1、 - 1 - 下学期高二数学 5 月月考试题 05 时间： 120分 满分： 150分 一、选择题 （每小题 5分，共 50 分） 1. 下列各数： i4? , 25i? , 35? , i?11 中虚数的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2. 一个物体的运动方程为 21s t t? ? ? 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 （ ） A 5 米 /秒 B 6 米 /秒 C 7 米 /秒 D 8 米 /秒 3. 计算 ? ii)21( （ ） A i?1 B i?1 C i?2 D i21? 4. 用反证法证明命题 ： “ 关于 x 方程 )
2、0(02 ? acbxax 最多有两个实数根 ” ，下列假设中正确的是 只有两个实数根 最少三个实数根 至少有两个 实数根 少于三个实数根 5. 曲线 ? ?ln 2yx?在点 ? ?1,0P? 处的切线方程是 A. 1yx? B. 1yx? ? C. 21yx? D. 21yx? ? 6. 设函数 )(xf 的导函数为 )(xf? ，且 3)1(2)( 2 ? fxxxf ，则 )1(f? 的值为 （ ） A 4? B 4 C 2 D 2? 7. 设函数 xxxf ln2)( ? ,则 A 21?x 为 )(xf 的极小值点 B 2?x 为 )(xf 的极大值点 C 21?x 为 )(xf
3、的极 大 值点 D 2?x 为 )(xf 的极 小 值点 8. 在棱长为 1的正方体 ABCD 1 1 1 1ABCD 中， M 和 N 分别为 11AB 和 1BB 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 （ ） A 52 B 53 C 1010 D 52? 第 8 题图 - 2 - 9. 已知 0x? ，由不等式 32 2 21 1 4 4 42 2 , 3 3 , ,2 2 2 2x x x xx x xx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?可以推出结论： *1( ),nax n n N ax? ? ? ? 则= A n2 B n3 C 2n D n
4、 10. 已知偶函数 )(xf 在 R 上可导，且 ),2()2(,2)1( ? xfxff 则曲线 )(xfy?在 5?x 处的切线的斜率为 A 2 B 2? C 1 D 1? 二、填空题 （每小题 4分，共 16 分） 11. 复数 11i? 的虚部 是 ； 12. 函数 xxay ? ln 在 x =1处取得极值，则 a 的值为 ； 13.用数学归纳法证明等式 ( 3 ) ( 4 )1 2 3 ( 3 ) ( )2nnnn ? ? ? ? ? ? ? N时，第一步验证 1n? 时，成立的等式是 ； 14. 如图，二面角 l? ，线 段 AB? .， 4?AB ,Bl? ， AB 与 l
5、所成的角为 30 ,点 A 到平面 ? 的距离为 3 ， 则二面角 l? 的大小是 ； 15. 下列结论： 如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直； 定义运算 ac ad bcbd?，复数 z满足 11zi ii ?，则复数 z 的模为 5 ； 向量 a ，有 22 aa ? ；类比复数 z ，有 22 zz ? ； 满足条件 2? iziz 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是椭圆。 真命题的序号是 . 一、选择题 （每小题 5分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?AB?第 14 题图 l - 3 - 选项 B A C
6、B A D D A D A 二、填空题 （每小题 5分，共 25 分） 11、 -1 12、 -1 13、 2 544321 ? 或 104321 ? 14、 ?603或? 15、 9.第 3个式子： 43334333 4 333 ? xaxxxxaxxxxax知 33?a 猜想： nn naNnnxax ? 时，)(1 *选 D. 10.由 )4()()2()2( ? xfxfxfxf ， )(xf 的周期为 4，所以， )(xf 在 5?x 处的切线斜率等于 )(xf 在 1?x 处的切线斜，又 )(xf 为偶函数，根据对称性， )(xf 在 1?x 处的切线斜率与 )(xf 在 1?x
7、处的切线斜率相反， 2)1( ?f ，故 2)1()5( ? ff 选 A. 三、解答题 （本题六小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12分 ) 已知复数 iz 21? （ i 为虚数单位） ,把复数 z 的共轭复数记作 z ，若 izz 341 ? ，求复数 1z ； 16.解： iz 21? ?（ 5分） iiiz iz ? 221 34341?（ 12 分） 17. (本小题满分 12分 ) 如图， ABCPD 平面? , BCAC? , 的中点分别为 PAABMD , 。 求证：（ 1） CDMPB 面/ ; (2) PCAB? . 17.证明：（ 1）由 的中点分别为 PAA
8、BMD , ，可知， DMPB/ ?（ 4分） C D MPBC D MDM 面，面 ? , 故 CDM面/ ?（ 6分） （ 2）由 ABCPD 平面? ，得 ABPD? ; 由 BCAC? ， 中点为 ABD ，得 ABCD? ; 故 P C DPCP C DAB 面，又面 ? ? ，所以 PCAB? ?（ 12分） 18. (本小题满分 12分 ) 已知函数 )0(ln3)( 2 ? xxxxxg D P M C B A - 4 - ( ) 求函数 )(xg 的单调区间； ( ) 求函数 )(xg 在区间 ? e,21上的最小值； 18. 解： （ 1） )0()1)(12(132132
9、)( 2 ? xx xxx xxxxxg ?（ 4分） 由 0)( ?xg 得 121 ? xx 或 ；由 0)( ?xg 得 121 ?x ； ?（ 6分） 所以函数 )(xg 的单调增区间为 ),1(),21,0( ? （或 ),1,21,0( ? ）， 单调增区间为 )1,21( （或 1,21 ）。 ?（ 8分） （ 2）由（ 1）可知， 1?x 为 )(xg 在区间 ? e,21的极小值点，也是最小值点， 故函数 )(xg 在区间 ? e,21上的最小值为 21ln131)1( 2 ?g ?（ 12分） 19. (本小题满分 12分 ) 如图 ,四边形 ABCD 为矩形 ,且 A B
10、 C DPAABAD 平面? ,1,2 , 1?PA ,E 为 BC 的中点 . (1 ) 求点 C到面 PDE 的距离 ; (2 ) 求 二面角 ADEP ? 的余弦值。 19. (1 ) 66 ?（ 6分） (2 ) 36 ?（ 12分） 几何法：连接 AE ，易得 2? DEAE ，而 2?AD ADE? 为直角三角形，故 DEAE? 又 ABCDPA 面? ，所以 DEPA? ， APEDE 面? DEPE? ， 26232121 ? DEPES PED 又 2121 ? CDCES EC D，由 PDECCDEP VV ? ? ，设 点 C到 面 PDE的距离为 d ，则 dSPAS
11、P D EC D E ? ? 3131，得 66?d 第 19 题图 - 5 - （ 2）由（ 1）易得： APEDE 面? ，故 DEPEDEAE ? , ，所以 AEP? 为 二面角 ADEP ?的平面角。又 AEPA? ，3632co s ? APAEAEP,所以 二面角 ADEP ? 的余弦值为 36 坐标法：略 20. (本小题满分 13分 ) 已知数列 ， ?107 174 141 1 ? ,)13)(23( 1 ? nn计算 ,1S ,2S ,3S ,4S 根据计算结果，猜想其前 n 项和 nS 的表达式，并证明。 20.解： 414111 ?S； 7274 1412 ?S； 1
12、03107 1723 ?S； 1341310 11033 ?S猜想： 13 ? nnSn?（ 3分） 证明：（法一）数学归纳法： (1)当 1?n 时，左边 411?S；右边 41113 1 ? ；左边 =右边，猜想成立； ?（ 5分） (2)假设 ),1( *Nkkkn ? 时，猜想成立，即 ，13)13)(23( 1107 174 141 1 ? k kkk? ?（ 7分） 那么，当 1?kn 时， 1)1(32)1(3 1)13)(23( 1107 174 141 1 ? kkkk?=)43)(13( 113 ? kkkk?（ 9分） =)43)(13( 1432? ? kk kk=)4
13、3)(13( )1)(13( ? ? kk kk=1)1(3 1?kk也成立。 ?（ 12 分） 根据（ 1），（ 2）可知， 13 ? nnSn（ *Nn? ），得证。 ?（ 13 分） （法二）裂项相消： ? )13 123 1(31)13)(23( 1 ? nnnn ?（ 6分）)13)(23( 1107 174 141 1 ? kkS n ?- 6 - = )13 123 1(31)10171(31)7141(31)411(31 ? nn? ?（ 10分） = )13 123 1101717141411(31 ? nn? = )13 11(31 ? n = 13?nn ?（ 12分）
14、13 ? nnSn故 （ *Nn? ） ?（ 13分） 21.（ 本小题满分 14分）已知函数 ( ) ln bf x x a x x? ? ?在 1x? 处取得极值，且 3a? （ 1）求 a 与 b 满足的关系式； （ 2）讨论函数 ()fx的单调区间； （ 3）设函数 22( ) 3g x a x?，若存在12 1, ,22mm ?，使得 12| ( ) ( ) | 9f m g m?成立，求 a的取值范围 21.解：2( ) 1 ( 0 )abf x xxx? ? ? ? ?（ 2分） （ 1）由题意： (1) 0f? ? 则， 1 0 1a b b a? ? ? ? ? ?（ 4分）
15、 （ 2）由（ 1）令221 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 0a a x x afx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?得 1 1x? ， 2 1xa? 3 1 2 1aa? ? ? ? ? 列表如下： x (01)， 1 (1 1)a?， 1a? ( 1 )a? ?， ()fx? + 0 ? 0 + ()fx 所以 ()fx单调递增区间为 (01)， ， ( 1 )a? ?， ；单调递减区间为 (1 1)a?， ?（ 10分） （ 3）由（ 2）得 ()fx在 112 ? ? ?，上单增，在 (12， 上单减， ()fx在 1 22?，上的最大值为 (1) 2 0fa? ?
16、? . 因为函数 ()gx在 1 22?，上是单调递增函数，所以 ()gx 的最小值为 211 3024ga? ? ?. 即 ( ) ( )g x f x? 在 1 22?，上恒成立 .若存在 1m ，2 1 22m ?，要使得 12( ) ( ) 9f m g m?成立， 只需要 1 (1) 92gf?，即 21 3 (2 ) 94 aa? ? ? ?，所以 84a? ? ? . 又因为 3a? ，所以 a 的 取值范围是 (3 4)a? ， ?（ 14分） -温馨提示： - - 7 - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课
