1、 - 1 - 滁州市民办高中 2017-2018学年下学期第二次月考 高二理科数学 注意事项： 1. 本卷分第 I卷 （选择题） 和第 II 卷 （非选择题） ，满分 150分，考试时间 120分钟。 2. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。 3. 请将答案正确填写在答题卷上，写在其它地方无效。 4. 本次考题主要范围：选修 2-2等 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 1.已知复数? ?2121 iz i? ?，则 z? （ ） A. 3144i? B. 1344i? C. 11 2i? D. 11 2i? 2.函数 ? ? lnxfx x? 的导数为（ ） A.
2、1x B. 21xC. 2ln 1xx?D. 21 lnxx?3.直线 y=4x与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A.2 B.4 C.2 D.4 4.函数 在 上单调递增，那么 a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.已知分段函数 21 , 0,(), 0,xxxfxex? ? ?，则 31 ( 2)f x dx?等于（ ） A. 13e? B.2e? C.713 e? D. 12e? 6.ab 表示一个两位数，十位数和个 位数分别用 a ， b 表示，记 ? ? 3f ab a b ab? ? ?，如? ?1 2 1 2 3 1 2 9f ? ? ? ? ?
3、 ?，则满足 ? ?f ab ab 的两位数的个数为（ ） A. 15 B. 13 C. 9 D. 7 7.已知函数 f(x) x3 bx2 cx的图象如图所示，则 2212xx? ( ) - 2 - A. 23 B. 43 C. 83 D. 163 8.定义在 R上的偶函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若对任意的实数 x，都有 2f（ x） +xf（ x） 2恒成立，则使 x2f（ x） 4f（ 2） x2 4成立的实数 x的取值范围是（ ） A.（ ， 2） （ 2， + ） B.（ 2， 0） （ 0， 2） C.x|x2 D.（ 2， 2） 9.函数 ? ? ? ? 2 11 e
4、 , 12xf x x k x k? ? ? ? ?,则 ?fx在 ? ?0,k 的最大值 ? ?hk? （ ） A. ? ?32ln2 2 ln2? B. 1? C. ? ?22ln 2 2 ln 2 k? D. ? ? 31 kk e k? 10.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36 223 2，所以 36的所有正约数之和为（ 1 3 32）（ 2 23 23 2）（ 22 223 223 2）（ 1 2 22）（ 1 3 32） 91，参照上述方法，可得 100的所有正约数之和为 （ ） A. 217 B. 273 C. 455 D. 651 11.已知点 P是曲线 上一动点
5、， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角， 则 的最小值是（ ） A.0 B. C. D. 12.已知 a 是常数，函数 ? ? ? ?3211 1232f x x a x a x? ? ? ? ?的导函数 ? ?y f x? 的图像如图所示，则函数 ? ? 2xg x a?的图像可能是（ ） A. B. C. D. - 3 - 第 II卷（非选择题 90分 ） 二、填空题 13.若 f（ 2） =3， f （ 2） = 3，则 = 14.若复数 满足 （ 为虚数单位），则 _ 15.函数 f（ x） =ex+x 在 1， 1上的最大值是 16.定义函数 y=f（ x）， xI ，若存在常数 M，对
6、于任意 x1I ，存在唯一的 x2I ，使得=M，则称函数 f（ x）在 I上的 “ 均值 ” 为 M，已知 f（ x） =log2x， x1 ， 22014，则函数 f（ x） =log2x在 1， 22014上的 “ 均值 ” 为 三 、解答题 17.设函数 ? ? lnf x x x? （）求 ?fx的单调区间； （）求 ?fx在区间 11,82?上的最大值和最小值 . 18.观察下列不等式： 41 3? ； 2181 25?； 221 1 121 2 3 7? ? ?； 2 2 21 1 1 1 61 2 3 4 9? ? ? ?； ? ? （ 1）由上 述不等式，归纳出与正整数 n
7、有关的一个一般性结论； （ 2）用数学归纳法证明你得到的结论 . 19.已知复数 1 2z a i? ， 2 34zi? （ aR? ， i 为虚数单位） - 4 - （ 1）若 12?zz是纯虚数，求实数 a 的值； （ 2）若复数 12?zz在复平面上对应的点在第二象限 ，且 1 4z? ，求实数 a 的取值范围 . 20.已知函数 ? ? 1xf x e x? ? ? （ 1）若存在 41,ln3x ?，使 10xa e x? ? ? ?成立，求 a 的取值范围； （ 2当 0x? 时， ? ? 2f x tx? 恒成立，求 t 的取值范围。 21.某工艺品厂要设计一个如图 1所示的工艺
8、品，现有某种型号的长方形材料如图 2所示，其周长为 4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图 1的情况如图， ABCD（ AB AD）为长方形的材料，沿 AC折叠后 AB交 DC于点 P，设 ADP的面积为 S2 ， 折叠后重合部分 ACP的面积为 S1 （）设 AB=xm，用 x表示图中 DP的长度，并写出 x的取值范围； （）求面积 S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？ （）求面积（ S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？ 22.已知函数 . （）讨论 的单调性； （）设 ，证明：当 时， ； （）设 是 的两个零点，证明 . - 5 - 高二理科数学 参 考 答案 1.C 【解析】
9、? ? ? ?2 121 2 1 2 2 112 2 2 2 21 iii i i i izzi i ii ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，选 C 2.D 【解析】221 1 l nl n 1 l n, xxxxxyyx x x? ? ? ? ? ? ?本题选择 D选项 . 3.D 【解析】先根据题意画出图形，得到积分上限为 2，积分下限为 0， 曲线 y=x3与直线 y=4x在第一象限所围成的图形的面积是 （ 4x x3） dx， 而 （ 4x x3） dx=（ 2x2 x4） | =8 4=4， 曲边梯形的面积是 4， 故选： D 4.A 【解析】利用函
10、数在某个区间上单调递增的条件是此函数的导数在此区间上大于或等于 0，得到 a-2x0 在 -2， - 上恒成立，故 a-2（ - )0 ，从而求得 a的取值范围 由题意知， y = 在 -2， - 上大于或等于 0，故 a-2x0 在 -2， - 上恒- 6 - 成立而 a-2x 在 -2， - 上是个减函数， a -2（ - )0 ， a -1 故选 A 5.C 【解析】 3 2 3 2 3221 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 5 ) xf x d x f x d x f x d x x x d x e d x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3
11、2 2 3 2 3 2231 1 1( 2 5 ) ( ) ( 2 2 2 5 2 ) ( 1 2 1 5 1 ) 123 3 3xx x x e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 71 ( ) ( ) 3ee e? ? ? ? ? ? ? ?，故选 C. 6.C 【解析】 由题设可得 3 10a b ab a b? ? ? ?， 即 9 3 3a ab b? ? ?， 故应选答案 C。 7.C 【解析】 ? ? ? ? ? ? 321 2 3 2f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ， ? ? 2 1 2 1 2 23 6 2
12、 0 2 , 3f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此 2212 2842 33xx? ? ? ? ?， 选 C. 8.A 【解析】当 x 0时，由 2f（ x） +xf （ x） 2 0可知：两边同乘以 x得： 2xf（ x） x2f（ x） 2x 0 设： g（ x） =x2f（ x） x2 则 g （ x） =2xf（ x） +x2f （ x） 2x 0，恒成立： g （ x）在（ 0， + ）单调递减， 由 x2f（ x） 4f（ 2） x2 4， x 2f（ x） x2 4f（ 2） 4， 即 g（ x） g（ 2） - 7 - 即 x 2； 当 x
13、0 时，函数是偶函数，同理得： x 2， 综上可知：实数 x的取值范围为（ ， 2） （ 2， + ）， 故选： A 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质：对称性，求出 x 0的取值范围 9.D 【解析】 由题知 2 2xxf x x e k x x e k? ? ? ?（ ） （ ），令 0fx?（ ） ，解得 1202x x ln k?， 构造函数令 12 , 12k k ln k k? ? ? ? ? ?（ ） ， ，则 ? ? 11 1 0kk kk? ? ? ? ?，即 k?（ ） 在 112? ?， 上是减函数， 112k?
14、? ? ?（ ） （ ）， 112 2ln k k? （ ） 即 02ln k k 所以 f x f x（ ） ， （ ） 随 x 的变化情况如下表： x 02ln k（ ， ） 2lnk 2ln k k（ ， ） fx（ ） ? 0 ? fx（ ） 极小值 又3 3 30 1 1 0 1 1 1 1k k kf f k k e k f k f k e k k e k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 221 1 ( 1 1 1kkk e k k k k e k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（
15、 ） （ ） ） （ ） （ ）又 112k ? ?， ，则 10k? 对任意的 112k ? ?， xye? 的图象恒在 2 1y k k? ? ? 下方，所以 2 10ke k k? ? ? ?（ ），即00f k f?（ ） （ ） ，即 0f k f?（ ） （ ） 故函数 fx（ ） 在 ? ?0 k， 上的最大值31 kM f k k e k? ? ? ?（ ） （ ）故本题答案选 D ? ?y f x? ? ?,ab ? ?y f x? ? ?,ab ? ?y f x? ? ? ? ?,f a f b - 8 - 10.A 【解析】 类比 36 的所有正约数之和的方法，有： 10
16、0的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 100= 2225? ， 所以 100的所有正约数之和为 (1+2+ 2 )(1+5+25 )=217. 可求得 100的所有正约数之和为 217.故选 A 11.D 【解析】 11. . 故答案为 :D. 12.D 【解析】 12. 试 题 分 析 ： 令? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 1 ,f x x a x a x a x x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2xg x a?的图象为 D. 13.9 【解析】由洛必达法则可知： = =3 2f （ 2） =9， 故答案为：9 由函数为 型，根据洛必达法则
17、，代入即可求得 =9 14. 【解析】 由 ，得 ，则 ，故答案为 . 15.e+1 【解析】 f （ x） =ex+1 0； f （ x）在 1， 1上单调递增； x=1 时， f（ x）取最大值 e+1 故答案为： e+1 - 9 - 可求导数，判断导数的符号，从而得出 f（ x）在 1， 1上单调递增，从而便可求出 f（ x）的最大值 16.1007 【解析】 f（ x） =log2x， x1 ， 22014，是单调增函数， 函数 f（ x） =log2x在 1， 22014上的 “ 均值 ” 为 M= （ log21+log222014） =1007， 故答案为： 1007 f（ x） =log2x， x1 ， 22014，是单调增函数，利 用定义，即可求出函数 f（ x） =log2x在 1，22014上的 “ 均值 ” 17. 1.（ 1）单调递增区间为 1,e?，单调
