1、 - 1 - 下学期高二数学 4 月月考试题 04 满分 150 分。时间 120 分钟。 一选择题：（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分请将唯一正确的选项选出来，并涂在机读卡上的相应位置） 1设函数2( ) 1f x x?，则()fx在1x?处的导数(1)f ?（ ） A1?B 0 C 1 D 2 2i是虚数单位，复数73 ii?（ ） Ai?B2i?Ci?D2i?3不等式21xx?的解集为（ ） A1( , )3 ?B( ,1)?C( , )3D(04若0ab?，则下列不等式不成立的是（ ） A?B11?C33?D11a b a?5已知积分10 ( 1)kx dx k?，则实数k
2、?（ ） A 2 B2?C 1 D1?6在用数学归纳法证明422*1 2 3 ( )2nnn n N? ? ? ? ? ?时，则当1nk?时左端应在nk?的基础上加上的项是（ ） A2 1k?B2( 1)k?C42( 1) ( 1)2kk? ? ?D2 2 2( 1 ) ( 2) ( 1 )k k k? ? ? ? ? ?7观察下列事实：1xy?的不同整数解(, )的个数为 4 ，2的不同整数解(, )的个数为 8，3的不同整数解 的个数为 12，?，则10xy?的不同整数解,的个数为（ ） A 32 B 40 C 80 D 100 - 2 - 191715131197531俯视图左视图正视图
3、8如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为 2cm的正三角形，其俯视图是边长为 2cm的正方形，则该几何体的体积为（ ）3A423B36C433D89已知()fx是定义在(0, )?上的非负可导函数，且满足( ) ( ) 0xf x f x? ，对任意正数,ab，若?，则必有（ ） A( ) ( )af b bf aB( ) ( )bf b f aC( )af a f bD( ) ( )bf a af b10对任意正数,xy，不等式333xy kx y x y? 恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A54B63 , )4? ?C1, )?D63 , )?二填空题：（共 5 小题，
4、每小题 5 分，共 25 分请将最简答案填在答题卷相应的位置） 11已知从 地到 地有 2 条公路可走，从B地到 地有 3 条 小路可走，又从A地不过B地到C地有 1 条水路可走，那么从A地到 地的不同走法一共有 _种 12函数2( ) 2 lnf x x x?的单调递减区间为 _ 13不等式2 1 4 2xx? ? ? ?的解集为 _ 14已知数列*2 1 ( )na n n N? ? ?，把数列?na的各项排成如图所示的三角形数阵记( , )Smn为该数阵的第m行中从左往右的第n个数，则10,6)?_ - 3 - ACBPMFGEOA CBP15如图，在三棱锥P ABC?中，,PA PB
5、PC两两垂直，且5, 4, 3PA PB PC? ? ?设点M为底面ABC内一点，定义( ) ( , , )f m n p?，其中,mnp分别为三棱锥M PAB?、PBC?、PCA的体积若 ( ) (4,3 ,3 )f M x y，且80ax xy y?恒成立，则正实数a的取值范围是 _ 三解答题：（共 6 小题，其中 16 18 每小题 13 分， 19 21 每小题 12 分，共 75 分请将每题的解答过程写在答题卷相应的答题框内） 16.（本小题 13 分）已知复数2( 1) ( 2 3 )z m m m m i? ? ? ? ?（mR?） 若 z是实数，求m的值； 若 是纯虚数，求 的
6、值； 若在复平面C内， z所对应的点在第四象限，求m的取值范围 . 17. （本小题 13 分）已知函数()f x x a?. 若不等式( ) 3fx的解集为? ?15xx? ，求实数a的值； 在的条件下，若不等式( ) ( 5)f x f x m? 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围 . 18. （本小题 13 分）已知数列?na的前n项和为S，且1 13?，(2 1)nnS n n a*nN?. 求23,aa的值； 猜想?na的通项公式，并用数学归纳法证明 . - 4 - 19. （本小题 12 分）如图，PAC?与ABC是均以AC为斜边的等腰直角三角形，4AC?，,EFO分别为PA，
7、PB，AC的中点，G为OC的中点，且PO?平面 . 证明：/FG平面BOE； 求二面角EO B FG?的余弦值 . 20. （本小题 12 分）已知函数321 1 5( ) 4 0 , )3 3 3f x x x x x? ? ? ? ? ? ? 求()fx的极值； 当0,1x?时，求 的值域； 设1a，函数32( ) 3 2 , 0 ,1 g x x a x a x? ? ? ?，若对于任意1 0,1x?，总存在0 0,1x?，使得01( ) ( )g f x?成立，求a的取值范围 21. （本小题 12 分）已知二次函数2( ) 1f x ax bx? ? ?，且不等式2( ) 2 2 1
8、f x x ?对任意的实数x恒成立，数列?n满足1 1?，1 ( 1)nna f a? ?*nN?. 求,ab的值； 求数列?na的通项公式； 求证*122 3 111 ()2 35nnaaa n nNa a a? ? ? ? ? ?. - 5 - 参考答案 选择题： DBCDA DBCAB 二、填空题： 11 7； 12(0,1； 135( , 7) ( , )3? ? ?； 14 101； 159, )?三、解答题： 16解： z为实数?2 2 3 0mm? ? ?，解得：3m?或1?； 为纯虚数2( 1) 02 3 0mm? ? ? ?，解得：0； z所对应的点在第四象限2( ) 3?，
9、解得：30m? ? ? 17解：由( ) 3fx，即3xa，解得：33a x a? ，又由条件该不等式的解为 x? ，所以3135a? ? ?，解得2a?在的条件下，( ) ( 5)f x f x m? 对一切实数x恒成立，即23x x m? ? ? 对一切 实数x恒成立，所以m in( 2 3x m? ? ? ) 又2 3 ( 2) ( 3 ) 5x x x x? ? ? ? ? ?，所以5m 18解： (2 1)nnS n n a，且1 13当2n?时，2 1 2 22( 2 2 1)a a a? ? ? ? ?，解得：2 113 5 15a ?； 当3时，3 1 2 3 33 ( 2 3
10、 1 )S a a a a? ? ? ? ? ?，解得：5 7 35由可以猜想?na的通项为1(2 1)(2 1)na nn? ?用数学归纳法证明如下： - 6 - 当1n?时，由条件知等式成立； 假设当nk（1k且*kN?）等式成立，即：1(2 1)(2 1)ka kk? ?那么当1?时，由条件(2 1)nnS n n a?有： 1( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1kk kS k k a k k k k k? ? ? ? ? ? ?； 11( 1)(2 1)S k k a? ? ? 1 1 1( 1 ) ( 2 1 ) 21k k k k kS a k k
11、 a k? ? ? ? ? ? ? ? ?，即1(2 3 21k kk k k? ?， 1(2 1)(2 3)ka ? ? ?，即：当1时等式也成立 由可知，命题对一切*nN?都成立 19解：证法一：连结AF，交BE于点H，连结OH ,EF均为ABP的边的中点，为ABP的重心， 23AHAF?又由条件O为AC中点，G为OC中点， 23AOAG? AH AOAF AG， H GF又,H BO E G F BO E?面 面， GF BOE 面 证法二：以 O 点为坐标原点 ,B OC OP的方向为,xyz正方向建立空间直角坐标系数 ,则 ( 0 , 0 , 0) , ( 2 , 0 , 0) ,
12、( 0 , 2 , 0) , ( 0 , 2 , 0) , ( 0 , 0 , 2) , ( 0 , 1 , 0) , ( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 )O B C A P G E F?( 0 , 1 , 1 ) , ( 2 , 0 0) , ( 1 , 1 , 1 )E O B FG? ? ? ? ? ?设平面BE的法向量为( , , )n x y z?则00200O E n y zxO B n? ? ? ? ? ? ? ?，令1y?，则(0,1,1)n?所以( 1,1, 1) ( 0 ,1,1) 0FG n? ? ? ? ? ?，所以n?，所以/FG平面BOE -
13、7 - 由的证法二可知。平面OBE的法向量为1 (0,1,1)n ?设平面BGF的法向量为2 ( , , )n x y z?，又( 2 , 1, 0) , (1, 1,1 )G B G F? ? ? ?，则220 20 00G B n xyx y zG F n? ? ? ? ? ? ?，令1z?，则1,2,1)设二面角EO B EG?的平面角为?，则121233c os262nnnn? ? ?又由图易知二面角 的平面角为锐角，二面角EO B EG?的余弦值为3220解：225() 33f x x x? ? ? ?，令( ) 0fx?，解得：53x?（舍）或1x?当01x 时，( ) 0；当1x
14、?时， ?， ( ) (1) 3f x f? ? ?极 大 值，无极小值 由知()fx在区间0,1单调递增， ()在区间0,的值域为 (0), (1)ff，即 4, 3? 2 2( ) 3 3g x x a?且1a，当0,1x?时 ) 0gx，在区间0,1单调递减， gx在区间0,1的值域为 , (0)gg，即2 3 2 , 2 a a a? ? ? 又对于任意1 , x，总存在0 0,1，使得01( ) ( )g f x?成立?()fx在区间,的值域?()在区间,的值域，即 4 3? 21 , ， 21 3 2 423aaa? ? ? ? ，解得：32a 21 解：不等式2( ) 2 2 1
15、f x x ?对任意的实数x恒成立当22x?或22x?时，- 8 - 2222 2 1 2( ) 2 2( ) 1 0( ) 1 022 2 2 22 1 222 ( ) 1 0( ) 2 2( ) 1 02 2 2f f a bf a bf? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得：2, 0ab?； 由知2( ) 2 1f x x?， 1 ( 1) 2 1n n na f a a? ? ? ? ?， 1 1 2( 1)nnaa? ? ? ?又1 1a?，数列? ?1n?是以12a?为首项， 2 为公比的等比数列 nn，从而数列?n的通项公式21nn ?； 由知nna， 11
16、21kk kka ? ?（*kN?） 又1 1 2 2 21 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3 )2 1 2 2( 2 1 ) 2 15 2 ( 2 2) 2 15 2kkk k k k kka ka ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 222 3 11 3 2 1 1 1 1()3 7 2 15 2 2 2n nna na a a ? ? ? ? ? ? ? ?211(1 )51 2212 21 15 12nn ? ? ? ?25 1 1(1 )2 21 15 2 nn ? ? ? ?5 1 32 112 21 15 2 105 2 35n n n? ? ? ? ? ? ?综上有*2 3 111 ()2 35nna n nNa a a? ? ? ? ? ? -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： - 9 - 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
