1、 - 1 - 2017-2018 学年莆田一中高二下学期期初理科数学考试 一 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数 231 ii?的共轭复数是 ( ) A 3 4i B 3 4i C 3 4i D 3 4i 2、下列说法错误的是（ ） A.对于命题 P： xR? ,x2+x+10, 则 ? P： xR? ,x02+x0+1 0 B.“ x=1”是“ x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若命题 p? q为假命题，则 p,q都是假命题 D.命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x 1
2、，则 x2-3x+2 0” 3 lg 9 lg 11与 1的大小关系是 ( ) A lg 9 lg 11 1 B lg 9 lg 11 1 C lg 9 lg 11 1 D不能确定 4 函数 y f x?（ ） 在定义域内可导，导函数 y f x? （ ） 的 图像如图所示，则函数 y f x?（ ） 的图像为（ ） A B C D 5、已知双曲线 1ny-mx2222 ? （ m0,n0）的离心率为 3 ，则 椭圆 1nymx2222 ? 的离心率为（ ） A 12 B 33 C 32 D 22 6. 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点为 F ， ,AB为抛物线上两个不同的点，
3、满足| | | | 8AF BF?，且线段 AB 的中点坐标为 (3,3) ，则 p? （ ） A 12 B 2 C 4 D 8 - 2 - 7设 ,mn是空间两条直线， ,?是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ） A. 当 n ? 时， “ n ? ” 是 “ /?” 的充要条件 B. 当 m? 时， “ m ? ” 是 “ ? ” 的充分不必要条件 C. 当 m? 时， “ /n? ” 是 “ /mn” 的必要不充分条件 D. 当 m? 时， “ n ? ” 是 “ mn? ” 的充分不 必要条件 8在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑 A
4、BCD 中， AB? 平面 BCD ，且 AB BC CD?，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ( ) A. 12 B. 12? C. 32 D. 32? 9已知 1F ， 2F 分别是椭圆 22136 20xy?的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 1FP的中点，2OM? ，则 P 点到椭圆左焦点的距离为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10 若函数 ? ? 1lnf x x mx x? ? ?在 ? ?1,? 上是单调函数， 则 m 的取值范围是（ ） A. 1( ,0) , )4? ? B. 1( , 0, )4? ? ? C. 1 ,04? D. (
5、 ,1? 11在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 , 2BAC ?， 1 1AB AC AA? ? ?， 已知 G 和 E 分别为11AB 和 1CC 的中点 ， D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点 (不包括端点 )， 若GD EF? ， 则线段 DF 的长度的取值范围为 ( ) A. 5 ,1)5 B. 5 ,15 C. 25( ,1)5 D. 25 ,1)5 12 已知函数 ? ? 1 lnxfx x? ，若关于 x 的不等式 ? ? ? ?2( ) 0f x af x?恰有两个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） - 3 - A 1 ln3 1 ln2 , )32
6、? B 1 ln 2 1 ln3( , 23? C 1 ln 2 1 ln3( , )23? D 1 ln3( 1, 3? 二、 填空题（本题共 5 道小题，每小题 5分，共 25 分） 13. 如图阴影部分是由 曲线 21,y y xx?与直线 2, 0xy?围成，则其面积为 _ 14、若 x， y满足约束条件? x+y2x-3y-x，则 z=3x-4y的最大值为 . 15已知 1F ， 2F 分别是 221xy?的左、右焦点，点 P 为双曲线上一点，若 12PF PF? ,则12PF PF? 的值为 _ 16. 过点 ? ? ?,0 0M m m ? 作直线 l ，与抛物线 2 4yx?
7、有两交点 AB, ，若 0FA FB?，则 m的取值范围是 17 设函数 ? ? 321 33f x x x x? ? ?，若方程 2| ( ) | | ( ) | 1 0f x t f x? ? ?有 12个不同的根，则实数 t 的取值范围为 _. 三解答题：本大题共 5小题，共 65 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18 （ 12分） 设函数? ?x x a? （ 1）当2a?时，解不等式? ? 41f x x? ? ?； （ 2）若? ? 1fx?的解集为? ?0,，? ?11 0 , 02 a m nmn? ? ? ?，求证：24? - 4 - 19（ 13分）如图
8、，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在的平面互相垂直， AD CD， AB CD， AB=AD= CD=2，点 M是线段 EC的中点 （ 1）求证： BM平面 ADEF； （ 2）求证：平面 BDE平面 BEC； （ 3）求平面 BDM与平面 ABF所成的角（锐角）的余弦值 20 (13分 )已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ?， 且 ? ? ? ? 1 3, 00ff? ? ?. （ ） 若 ? ? 00f ? ， 过原点 作 曲线 ? ?y f x? 的切线 l ，求直线 l 的方程； （ ） 若 ?fx有 3 个 零点 ，求实数 c 的取值范围 . 21 (13 分 )
9、 已知椭圆 C： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的 离心率为 12 ，且 抛物线 2 4yx? 的准线恰好过椭圆 的一个焦点 。 （ 1）求椭圆 C的方程；（ 2）过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆交于 ,MN两点，求 OMN? 面积的最大值 。 22 (14分 ) 已知0t?，设函数 323 ( 1)( ) 3 12tf x x x tx? ? ? ?， - 5 - （ 1） 存在 ? ?0 0,2x ? ，使得 0()fx 是 ()fx在 ? ?0,2 上的最大值，求 t 的取值范围； （ 2） ( ) 2xf x xe m? ? ?对任意 ? ?0,x? ? 恒成立时，
10、m 的最大值为 1，求 t 的取值范围 . 答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C C B D B C A C B A B 二 填空题 13.2 ln23? 14.445 15. 23 16. (3 2 2,3 2 2)? 17.34( , 2)15? 三解答题 18解：（ 1）当 2a? 时，不等式为2 1 4xx? ? ? ?，当 11, 2 1 4 , 2x x x x? ? ? ? ? ? ?, 当 1 x 2, 2 1 1 4xx? ? ? ? ?无解，当 72 , 2 1 2 3 4 , 2x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?,
11、?不等式的解集为17,22? ? ? ? ? ? ? ? ?； （ 2）? ? 1fx?即1xa?，解得a x a? ? ?，而? ? 1fx?解集是? ?0,， 1012a? ?， 解得 1a? ,所以? ?1 0 , 02 mnmn? ? ? ?所以 1 1 22 ( 2 ) 1 1 422 nmm n m n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ?当且仅当 2 1 1,122nmm n m? ? ?即 2, 1mn?时等号成立 . 19 （ 1）证明：取 DE的中点 N，连结 MN， AN在 EDC中， M， N分别为 EC， ED的中点，则MN CD 且 由已知 AB CD，
12、 ， 得 MN AB，且 MN=AB，四边形 ABMN为平行四边形， BM AN， - 6 - 因为 AN?平面 ADEF，且 BM?平面 ADEF BM 平面 ADEF （ 2）证明：在正方形 ADEF 中， ED AD又平面 ADEF 平面 ABCD， 平面 ADEF平面 ABCD=AD， ED 平面 ABCD ED BC 在直角梯形 ABCD中， AB=AD=2， CD=4， 得 在 BCD中， ， CD=4，可得BC BD又 ED BD=D，故 BC 平面 BDE 又 BC?平面 BEC，则平面 BDE 平面 BEC （ 3）解：如图，建立空间直角坐标系， 则 A（ 2， 0， 0），
13、 B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 4， 0）， D（ 0， 0， 0）， E（ 0， 0， 2）因为点 M是线段 EC的中点， 则 M（ 0， 2， 1）， ，又 设 是平面 BDM的法向量， 则 ， 取 x1=1，得 y1= 1， z1=2，即得平面 BDM的一个法向量为 由题可知， 是平面 ABF的一个法向量 设平面 BDM与平面 ABF 所成锐二面角为， 因此， 20【解析】（） 由 ? ? ? ? 1 3, 00ff? ? ?可知 3, 0ab? ? .又因 ? ? 00f ? ，故 0c? . 所以 ? ? 323f x x x?.设切点 ? ?320 0 0,3x x x?
14、，切线斜率 20036k x x?，则切线方程? ? ? ? ?3 2 20 0 0 0 03 3 6y x x x x x x? ? ? ? ?，由切线过 ? ?,0 ， 则 ? ? ? ? ?3 2 20 0 0 0 03 3 6x x x x x? ? ? ? ?，解得 0 0x? 或0 32?， 当 0 0x? ，切线 0k? ，切线方程 0y? ， - 7 - 当0 32x?，切点 3 27,28?，切线 94k? ，切线方程 94yx? ，直线 l 的方程 0y? 或94yx? . （） 若 ?fx有 3个零点转化为 yc? 与 ? ? 323g x x x?有三个不同的交点， ?
15、 ? ? ? 3 2g x x x?， 令 ? ?0gx? ，解得 0x? ， 2x? . 易知 0x? 为极大值点 ， 2x? 为极小值点 . 则当 0x? ， ?fx取极大值 0， 当 2x? 时，取极小值 4? . 结合函数图象可知 40c? ? ? ，所以 04c? . 21. （ 1）设椭圆的焦半距为 c ，抛物线 2 4yx? 的准线为 1x? ， 1c? 12ce a?， 2 2 22, 3a b a c? ? ? ? ?所以椭圆 C 的方程是22143xy? - 4分 （ 2）由题意直线不能与 x 轴垂直，否则将无法构成三角形 设其斜率为 k ，那么直线 l 的方程为 1y k
16、x? - 5 分 联立 l 与椭圆 C 的方程，消去 y ，得 22(4 3) 8 8 0k x kx? ? ? ? 226 4 3 2 (4 3 ) 0kk? ? ? ? ? 设点 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y得12 2843kxx k? ? ? ?，12 2843xx k? ?- 7 分 所以 22212 24 6 ( 2 1 ) ( 1 )1 43kkM N k x x k ? ? ? ? ?， - 8分 又 O 到 l 的距离21 1d k? ? 所以 OMN? 的面积 221 2 6 2 12 4 3kS d M N k ? ? -9分 22 1( 1
17、)t k t? ? ?设 令，那么 2221kt?， 224 3 2 1kt? ? ? - 8 - 22 6 2 6121 2tSt t t? ? ? ?， -11分 .因为 26( ) ( 1)12f x xxx? 是减函数 -12分 所以当 1x? 时，max 2 6 2 62 1 3S ?所以 OMN 面积的最大值是 263 -13分22（ 1） 2( ) 3 3 ( 1 ) 3 3 ( 1 ) ( )f x x t x t x x t? ? ? ? ? ? ?， -1分当 01t? 时， ()fx在 (0,)t 上单调递增，在 (,1)t 单调递减，在 (1,2) 单调递增， ( ) (2)f t f? ，由 ( ) (2)f t f? ，得 3234tt? ? ? ， 3234tt? ? ? 在 01t? 时无解，-2分 当 1t? 时，不合题意； -3分 当 12t? 时， ()fx在 (0,1) 单调递增，在 (1,)t 递减，在 (,2)t 单调递增， (1) (2)12fft
