1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 07 （时间 120分钟满分 150分） 一、选择题： 本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 设 i 为虚数单位，复数 iaz 31 ? ， biz ?22 ， 其中 12,zz互为共轭复数 ，则 ab?（ ） A 1? B 5 C 6? D 6 2. 已知全集 2, 1, 0,1, 2,3, 4U ? ? ? ，集合 M=大于 2? 且小于 3的 正 整数 ，则 ?MCU （ ） A ? B 234?， ， C 4 D 2, 1,0,3,4? 3.已知 23)( 23 ? x
2、axxf ，若 4)1(/ ?f ，则 a 的值为（ ） A、 310 B、 313 C、 316 D、 319 4. 下列函数为偶函数的是 （ ） A y=sinx B y= 3x C | 1|xye? D y=ln 2 1x? 5. 曲线 2yx? 与直线 2yx? 所围成图形的面积为 （ ） A 163 B 83 C 43 D 23 6. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 2 2 3? B 232 3? C 6 2 7? D 6 2 7 2? 7. 若函数 ()fx 在 0x 处 可 导 , 且 / 0()f x m? , 则000 ( ) ( )limx f
3、 x x f x xx? ? ? ? ? （ ） A m B m? C 2m D 2m? 8.设 )(21312111)( ? Nnnnnnnf ?，则 ? )()1( nfnf （ ） A、 121?n B、 22 112 1 ? nn C、 22 112 1 ? nn D、 221?n 2 2 2 2 2 2 俯视图 正视图 侧视图 第题图 - 2 - 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，满分 30分 . 9. 函数 22 ? xxy 的定义域为 10.? ?10 2 )123( dxxx11 已知等差数列 na ，满足 758aa?，则此数列的前 11 项的和 11S? 12.
4、已知变量 x,y满足约束条件 ， 则 z=x+2y的最大值为 13.设 ABC 的内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ,且 1cos 4a b C ?=1 ， =2 ， ,则sinB? _ _ 14. 对实数 ,a b a b n n?定 义 一 种 运 算 ： （ 为 常 数 ） ，具 有性质 ( 1) 1a b n? ? ? ?，( 1) 2a b n? ? ? ?. 若 1 1 2? ，则 2011 2011?_ 三、解答题 ： 本大题共 6小题，满分 80分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 15、 （本小题满分 12分） 已知函数 1)( 23 ? bx
5、axxxf 在 1?x 与 2?x 处有极值 . （ 1） 求函数 )(xf 的解析式； （ 2） 求 )(xf 在 3,2? 上的最值 . 16、 （本小题满分 12分） 已知函数 ( ) tan 34f x x ? （ 1）求9f ?的值； （ 2）设 3,2? ?，若 234f ? ?，求 cos4? ?的值 1110xyxyx?- 3 - 17、 （本小题满分 14分） 如图 ,已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD是正方形， ?PA 面ABCD， 点 M是CD的中点，点N是 PB的中点 ,连接 AM,ANMN. (1) 求证：MN/面 PAD； （ 2）若5=,3AD?，求二面角N
6、AM B-的余弦值 . 18、 （本小题满分 14分） 在数列 ?na 中，已知111, ( ).12nn naa a n Na ? ? ?（ 1）求 234,a a a ，并由此猜想数列 ?na 的通项公式 na的 表 达 式 ； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 . 19、 （本小题满分 14分） 已知二次函数 2( ) 3f x ax bx? ? ?在 1x? 处取得极值，且在 (0, 3)? 点处的切线与直线20xy? 平行 (1）求 ()fx的解析式； (2）求函数 ( ) ( ) 4g x xf x x?的单调递增区间及极值。（ 3）求函数 ( ) ( ) 4g x xf x x?
7、在 ? ?2,0? 的最值。 图 4MNBCDAP- 4 - 20、 （本小题满分 14分） 已知椭圆 1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 1( 2,0)F? ， 2F ? ?20, ，点 (2,3)A 在椭圆1C 上，过点 A 的直线 L 与抛物线 22 :4C x y? 交于 BC, 两点，抛物线 2C 在点 BC, 处的切线分别为 12ll, ，且 1l 与 2l 交于点 P . (1) 求椭圆 1C 的方程； (2) 是否存在满足 1 2 1 2P F P F A F A F? ? ?的点 P ? 若存在，指出这样的点 P 有几个（不必求出点 P 的坐标） ; 若不存在，说明理由
8、. 答案 1.D 2.D 3.A 4.D 5. C 6.B 7. D 8.B 9.一， 10 . 1 11. 44 12. 1 13. 154 14 . 2008 15、 解： (1)由题知 baxxxf ? 23)( 2 的两根为 1? 和 2 ， -2分 由韦达定理可得，?,321,3221ba-4 分 6,23 ? ba -6分 (2) 1623)( 23 ? xxxxf , - 5 - 633)( 2 ? xxxf ，令 0)( ? xf ，得 11 ?x ， 22?x . -8分 1)2( ?f? , 29)1( ?f ， 9)2( ?f ， 27)3( ?f . -10分 29)1
9、()( m ax ? fxf ， 9)2()( m in ? fxf -12 分 16.（ 1） 解：9f ? tan 34? 1分 tan tan341 tan tan34? ? 3 分 31 2313? ? ? ? ? 4分 （ 2） 解： 因为 3ta n3 4 4 4f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 ? ?tan ? ? ? 6分 tan 2? 7分 所以 sin 2cos? ，即 sin 2cos? 因为 22sin cos 1?， 由、解得 2 1cos 5? ? 9分 因 为 3,2? ?，所以 5cos 5? ， 25sin 5? ? ?
10、 10分 所以 cos4? ?c o s c o s sin sin44? 11分 5 2 2 5 2 3 1 05 2 5 2 1 0? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 17 解： （ 1） 证法 1：取 的中点 ，连接 ， 点 是 的中点 , . ? 1分 - 6 - 点 是 的中点，底面 是正方形， . ? 2分 . 四边形 是平行四边形 . . ? 3分 平面 ， 平面 ， 面 . ? 4分 证法 2：连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ， 点 是 的中点， , ? 1分 点 是 的中点 . ? 2分 点 是 的中点 , . ? 3分 面 ， 平面 ， 面 . ? 4分 - 7
11、 - （ 2） 解法 1： ， 面 ， 面 . ? 5分 面 ， . ? 6分 过 作 ，垂足为 ，连接 ， ， 面 ， 面 ， 面 . ? 7分 面 ， . ? 8分 是二面角 的平面角 . ? 9分 在 Rt 中， , ，得 ， ? 10 分 在 Rt 中， ，得 ， . ? 11分 在 Rt 中， ， ? 12 分 . ? 13 分 二面角 的余弦值为 . ? 14分 解法 2： ， 面 ， 面 . 在 Rt 中， , ，得 ， - 8 - ? 5分 以点 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 建立空间直角坐标系 ， ? 6分 则 . ， . ? 8分 设平面
12、的法向量为 ， 由 ， ， 得 令 ，得 ， . 是平面 的一个法向量 . ? 11分 又 是平面 的一个法向量， ? 12分 . ? 13 分 二面角 的余弦值为 . ? 14分 18、 解 : （ 1）111, ( ).12 nn naa a n Na ? ? ?2 111 2 3a? ? ? .1 分 133 23 115a ? 2分 - 9 - 154 25 117a ? 3分 由此猜想数列 ?na 的通项公式 121na n ?= (n N )? .4分 （ 2）下面用数学归纳法证明 1 12 1 1a ?当 n=1 时 ， = =1,猜想成立 ? .5分 假设当 1( , 1 )
13、21kn k k N k k? ? ? ? ?且 时 ， 猜 想 成 立 ， 即 a? 6分 那么1 ( ).12nn naa n Na ? ? 7分 1211 22111 2 1 2 1kkk k kaa ak? ? ? ? ? ? ? 10 分 即当 n=k+1时猜想也成立 ? .11分 根据和，可知猜想对任何 nN? 都成立 ? .12分 （用其他方法正确证明也给分） 19 解： (1)由 ,可得 .。 1分 由题设可得 即 。 3分 解得 , .所以 . 。 5分 (2)由题意得 , 。 6分 所以 .令 ,得 , .。 8分 4/27 0 。 10 分 所以函数 的单调递增区间为 )
14、31,(? , ),1(? .在 12?x 有极小值为 0。 在 311?x有极大值 274 。 12分 - 10 - （ 3）由 2)2(,0)0( ? gg 及（ 2），所以函数 的最大值为 2，最小值为 0。 14分 20（本小题满分 14分） （本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法 1： 设椭圆 1C 的方程为 221xyab? ?0ab?, 依题意 : 222222231,4.abab? ?解得 : 2216,12.ab? ? ? 2分 椭圆 1C 的方程为 22116 12xy?. ? 3分 解法 2： 设椭圆 1C 的方程为 221xyab? ?0ab?， 根据椭圆的定义得 1228a AF AF? ? ?，即 4a? ， ? 1分 2c? ， 2 2 2 12b a c? ? ? . ? 2分 椭圆 1C 的方程为 22116 12xy?. ? 3分 (2)解法 1：设点 )41,( 211 xxB, )41,( 222 xxC，则 )(41,( 212212 xxxxBC ?， )413,2( 211 xxBA ? ， CBA , 三点共线 , （苏元高考吧： ） BC BA/ .
