1、24.1圆的有关性质复习初中数学知识框架圆的圆的基本基本性质性质圆的轴对称性圆的轴对称性垂径定理垂径定理圆的旋转不变性圆的旋转不变性弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角与同弧上的圆周角与圆心角之间的关系圆心角之间的关系圆内接四边形圆内接四边形初中数学知识框架圆的圆的基本基本性质性质圆的轴对称性圆的轴对称性垂径定理垂径定理圆的旋转不变性圆的旋转不变性弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角与同弧上的圆周角与圆心角之间的关系圆心角之间的关系圆内接四边形圆内接四边形初中数学垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦
2、，并且平分弦所对的两条弧.ACBCADBD=CD是是O的直径的直径 AEBE=初中数学垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.ACBCADBD=CD是是O的直径的直径 初中数学平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧.垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.AEBE=ACBCADBD=CD是是O的直径的直径 初中数学垂径定理及其推论常用的辅助线：常用的辅助线：C计算时通常需要构造半径计算时通常需要
3、构造半径OA、半弦、半弦AC和垂线和垂线段段OC围成的直角三角形围成的直角三角形.初中数学垂径定理及其推论常用的辅助线：常用的辅助线：CD2221()().2RRCDAB-=已知弦已知弦AB的长和的长和CD的长，的长，可列方程求半径：可列方程求半径：初中数学知识框架圆的圆的基本基本性质性质圆的轴对称性圆的轴对称性垂径定理垂径定理圆的旋转不变性圆的旋转不变性弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角与同弧上的圆周角与圆心角之间的关系圆心角之间的关系圆内接四边形圆内接四边形初中数学在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
4、所对的弦也相等.弧、弦、圆心角关系定理在同圆或等圆中，如果两条弧相等，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等优弧和劣弧也分别相等.初中数学知识框架圆的圆的基本基本性质性质圆的轴对称性圆的轴对称性垂径定理垂径定理圆的旋转不变性圆的旋转不变性弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系同弧上的圆周角与同弧上的圆周角与圆心角之间的关系圆心角之间的关系圆内接四边形圆内接四边形初
5、中数学圆心角、圆周角关系定理及其推论一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半12PMON=初中数学圆心角、圆周角关系定理及其推论同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半PQS=初中数学半圆（或直径）所对的圆周角是直角半圆（或直径）所对的圆周角是直角9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径圆心角、圆周角关系定理及其推论NOPM重要的辅助线：重要的辅助线：连接连接MP MP(或或NP NP)，构造构造9090的圆周角的圆周角隐含直径隐含直径初中数
6、学圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补.圆内接四边形性质定理1=3行1+2=180行圆内接四边形的外角等于它的内对角圆内接四边形的外角等于它的内对角.初中数学如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面离最低点的距离为离最低点的距离为0.20.2米时，水面的宽度为米时，水面的宽度为1.21.2米米.求当水面上升多少米时，水面宽度为求当水面上升多少米时，水面宽度为1.61.6米？米？例1初中数学如图，这是一个圆形管道的剖面图，如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面当水面离最低点的距离为离最低点的距离为0.20.2米时，水面的宽度为米时，水面的宽度为1.21.2
7、米米.求当水面上升多少米时，水面宽度为求当水面上升多少米时，水面宽度为1.61.6米？米？例1初中数学MN如图，这是一个圆形管道的剖面图，如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面当水面离最低点的距离为离最低点的距离为0.20.2米时，水面的宽度为米时，水面的宽度为1.21.2米米.求当水面上升多少米时，水面宽度为求当水面上升多少米时，水面宽度为1.61.6米？米？例1解：依题意，有解：依题意，有AB=1.2米，直径米，直径 MNAB于点于点E，EN=0.2米米，E则则 米米.10.62AEBEAB=初中数学 在在OAE中，有中，有 ,222AEOEOA+=MN例1E解解得：得：1x=连接连接OA
8、.设半径设半径OA=x,2220.6+(0.2).xx-=即即 即半径为即半径为1 1米米.初中数学例1如图，这是一个圆形管道的剖面图，如图，这是一个圆形管道的剖面图，当水面当水面离最低点的距离为离最低点的距离为0.20.2米时，水面的宽度为米时，水面的宽度为1.21.2米米.求当水面上升多少米时，水面宽度为求当水面上升多少米时，水面宽度为1.61.6米？米？MNE初中数学在在OCF中中，例1MNECDF解：解：依题意依题意，ABCD,故直径故直径MNCD于点于点F.连接连接OC.则半径则半径OC=1米米.222,OFOCCF=-0.8 0.60.2EF=-=米米.则则 米米.10.82CFD
9、FCD=1 0.20.8OE=-=米米,米米.初中数学例1圆是轴对称图形圆是轴对称图形圆是中心对称图形圆是中心对称图形CDCD初中数学例1C D解：若水面在如图解：若水面在如图 的位置的位置，仍有仍有 米米.=0.6OF0.8+0.61.4EF=米米.综上所述，当水面上升综上所述，当水面上升0.2米米或或1.4米时，水面宽度为米时，水面宽度为1.6米米.初中数学例2如图，如何在如图，如何在 上找到上找到三个点三个点 A、B、C，使得使得以以 O、A、B、C为顶点的为顶点的四边形是菱形？四边形是菱形？O初中数学例2【方法一方法一】初中数学【作法一的证明作法一的证明】例2证明：证明：AB初中数学【
10、作法一的证明作法一的证明】例2证明：证明：AB初中数学【作法一的证明作法一的证明】例2证明：证明：四边形四边形OACB是菱形是菱形.O和和C是等圆，是等圆，AB.OAACCBBO=初中数学例2【作作法二法二】初中数学例2【作作法二的证明法二的证明】证明：证明：O半径半径OC弦弦AB，OC平分平分ABAB初中数学例2【作作法二的证明法二的证明】证明：证明：O半径半径OC弦弦AB，OC平分平分ABAB平分平分OC，四边形四边形OACB是平行四边形是平行四边形AB初中数学例2【作作法二的证明法二的证明】证明：证明：O半径半径OC弦弦AB，OC平分平分ABAB平分平分OC，四边形四边形OACB是平行四
11、边形是平行四边形AB四边形四边形OACB是菱形是菱形.初中数学例2【另一种画法另一种画法】3 3连接连接AC，BC.1 1画圆心角画圆心角AOB=120=120，2 2取劣弧取劣弧AB的中点的中点C；则四边形则四边形OACB是菱形是菱形.初中数学原来做过的一道例题AOB=120=120 如图如图A，B是是 上的两点，上的两点，C是是 的中点的中点.试判断四边形试判断四边形OACB的形状，的形状，并说明理由并说明理由.AB初中数学AB例2证明：证明：,ACBC=o11260,2AOB =BOC连接连接OC.1 2【原来的证法原来的证法】初中数学AB例2证明：证明：,ACBC=o11260,2AO
12、B =,OAOCOB=AOC和和BOC是等边三角形是等边三角形.BOC连接连接OC.1 2【原来的证法原来的证法】初中数学AB例2证明：证明：四边形四边形OACB是菱形是菱形.,ACBC=o11260,2AOB =.OAACCBBO=,OAOCOB=AOC和和BOC是等边三角形是等边三角形.BOC连接连接OC.1 2【原来的证法原来的证法】初中数学例2【其它证法其它证法】证明：证明：oo120160,2AOBADBAOB=，o180.ADBACB+=四边形四边形ADBC是圆内接四边形，是圆内接四边形，ABO在在 的优弧的优弧 上任取一点上任取一点D，连接连接AD，BD，ABAB初中数学例2证明
13、：证明：o120.ACB=.AOBACB=,OAOB=o30.OABOBA=,ACBC=o30.CABCBA=,ACBC=AB初中数学例2证明：证明：,OABCABABABOBACBA=.OACAOBCB=四边形四边形OACB是菱形是菱形.在在OAB和和 CAB 中，中，OAB CAB.AB初中数学例2【其它证法其它证法】作直径作直径AD，连接连接CD，BD.120AOB=30ADCBDC=12ACADAO=60ADB=初中数学例2【其它证法其它证法】初中数学例2如图，如何在如图，如何在 上找到上找到三个点三个点A、B、C，使得使得以以 O、A、B、C为顶点的为顶点的四边形是菱形？四边形是菱形
14、？O初中数学课堂小结1 1熟记各个定理及基本图形；熟记各个定理及基本图形；2 2熟练运用圆中基本的角的性质熟练运用圆中基本的角的性质；3 3方程思想和分类思想；方程思想和分类思想；4 4圆中常用辅助线圆中常用辅助线.初中数学课后作业如图，如图，AB是是 直径，直径，AB=2，点点C在在 上，上，CAB=30=30.若点若点D也在也在 上，上，,补全图形，并补全图形，并求求DAC的度数的度数.OOO2AD=初中数学2.2.已知：已知：ABC内接于内接于 ,P是是 上一点，且上一点，且 ，根据题意画出图形，根据题意画出图形，判断判断ABC的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论.OO60APCBPC=课后作业同学们，再见！
