1、平行四边形的性质及判定定理的综合应用主讲人 魏 烁北京市第八十中学 梳理平行四边形的知识框架ABCD平行四边形的性质平行四边形的定义平行四边形的判定边角对角线研究角度研究内容定义两组对边分别平行对边相等对角线互相平分一组对边平行且相等判定定理性质对角相等 任务 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请借助这个平行四边形的“边”、“角”或“对角线”，构造新的平行四边形.ABCD1.借助平行四边形的“边”如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在AD，BC上，DE=CF，四边形ABFE是平行四边形吗？猜想：四边形ABFE是平行四边形.如何证明？ABCDFE证明：四边形ABCD是平行四边形，
2、AD=BC，ADBC.又 AE=AD-DE，BF=BC-CF，DE=CF，AE=BF.又 AEBF，四边形ABFE是平行四边形.ABCDFE平行四边形对边平行，对边相等DE=CF对边平行，对边相等平行四边形性质判定截取相等线段ABCDFE 延伸 如果E，F 分别是AD，BC上的动点，DE=CF，四边形ABFE是平行四边形吗？ABCDEFABCDEFABCDEF证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC.又 AE=AD-DE，BF=BC-CF，DE=CF，AE=BF.又 AEBF，四边形ABFE是平行四边形.长度变化相等关系不变不变不变ABCDFE 延伸 如图，已知四边形ABCD是平
3、行四边形，如果E，F 分别是AD，BC上的动点，AE=CF，四边形EBFD是平行四边形吗？ABCDFE证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC.又 DE=AD-AE，BF=BC-CF，AE=CF，DE=BF.又 DEBF，四边形EBFD是平行四边形.ABCDFE 延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F 分别是AD，BC上的动点，AE=CF，连接CE，AF，你有新的发现吗？ABCDEFABCDEFABCDEFGHHFGE性质EHFG性质DE=BFDEBFDEBF判定AE=CFAECF AECF判定 EHFG判定性质判定构造原平行四边形新平行四边形ABCDEFABCD
4、EFABCDEFGHABCDEFHG共有9个平行四边形.延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果E，F 分别是AD，BC上的动点，DE=CF，G，H 分别是AB，CD上的动点，AG=DH，图中共有多少个平行四边形？ABCDEFHGABCDEFHGABCDEFHG中点如何证明四边形GFHE是平行四边形？方法1：证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，A=C.G，H分别是AB，CD的中点，AG=AB，CH=CD.AG=CH.同理 AE=CF.ABCDEFHG1212 AGECHF.EG=FH.同理 GF=HE.四边形GFHE是平行四边形.ABCDEFHG证明：连接AC.G
5、，F分别是AB，BC的中点，GF是BAC的中位线.GFAC，GF=AC.同理 EHAC，EH=AC.GF EH，GF=EH.四边形GFHE是平行四边形.方法2：同学们有什么发现？1212ABCDEFHG 结论 如图，在四边形ABCD中，G，F，H，E分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形GFHE是平行四边形.ABCDEFGHABCDEFHGABCDEFHGABCDEFHGABCDEFABCDEFGH 练习 如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB=2CD，E，F分别是对角线AC，BD的中点求证：CD=2EFBACDEF证明：取AB的中点G，连接CG，DG.AB=2AG ABCD，AB=2
6、CD，AGCD，AG=CD 四边形AGCD是平行四边形又 E是AC的中点，E是DG的中点 BACDEFG同理 F是CG的中点 EF是GCD的中位线 CD=2EF BACDEFG中点平行四边形构造性质三角形中位线定理CD=2EFBACDEFGABCDEFGH 延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA延长线上的点，且BE=CF=DG=AH，四边形HEFG是平行四边形吗？ABCDEFGH证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，BAD=DCB HAE=FCG又 AE=AB+BE，CG=CD+DG，BE=DG，AE=CGABCDEFGH又 AH=CF，
7、AHECFG HE=FG同理 EF=GH 四边形HEFG是平行四边形2.借助平行四边形的“角”如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE平分ABC，DF平分ADC，四边形FBED是平行四边形吗？ABCDFE猜想：四边形FBED是平行四边形如何证明？证明：四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，ABCD BE平分ABC，DF平分ADC，FBE=ABC，EDF=ADC，FBE=EDFABCDFE1212 ABCD，DEB+FBE=180，BFD+EDF=180，DEB=BFD 四边形FBED是平行四边形ABCDFE 借助平行四边形的“边”新的平行四边形构造 借助平行四边形的“角”新的平行四边形
8、构造类比 延伸：能否改变“BE平分ABC，DF平分ADC”这个条件，使得四边形FBED还是平行四边形？EBF=FDE 角平分线ABCDFE 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，AB上的点，且EBF=FDE求证：四边形FBED是平行四边形ABCDFEABCDFE DEB+EBF=180 BFD+FDE=180 平行四边形ABCD四边形FBED是平行四边形EBF=FDE DEB=BFD 延伸 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，如果 E，F分别是CD，AB上的动点，EBF=FDE，四边形FBED是平行四边形吗？四边形FBED始终是平行四边形.ABCDFEABCDFEABCDF
9、E 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且 AE=CF求证：四边形EBFD是平行四边形3.借助平行四边形的“对角线”ABCDEFO 思考：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AC，CA延长线上的点，且 AF=CE，四边形FBED是平行四边形吗？ABCDFEO证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD OF=OA+AF，OE=OC+CE，AF=CE，OF=OE 四边形FBED是平行四边形ABCDFEOABCDEFOABCDFEO改变已知条件中点的位置对角线互相平分新平行四边形 练习
10、如图，已知AD是ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE=FE.求证：BF=AC.ABCEFD中线点D是BC的中点对角线互相平分G分析：ABEFDGC证明：延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，CG.AD是ABC的中线，BD=DC又 DG=AD，四边形ABGC是平行四边形 ACBG，AC=BG EAF=BGFABEFDGC AE=FE，AFE=EAF AFE=BFG，BGF=BFG BF=BG BF=ACABEFDGC中线平行四边形构造对边平行内错角相等已知等角对等边BF=AC课堂小结原有图形平行四边形构造性质判定边、角对角线构造相等线段构造相等的角作业1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？2.如图，在ABC中，BD，CE分别是AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O.BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O?为什么？（提示：分别取BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND）ABCDEONM同学们再见！
