1、 - 1 - 下学期高二数学 4 月月考试题 04 一、选择题：（ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题的 4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 i 为虚数单位，复数 1iz i? ，则复数 z 的共轭复数的虚部为 A. 12i? B. 12 C. 12? D. 12i 2质量 m 2 kg的物体作直线运动，运动距离 s (单位： m)关于时间 t(单位： s)的函数是 s(t) 3t2 1，且物体的动能 U21mv2，则物体运动后第 3s时的动能为 A 18焦耳 B 361焦耳 C 342焦耳 D 324焦耳 3 在复平面内， O是原点， OA? ， OB? ，
2、 AC? 表示的复数分别为 2 i， 3 2i， 1 5i，那么BC? 表示的复数为 A 2 8i B 2 3i C 4 4i D 4 4i 4已知函数 y f(x)和 y g(x)的图象如图，则有 A f (x) g(x) B g(x) f(x) C f (x) g(x) D g(x) f(x) 5 下列表述正确的是 归纳推理是 由特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 分析法是一种间接证明法； 若 zC? ，且 2 2 1zi? ? ? ，则 22zi? 的最小值是 3 A B C D 6设 a ， b ， c 都是正实数，则三个数 ab1， b
3、c1， ca1的值 A都大于 2 B至少有一个不小于 2 C都小于 2 D至少有一个不大于 2 7. 观察： 52 1 24， 72 1 48， 112 1 120， 132 1 168， ? 所得的结果都是 24 的倍数，由此推测可有 A其中包含等式： 152 1 224 B一般式是： (2n 3)2 1 4(n 1)(n 2) C其中包含等式 1012 1 10 200 D 24 的倍数加 1必是某一质数的完全平方 8. 给出命题：若 a， b 是正常数，且 a b， x， y (0， )，则ybxa 22yxa 2)( b(当且(第 4 题 ) - 2 - 仅当ybxa时等号成立 )根据
4、上面命题，可以得到函数 f(x)x2x219?(x ? 210 ，)的最小值及取最小值时的 x值分别为 A 11 6 2 ，132B 25，51C 11 6 2 ，51D 25，1329 设 函数 ( ) ( s i n c o s ) ( 0 4 0 )xf x e x x x ? ? ? ?，则函数 ()fx各极小值 点 之和为 A 380? B 800? C 420? D 820? 10. 一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 A 6 种 B 8 种 C 36 种 D 48 种 11. 已知 ( ), ( )f x g x 都是定义在 R上的函数
5、，且满足以下条件： ()fx为奇函数， ()gx为偶函数； (1) 0, ( ) 0f g x?； 当 0x? 时，总有 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x? .则 ( 2) 0( 2)fxgx? ?的解集为 A (1,2) (3, )? B ( 1,0) (1, )? ? C ( 3, 2) ( 1, )? ? ? ? D ( 1,0) (3, )? ? 12. 直线 l 与函数 sin ( 0, )y x x ?的图像相切于点 A ，与 x 轴交于点 B ，且 l OP ， O为坐标原点， P 为图像的最高点，过切点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 C ，则 BAB
6、C?= A 24? B 22? C 2 44? D 2 二 ?填空题：（ 本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 将答案填在题中横线上 ） 13 函数 21( ) ln 2 ( 0 )2f x x a x x a? ? ? ?存 在单调递减区间，则 a的取值范围是 14在数列 ?na 中， 114, ( )nna a f a?，且 ()fx满足下表，则 2013a = . 15. 在我校春季运动会上，有甲、乙、丙、丁四位同学进行 4100 接力赛跑，要求甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有 种接力赛跑方式。（用数字作答） x 1 2 3 4 5 ()fx 5 4 2 1 3 第 10
7、题 - 3 - 16 将边长为 1 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(S ? 梯 形 的 周 长 )梯 形 的 面 积，则 S 的最小值是 三、解答题：（ 本大题共 6小题 ,共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 (本小题满分 10 分 ) 设 13( ) l n 1 ,22f x a x x a Rx? ? ? ? ?，曲线 ()y f x? 在 1x? 处的切线与直线 x 0 垂直 （ 1）求 a 的值； （ 2）求函数 ()fx的极值 . 18 (本小题满分 12分 ) 观察下列各等式 (i为虚数单位 )： (cos 1 isi
8、n 1)(cos 2 isin 2) cos 3 isin 3； (cos 3 isin 3)(cos 5 isin 5) cos 8 isin 8； (cos 4 isin 4)(cos 7 isin 7) cos 11 isin 11； (cos 6 isin 6)(cos 6 isin 6) cos 12 isin 12 记 f(x) cos x isin x (1)猜想出一个用 ( ), ( ), ( )f x f y f x y?表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性； (2)根据 (1)的结论推 出 f n(x)的表达式； (3)利用上述结论计算： 2007i21 2 3 125
9、 s i n i 125 c o s 12s i n i 12 c o s ? . 19. (本小题满分 12分 )已知函数 ( ) lnf x ax x? （ 1）求 ()fx的单调区间； （ 2）设 2( ) 2 2g x x x? ? ?，若对 1 (0, )x? ? ? ，均 2 0,1x? ，使得 12( ) ( )f x g x? ， 求实数 a 的取值范围 . 20 (本小题满分 12分 ) 若函数 1( ) ln ( ) 11 22af x xx? ? ? ?在 0, xe? 上有两个零点 . 21 (本小题满分 12分 ) 已知函数2() 1ax bfx x ? ?在点 (
10、1, ( 1)f?的切线方程为 30xy? ? ? （ 1）求函数 ()fx的解析式； . （ 2）设 ( ) lng x x? ，求证： ( ) ( )g x f x? 在 1, )x? ? 上恒成立 . - 4 - 22. (本小题满分 12分 ) 已知函数 f(x) x log2x x3 (1)计算 21 ()s f x dx?； （ 2） 设 S(n)13 2 1 ()2nn nN? ?()，用数学归纳法证明： S(n)- S=132n? . 答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A D B C B A D A C 二、填空题： 13.
11、14. 5 15. 14 16. 三、解答题： 17.解： (1)213() 22afx xx? ? ? ?因为 f(x)在 x 1 处的切线与直线 x=0垂直， 所以 13(1) 022fa? ? ? ? ?所以 a -1 ?.? .4分 (2)函数 ()fx的定义域为 (0, )? 22 2 21 1 3 3 2 1 ( 3 1 ) ( 1 )() 2 2 2 2x x x xfx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ? 得：1211, 3xx? ?（舍去） 当 (0,1)x? 时， f (x) 0， ()fx在 (0,1) 上 是减函数； 当 (
12、1, )x? ? 时， f (x) 0， ()fx在 (1, )? 上 是增函数 所以，函数 f(x)在 x =1处有极小值 3 ? .10分 (注：若没有舍去2 13x ?，而得函数 ()fx有极大值，扣去 3分 ) 18. 解： (1)f(x)f(y) f(x y) ? .2分 证明： f(x)f(y) (cos x isin x)(cos y isin y) (cos xcos y sin xsin y) (sin xcos y cos xsin y)i cos(x y) isin(x y) f(x y) ?.? 5分 (2) f(x)f(y) f(x y)， )()()()()( nx
13、fxfxfxfxf n ? ?nxnx sinicos ? ? .8 分 ( 1,0)? 3233- 5 - (3) 2007i21 2 3 125 i s i n 125 c o s 12i s i n 12c o s ? 62007 i s i n 62007 c o s 2i s i n 2c o s ? i ? 2669 is in 2669 c o s2i .12分 19.解：（ 1）函数的定义域为 (0, )? ， 11() axf x a xx? ? ? ? 当 0a? 时， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx在 (0, )? 上为增函数； 当 0a? 时， 1(0 , )
14、, ( ) 0 , ( )x f x f xa ? ? ?是增函数； 1( , ) , ( ) 0 , ( )x f x f xa ? ? ? ?是减函数。 综上所述：当 0a? 时， ()fx在 (0, )? 上为增函数； . 当 0a? 时， ()fx增区间是 1(0, )a? ，减区间是 1( , )a? ? ? 6分 （ 2）对 1 (0, )x? ? ? ，均 2 0,1x? ，要使 12( ) ( )f x g x? 成立 对于 1 (0, )x ? ? ， 2 0,1x? 时，需使得 1 m ax 2 m ax( ) ( )f x g x? 恒成立 由（ 1）知当 0a? 时，
15、1()fx 在 (0, )? 上为增函数， 1()fx 无最大值； 当 0a? 时，1 m a x 11( ) ( ) 1 l n ( ) 1 l n ( )f x f aaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 22 2 2( ) 2 2g x x x? ? ?在 2 0,1x? 单调递减，所以 2 m ax( ) (0) 2g x g? 所以 01 ln( ) 2a a? ? ? ?，则31a e?所以，实数 a 的取值范围是31( , )e? 12 分 20. 解：2211 2()1 1 1( ) ( )2 2 2xaafxx x x? ? ? ? ? ? ? 3分 - 6 - 当
16、12a? 时，212( ) 01()2xafxx? ?对于 0, xe? 恒成立，即函数 ()fx在 0, xe? 上为增函数，所以不合题意； ? ? .5分 当 1122ae? ? ? 时，令212( ) 01()2xafxx? ?，得 12xa? ， 当 10 2xa? ? ? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx为减函数，当 12xa? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx为增函数，所以当 12xa? 时，函数 ()fx（ (0, )x? ? 取到最小值， 所以要使函数 ()fx在 0, xe? 上有两个零点， . 则1021( 0) 2 l n 1 021( ) l n
17、( ) 1 01 221( ) 1 l n 1 02aefaaf e eef a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 1 ln 2 12 a? ? 9分 当 12ae? 时， ( ) 0fx? ? 对于 0, xe? 恒成立，即函数 ()fx在 0, xe? 上为减函数，所以不满足题意。 ? 11 分 综上可知： a 的取值范围是 1 ln2 ,1)2? ? 12分 21 解： （ 1）当 1x? 时，由 30xy? ? ? 得 2y? ， 又 ( 1) 211baf ? ? ? ? ，即 4ba? ? 因为 222( 1 ) 2 ( )() (1 )a x a x b xfx x? ? ? ? ?， 所以 2 2 ( ) 2( 1 ) 144a b a bf ? ? ? ? ? ?， 由得
