，即 2 1axbxc ， 2 10axbxc ，即 x=3， 是方程 2 10axbxc 的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方 程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 69 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 18.先化简，再求值： 22 (2)(2 )()2(2 )(2)xyxyx xyxyxy，其中
22、21,21xy 【答案】 2 3yxy； 2 2 【解析】 【分析】 利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可 【详解】解： 原式 22 (2)(2 )xyxyxxy=+-+- 22 ()xyxxy=- 222 2xxyyxxy=-+- 2 3yxy 当21,21xy时， 原式 2 ( 21)3( 21)( 21) 3 2 23 2 2 。 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算 法则是解题的关键 19.如图，ABC中，ABAC， B的平分线交AC于 D，/AEBC交BD的延长线于点 E，AFAB 交BE于点 F （1）若40BAC，
23、求AFE的度数； （2）若2ADDC，求AF的长 【答案】 （1）125AFE； （2） 4 3 3 AF 【解析】 【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出ABC，ABD，再根据垂直与外角的性质即可求 出AFE； （2）根据题意证明ADECDB，再得到ABC为等边三角形，故可得到30ABD，可根据三角 函数的性质即可求出 AF 【详解】 （1）ABAC， 40BAC， 18040 70 2 ABC BD平分ABC， 1 7035 2 ABDDBC ， AFAB， 90BAF， 9035125AFEBAFABD （2）/AE BC， EDBC ， 又ADECDB，ADCD A
24、DECDB， AECB， ,EDBCABDDBC EABD ， ABAE， ABCBAC， ABC为等边三角形， 60ABC， 30ABD， 2ADDC， 4AB ， 在Rt ABF中， 34 tan3043 33 AFAB 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函 数的应用 20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的 S 号，M 号，L 号，XL 号，XXL 号销售情况的扇形统计图和条 形统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）求 XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照 M 号，XL 号运动服装的销
25、量比，从 M 号、XL 号运动服装中分别取出 x 件、y 件，若再取 2 件 XL 号运动服装，将它们放在一起，现从这2xy件运动服装中，随机取出 1 件，取得 M 号运动服装的 概率为 3 5 ，求 x，y 的值 【答案】 （1）XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比分别为 15%，10%； （2）补全条形图如图所示，见解析； （3） 12 6 x y 【解析】 【分析】 （1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可； （2）分别求出 S、L、XL 的数量，然后补全条形图即可； （3）由销量比，则2xy，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案 【详解】解： （1）抽取的总数
26、为：60 30%200（件） ， XXL 的百分比： 20 100%10% 200 ， XL 的百分比：1 25%30%20% 10%15% ； XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比分别为 15%，10% （2）根据题意， S 号的数量：25% 20050（件） ， L 号的数量：20% 20040（件） ， XL 号数量：15% 20030（件） ， 补全条形图如图所示 （3）由题意，按照 M 号，XL 号运动服装的销量比，则2xy， 根据概率的意义，有 3 25 x xy ， 2 3 25 xy x xy ， 解得： 12 6 x y 【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形
27、统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计 图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 21.如图，海岛 B 在海岛 A 的北偏东30方向，且与海岛 A 相距 20 海里，一艘渔船从海岛 B 出发，以 5 海 里/时的速度沿北偏东75方向航行，同时一艘快艇从海岛 A 出发，向正东方向航行2 小时后，快艇到达 C 处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处 （1）求ABE的度数； （2）求快艇的速度及 C，E 之间的距离 （参考数据：sin150.26,cos150.97,tan150.27, 31.73 ） 【答案】 （1）135ABE； （2）快艇的速度为 9
28、.85 海里时，C，E 之间的距离为 19.9 海里 【解析】 【分析】 （1）过点 B 作BDAC于点 D，作BFCE于点 E，根据题意求出ABD 和ADE度数，即可求解； （2）求出 BE 的长度，根据解直角三角形求出 BF 和 EF 的长度，在RtABD中，求出 AD、BD 的长度， 证出四边形BDCF为矩形，可求得快艇的速度和 CE 之间的距离 【详解】 （1）过点 B 作BDAC于点 D，作BFCE于点 E 由题意得：30NAB，75GBE， /AN BD， 30ABDNAB， 而18018075105DBEGBE 30105135ABEABDDBE （2）5 210BE （海里）
29、在RtBEF中，907515EBF， sin15100.262.6EFBE （海里） ， cos15100.979.7BFBE （海里） ， 在RtABD中，20,30ABABD， 1 sin302010 2 ADAB （海里） ， 3 cos302010 310 1.7317.3 2 BDAB （海里） ， BDAC，BFEC，CEAC，90BDCDCFBFC， 四边形BDCF为矩形， 9.7,17.3DCBFFCBD， 109.719.7ACADDC 2.6 17.3 19.9CEEFCF， 设快艇的速度为 v 海里/时，则 19.7 9.85 2 v （海里时） 答：快艇速度为 9.85
30、 海里时，C，E 之间的距离为 19.9 海里 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用方位角问题，理清题中各个角的度数，熟 练掌握解直角三角形的方法是解题的关键 22.如图，AC为O的直径，AP为 O的切线，M 是AP上一点，过点 M 的直线与O交于点 B，D 两 点，与AC交于点 E，连接,AB AD ABBE （1）求证：ABBM； （2）若3AB ， 24 5 AD ，求O的半径 【答案】 （1）见解析； （2）O的半径为 2.5 【解析】 分析】 （1）根据切线的性质得到APAC，可得1290 ，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到 14 ，故可证明； （2） 解
31、法 1， 先连接 BC,证明 24 5 AMAD， 得到 EM=6， 根据勾股定理求出 AE， 再根据MAECBA 列出比例式求出直径，故可求出；解法 2，连接 CD，同理得到 24 5 AMAD，根据勾股定理求出 AE， 设ECx，根据等腰三角形的性质得到 CD=CE=x,再利用 Rt ACD 列出方程故可求出 x,再得到直径即可 求解 【详解】 （1）证明：AP为O的切线，AC为O的直径， APAC， 3490 ， 1290 ， 又AB BE， 23， 14 ABBM （2）方法 1：解：如图，连接BC， AC为直径，90ABC， 390C ，而3490 ， 4C， 又：14,CD ， 1
32、DC ， 24 5 AMAD， 3AB ，ABBMBE，6EM ， 2 222 2418 6 55 AEEMAM 1,90CEAMABC ， MAECBA， MEAE CAAB ， 18 6 5 3CA ， 18 5 18 5 CA O的半径为 2.5 方法 2：解：如图，连接 CD， ABBE，23， 又2, 3DECEDC ， DECEDC， DCEC， AC为直径，90ADC， 90ADEEDC， 而3490 ,3EDC ， 4ADE ， 又1 4 ， 1ADE ， 24 5 AMAD， 3,ABABBMBE， 6EM ， 2 222 2418 6 55 AEEMAM 设ECx，则 18
33、 , 5 ACAEECx DCx， 在Rt ADC中， 222 ADDCAC， 22 2 2418 55 xx ，解得 7 5 x 187 5 55 AC ， O的半径为 2.5 【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与 性质及等腰三角形的性质 23.2020 年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力 度某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按 30 天计）的第 x 天（x 为正整数）的销售价格 p（元/千克） 关于 x 的函数关系式为 2 4(020) 5 1 12(2030) 5 xx p xx
34、 ，销售量 y（千克）与 x 之间的关系如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ （销售额=销售量 销售价格） 【答案】 （1） 280(020) 440(2030) xx y xx ； （2）当月第 15 天，该产品的销售额最大，最大销售额是 500 元 【解析】 【分析】 （1）分为020 x和20 x30，用待定系数法确定解析式即可； （2）分别计算出020 x和20 x30时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可 【详解】 （1）当020 x时，设 11 yk xb，由图象得： 1 11 8
35、0 2040 b kb 解得： 1 1 2 80 k b 280(020)yxx 当20 x30时，设 22 yk xb，由图象得： 22 22 2040 3080 kb kb 解得： 2 2 4 40 k b 440(2030)yxx 综上， 280(020) 440(2030) xx y xx （2）设当月该农产品的销售额为 w 元，则w yp 当020 x时， 22 244 ( 280)424320(15)500 555 wxxxxx 4 0 5 ，由二次函数的性质可知： 当 15x 时，500w 最大 当20 x30时， 22 144 (440)1256480(35)500 555 w
36、xxxxx 4 0,2030 5 x ，由二次函数的性质可知： 当30 x 时， 2 4 (3035)500480 5 w 最大 500480 当 15x 时，w 取得最大值，该最大值为 500 答：当月第 15 天，该产品的销售额最大，最大销售额是 500 元 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并 进行准确的计算是解题的关键 24.如图，抛物线 2 15 :3 24 L yxx与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B （1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标； （2） 如图 1， 点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，
37、 过点 P 作PCx轴， 垂足为 C，PC交AB 于点 D，求PDBD的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，将抛物线 2 15 :3 24 L yxx向右平移得到抛物线 L ，直线AB与抛物线 L 交于 M，N 两 点，若点 A 是线段MN的中点，求抛物线 L 的解析式 【答案】 （1） 直线AB的解析式为 3 3 4 yx， 抛物线顶点坐标为 5121 , 432 ； （2） 当 13 4 x 时，PDBD 的最大值为 169 32 ； 1357 , 432 P ； （3） 2 1133 242 yxx 【解析】 【分析】 （1）先根据函数关系式求出 A、B 两点的坐标，设直
38、线AB的解析式为y kxb ，利用待定系数法求出 AB 的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； （2） 过点 D 作DEy轴于 E， 则/DE OA 求得 AB=5， 设点 P 的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D 的坐标为 3 ,3 4 xx ，ED=x，证明BDEBAO，由相似三角形的性质求出 5 4 BDx，用含 x 的式子表示 PD，配方求得最大值，即可求得点 P 的坐标； （3）设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm，将 L的解析式和直线 AB 联立，得到关于 x 的方 程，设 1122 ,M x yN x y，则
39、12 ,x x是方程 22 325 20 416 xmxm 的两根，得到 12 3 2 4 xxm ，点 A 为MN的中点， 12 8xx，可求得 m 的值，即可求得 L的函数解析式 【详解】 （1）在 2 15 3 24 yxx中， 令0y ，则 2 15 30 24 xx，解得 12 3 ,4 2 xx ， (4,0)A 令0 x，则3y ，0, 3B 设直线AB的解析式为y kxb ，则 40 3 kb b ，解得： 3 4 3 k b ， 直线AB的解析式为 3 3 4 yx 2 2 1515121 3 242432 yxxx ， 抛物线顶点坐标为 5121 , 432 （2）如图，过
40、点 D 作DEy轴于 E，则/DE OA 4,3OAOB， 2222 435ABOAOB ， 设点 P 的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D坐标为 3 ,3 4 xx ， EDx /DE OA， BDEBAO， BDED BAOA ， 54 BDx ， 5 4 BDx 而 22 3151 332 4242 PDxxxxx ， 2 22 15113113169 2 24242432 PDBDxxxxxx ， 1 0 2 ， 5 4 4 x，由二次函数的性质可知： 当 13 4 x 时，PDBD的最大值为 169 32 2 2 3531351357 33 44444432
41、xx ， 1357 , 432 P （3）设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm， 联立 2 3 3 4 1121 () 232 yx yxm ， 2 31121 3() 4232 xxm， 整理，得： 22 325 20 416 xmxm ， 设 1122 ,M x yN x y，则 12 ,x x是方程 22 325 20 416 xmxm 的两根， 12 3 2 4 xxm 而 A 为MN的中点， 12 8xx， 3 28 4 m ，解得： 13 4 m 抛物线 L 的解析式 2 2 1131211133 2432242 yxxx 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解 题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质
