1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 06 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1函数? ? lnxfx x?的单调递减区间是 ( ) A? ?0,B? ?0,eC? ?1,?D? ?,e?【答案】 D 2曲线223y x x? ?在点（ 1， 2）处的切线方程为 ( ) A31yx?B35?C35?D2【答案】 A 3曲线xey 21?在点? ?2,4e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ) A2eB2eC2D29e【答案】 A
2、 4函数xxxf 2)1ln()( ?的零点所 在的大致区间是 ( ) A (0， 1) B (1 ， 2) C (2， e) D (3， 4) 【答案】 B 5已知函数xxy ln?，则这个函数在点1x处的切线方程是 ( ) A22 ?xB22 ? xyC1?yD1?y【答案】 C 6已知函数,)2()( 0 2 dtttF x? ?则 F（ x）的极小值为 ( ) A 310?B C 613?D 【答案】 A 7曲线32y x x? ?在点(10)，处的切线的倾斜角为 ( ) A45B60C120D135【答案】 D 8由直线1, ? xyxy，及轴围成平面图形的面积为 ( ) A? ?
3、?dyyy? ?10 1B? ? ?dxx? ?210C? ? ?dyyy ?21 1D? ? ?dxx?1 1- 2 - 【答案】 C 9 已知某物体的运动方程是?tS913t, 则当s3t时的瞬时速度是 ( ) A 10m /s B 9m /s C 4m /s D 3m /s 【答案】 C 10已知曲线方程 f（ x） sin2x 2ax（ a R），若对任意实数 m，直线 l： x y m 0都不是曲线 y f（ x）的切线，则 a的取值范围是 ( ) A（， 1）（ 1,0） B（， 1）（ 0，） C（ 1,0）（ 0，） D a R且 a 0， a 1 【答案】 B 11函数( )
4、y f x?是函数()y f的导函数，且函数()f x?在点00( , ( )P x f x处的切线为0 0 0: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )l y g x f x x x f x F x f x g x? ? ? ? ? ?，如 果函数y f x?在区间, ab上的图象如图所示，且0x b?，那么 ( ) A( ) 0,F x x x?是()Fx的极大值点 B0( )=00,xx?是 的极小值点 C( ) ,x x x?不是 极值点 D 0F是 极值点 【答案】 B 12已知函数2( ) 2 1f x x?的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1 )xy? ?
5、，则yx?等于( ) A 4 B4x?C42x? ?D242x? ?【答案】 C 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 13曲线22y x? 与轴及直线1x?所围成图形的面积为 。 【答案】32- 3 - 14函数 y=cos3x1的导数是 _ 【答 案】xxx 1sin1cos1 22 ?15函数 y=sin2x-con2x的导数为 _ 【答案】 2sin2x 16函数? ? ? ? xexf 3?的单调递增区间是 【答案】? ?,三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程
6、或演算步骤 ) 17某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交 a元（ 3 a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x元（ 9 x 11）时，一年的销售量为（ 12 x） 2万件。 (1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x的函数关系式； (2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出 L的最大值 Q（ a）。 本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 【答案】（）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为： 2( 3 ) (12 ) 9 11 x a x x? ? ? ? ?， ，
7、(）2( ) (12 ) 2( 3 ) (12 )x x x a x? ? ? ? ? ? ?(12 )(18 2 3 )x a? ? ? 令0L?得26 3xa?或12x（不合题意，舍去） 35a ，2 2886 33a? 在 两侧?的值由正变负 所以（ 1）当28 6 93 a?即93 2a?时， 2m a x ( 9) ( 9 3 ) (12 9) 9( 6 )L L a a? ? ? ? ? ? ? (2）当2 2896 33a? 即9 52 时， 2 3m a x 2 2 2 1( 6 ) 6 3 12 6 4 33 3 3 3L L a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?
8、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以399( 6 ) 32()194 3 532aaQaaa? ? ? ? ? ?， ， - 4 - 答：若93 2a?，则当每件售价为 9元时，分公司一年的利润 L最大，最大值( ) 9(6 )Q a a?（万元）；若9 52 a ，则当每件售价为26 3a?元时， 分公司一年的利润 L最大，最大值31( ) 4 33Q a?（万元） 18已知函数? ? ? ? xf x x k e， (I）求?fx的单调区间； (II）求 在区间? ?0,1上的最小值。 【答案】（ I）/ ( ) ( 1) xf x x k e? ?
9、 ?， 令/ 0 1f x k? ? ?；所以?在( , 1)k? ?上递减，在( 1, )k? ?上递增； (II）当1 0, 1kk? ? ?即时，函数 在区间? ?0,1上递增，所以m in( (0)f x f k? ? ?； 当0 1 1k? ? ?即12k?时，由（ I）知，函数?fx在区间? ?0,k上递减，( ,1上递增，所以1m in( ) ( 1) kf x f k e ? ? ? ?； 当1 1, 2? ? ?即时，函数?在区间? ?0,1上递减，所以m in( ) (1) (1 )f x f k e? ? ?。 19某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程
10、只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )xx?万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。 (）试写出y关于x的函数关系式； (）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【答案】（）设需要新建n个桥墩，( 1) 1mn x m x? ? ?， 即 n=所以 ( 2 )mmx x xxx ?y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x=256( -1)+256 2 256.x mx? ? ?(） 由（）知，233222256 1( ) ( 512) .22
11、mmf x m x xxx? ? ? ? ?令( ) 0fx?，得32 512x ?，所以 =64 - 5 - 当 00. 在区间（ 64， 640）内为增函数， 所以()在x=64处取得最小值， 此时，6401 1 9.64mn x? ? ? ? ?故需新建 9个桥墩才能使y最小。 20某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点 A、 B及 CD的中点 P处，已知 AB=20km， BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD的区域上（含边界），且 A、 B与等距离的一点 O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、 BO、 OP，设排污管道的总长为 ykm。 (1）按下
12、列要求写出函数关系式： 设 BAO= (rad)，将 y表示成的函数关系式； 设 OP=x(km)，将 y表示成 x的函数关系式； (2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处 理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 【答案】（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 BAO=?(rad) ，则10cos cosAQOA ?, 故10cosOB ?，又 OP10 10tan?， 所以10 10 10 10 t a nc os c osy O A O B O P ? ? ? ? ? ? ?， 所求函数关系式为20 10 si n 10cosy ?0 4?若 OP=x(km) ，则 OQ 10x
13、，所以 OA =OB=? ? 2 2210 10 20 200x x x? ? ? ? ?所求函数关系式为? ?22 20 200 0 10y x x x x? ? ? ? ? ?(）选择函数模型，? ? ? ? ? ? 22c os c os 20 10 si n 10 2 si n 1c os c ossi ny ? ? ? ? ? ? ? ? ?令y?0 得 sin 12?，因为0 4?，所以?=6?， 当0,6?时， 0y?， 是?的减函数；当,64? ?时， 0y?， 是?的增函数，所以当?=6?时，min 10 10 3y ?。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且
14、距- 6 - 离 AB 边1033km处。 21已知某公司生产某品牌服装的 年固定成本为 10 万元，每生产千件需另投入 2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为()Rx万元，且?)10(31000108)100(3018.10)(22xxxxxxR (1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式； (2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ (注：年利润 =年销售收入年总成本） 【答案】（ 1）当 010时，xxxxxR 7.23100098)7.210()( ?107.2310009810010301.83xxx
15、xxxW(2）当 010时， W=98387.2310002987.231000 ? ? xxxx当且仅当m a x1000 1002.7 , , 38.39x x Wx ? ? ?即 时综合 、知 x=9时， W取最大值 所以当年产量为 9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大 22已知函数24() 1xafx x? ?的单调递增区间为? ?,mn， (）求证：( ) ( ) 4f m f n ?； (）当nm?取最小值时，点1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( )P x y Q x y a x x n? ? ?是函数()fx图象上的两点，- 7 - 若存在0x使得 21
16、021( ) ( )() f x f xfx xx? ?，求证：1 0 2x x x?【答案】（ ）2224 2 4(1 )x axx? ? ? ? ?依题意,mn是方程24 2 4 0x ax? ? ? ?的两根有：21amnmn? ? ? ?2222 2 2 24 4 16 4 ( ) ( 16 )( ) ( ) 41 1 ( ) ( ) 2 1 44m a n a m n a m n a af m f nam n m n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ）22( ) 4 4 24an m m n m n? ? ? ? ? ? ?nm
17、?取最小值时，0, 1, 1a n m? ? ? ?， ? ?fx在? ?1,1?上是增函数，1201xx? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?21 0 21 0f x f xfx xx? ?，从而? ?0 1,1x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20 2 1 1 20 2 222 2112041 41()111x f x f x x xfxxx xxx? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ?20 122 222 1201 111x xxxxx? ?2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 1 ( ) 2 1 (
18、 1 )x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20 1 2 1 2222 12 1201 1111 11 x x x x xxx xxx? ? ?考虑函数? ? ? ?211 xgx x? ?，因? ? ? ? ?2 4121x x? ?，故当? ?0,1x?时，有? 0gx?， 所以()gx是(0,1)上是减函数 . ?由20 1 2( ) ( )g x g x x?，得220 1 2 1 .x x x x?01.xx?由20 122 2 2 20 1 21 1(1 ) (1 )(1 )x x x? ? ? ?及20 1 20 1 1x x x? ? ? ?得 - 8 - ? ? ? ? ?
