1、 - 1 - 河南省豫西名校 2017-2018学年高二下学期第一次联考 数学（理）试卷 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知曲线 在 处的切线垂直于直线 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】 A 【解析】函数的导数 ，则在点 处的切线斜率 直线的斜率 直线和切线垂直， . 故选 A 【点睛】本题主要考查函数的切线斜率的计算，利用导数的几何意义求出切线斜 率是解决本题的关键 2. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】因为 ， 所以
2、 ， 故选B. 3. 若函数 在 处的导数为 ，则 为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】 B 【解析】由于 y f(a x) f(a x)， 其改变量对应 2 x， - 2 - 所以 2f( a) 2A， 故选 ： B 4. 已知 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析 】由题意得 ，选 B. 5. 设定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意得构造函数 ， 在 上 0，所以 在 上单调递增，所以 ，即 选 A. 6. 若函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D.
3、- 3 - 【答案】 A 【解析】由导函数图像可知导函数先负，后正，再负，再正，且极值点依次负，正，正。对应的函数图像应是先减，后增，再减，再增，排除 B,D，这两上为先增，再排除 C,因为极值点第二个应为正，选 A. 7. 已知 是函数 的极值点，若 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 D 根据图象可知， ，所以 ， ，故选 D. 8. 已知球 的直径长为 12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】 C 【解析】设正四棱锥 S?ABCD的底面边长等于 a，底面到球心的距离等于 x， 则： ，整理可得
4、： ， 而正四 棱锥的高为 h=6+x， 故正四棱锥体积为： - 4 - 当且仅当 ，即 x=2 时，等号成立， 此时正四棱锥的高为 6+2=8. 本题选择 C选项 . 点睛： 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 9. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ,因为函数 f(x)在区间 上单调
5、递增，所以导函数在区间 上上 ，即 ，选 A. 【 点睛】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f(x)在 (a， b)上递增 (或递减 )的充要条件应是 f ( x)0( 或 f ( x)0) ， x( a， b)恒成立，且 f ( x)在 (a， b)的任意子区间内都不恒等于 0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ( x0) 0，甚至可以在无穷多个点处 f ( x0) 0，只要这样的点不能充满 所给区间的任何一个子区间 10. 若函数 的图象总在直线 的上方，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意得
6、在区间 上恒成立， ，令函数所以函数 在区间（ 0， 1）上单调递减，在区间 上单调递增，所以 ，所以 ，选 D. 【 点睛 】 - 5 - 分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围 .一般地， 恒成立，只需 即可； 恒成立，只需 即可 .(2)函数思想法：将不等式转化为某含 待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值 (最值 )，然后构建不等式求解 .注意函数最值取不到时，等号是否可取的问题。 11. 已知双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，过点 且垂直于 轴的直线与双曲线 相交于不同的两点 ，若 为锐角三角形，则双曲
7、线 的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】双曲线 右顶点为 ，左焦点为 ， ，过点 作垂直于 轴的直线与双曲线相交于 两点，则 若 为锐角三角形，只要 为锐角，即 ，即 即 故选 A 点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 . 12. 偶函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意构造函数 所以函数 F(x)在区间 上- 6
8、 - ， F(x)在区间 上单调递减。 ，当 时，可变形为 ，即 ，即 。 【 点睛】对于偶函数 ，在定义域上 。偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 二、填空题（每题 4分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 ，则 _. 【答案】 120 【解析】因为 f(x) x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 6， 所以 f( x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) x(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) x(x 1)(x 3)(x 4)( x 5) x(x 1)(x 2)(x 4)(x 5) x(x 1)(x 2)(x 3)(x 5) x(x
9、1)(x 2)(x 3)(x 4)， 所以 f(0) 12345 120. 故答案为： 120 点睛：本题也可以利用整体思想处理，令 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)， 则 f(x) x 6， f( x) + x , f(0) ,. 14. 函数 在 上的最大值是 _. 【答案】 【解析】 ， ， 解得 ， 当 时 ， ； 当时 ， ， 当 时函数取极小值也就是最小值为 ， 故答案为 . 15. 已知函数 的图象与直线 有三个不同的交点，则 的取值范围是 _. 【答案】 【 解析】令 ，得 ， 可得极大值为 ，极小值为 . . - 7 - 16. 设函数 ，若对所有 都有 ，
10、则实数 的取值范围为 _. 【答案】 【解析】令函数 ， ， ， 在区间 单调递增，且 ， 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递增， 当 时， ，所以 在区间 单调递增，由 F(0)=0,即 恒成立，符合。 当 时， 在区间 上单调递增，所以 =0有唯一根，设为 ，所以 在区间 上单调递减，在区间 单调递增，而 。所以 ，不符。所以 ，选 【 点睛】 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题二是带参求导，把函数变形适当的形式，再求导对参数讨论分类讨论导函数及函数的性质，进一步求出参数的范围。 三、解答题 （本
11、大题共 6题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 命题 ：实数 满足 （其中 ），命题 ：实数 满足 . （ 1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （ 2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围 . 【答案】 （ 1） .（ 2） . 【解 析】试题分析：（ 1）由 ,解出命题 P为真时的 x范围，和 q为真时 x范围，再由 为真，即 p和 q都为真，两个范围做交运算。（ 2）因为 是 的充分不必要条件，则 ， 可得实数 的取值范围。 试题解析：（ 1）由 得 ， - 8 - 又 ，所以 ， 当 时， ，即 为真时，实数 的取值范围是 ， 由 得 ，解得 ，
12、即 为真时，实数 的取值范围是 ， 若 为真，则 真且 真， 所以实数 的取值范围是 . （ 2）由（ 1）知 ： ，则 ： 或 ， ： ，则 ： 或 因为 是 的充分不必要条件，则 ， 所以 解得 ，故实数 的取值范围 是 . 【 点睛 】 为真，即 p与 q同时为真。 为假，即 p与 q中至少有一个为假。 为真，即 p与 q 至少有一个为真。 为假，即 p与 q同时为假。 18. 某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为 2的圆柱，上部是母线长为 2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高 为 ，储粮仓的体积为 . （ 1）求 关于 的函数关系式；（圆周率用 表示） （ 2
13、）求 为何值时，储粮仓的体积最大 . 【答案】 （ ） ， .（ ） . 【解析】试题分析：（ ）由题圆锥和圆柱的底面半径 ， 可得储粮仓的体积， . （ ）利用导数求（ ）中的函数最值即可 . 试题解析：（ ） 圆锥和圆柱的底面半径 ， . - 9 - ，即 ， . （ ） ，令 ， 解得 ， .又 ， （舍去） . 当 变化时， 的变化情况如下表： 故当 时，储粮仓的体积最大 . 点晴：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件
14、，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出 f(x)的解 析式并指明定义域 . 19. 已知函数 . （ 1）求 在 处的切线方程； （ 2）讨论函数 的单调性 . 【答案】 （ 1） . （ 2） 在 和 内单调递减，在 和 单调递增。 【解析】试题分析： （ 1）由于是在这点处的切线，只需求出斜率及点坐标，利用点斜式写出切线方程。（ 2）对函数求导并因式分解 ，可求得单调区间在。 试题解析：（ 1） ， 。 。 又 ， 所以曲线 . - 10 - （ 2）令 ， 令 ，解得 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增。 综上可知 在 和 内单调递减， 在 和 单调递增。 【 点睛】利用导数研究函数单调性的步骤 第一步：确定函数 f(x)的定义域； 第二步：求 f( x); 第三步：解方程 f( x) 0在定义域内的所有实数根，考虑因式分解 ； 第四步：将函数 f(x)的间断点 (即 f(x)的无定义点 )的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间； 第五步：确定 f( x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性 20. 棱台 的三视图与直观图如图所
