1、 1 河北邯郸市大名县 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 文 第 I卷（选择题） 1 在复平面内，复数 iiz ? 21 （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已 知 nS 为 等差数列 ?na 的 前 n 项 和，若 4910aa? ， 则 12S 等于（ ） A 30 B 45 C. 60 D 120 3 设 ABC? 的内角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， 若 2a? ， 23c? ， 3cos 2A? ， 且 bc? ，则 b? （ ） A 3 B 2 C 22
2、D 1 4 下列函数中，最小值为 4的是（ ） A 4yxx? B 4sin sinyx x?（ 0 x ? ） C 4xxy e e? D 3log 4 log 3xyx? 5设命题 nnNnP 2,: 2 ? ，则 为 ( ) A. B. C. D. 6如果函数 ()y f x? 的图象如图 ， 那么导函数 ()y f x? 的图象可能是 （ ） 7抛物线 24xy? 的准线方程是 ( ) A. 1?y B. 1?y C. 161?y D. 161?y 2 8 ABC 中， 3?AB ， 1?AC ， ?30?B ，则 ABC 的面积等于 （ ） A. 23 B. 43 C. 23 或 3
3、 D. 23 或 43 9 设公比为 ? ?0?qq 的等比数列 ?na 的前项和为 nS ， 若 23 22 ? aS ， 23 44 ? aS ，则 1a =（ ） A. -2 B. -1 C.21 D.32 10 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说： “ 罪犯在乙、丙、丁三人之中 ” ：乙说： “ 我没有作案，是丙偷的 ” ：丙 说： “ 甲、乙两人中有一人是小偷 ” ：丁说： “ 乙说的是事实 ”. 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 1
4、1 如图， 12,FF分别是双曲线 ? ?2222 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的左、右焦点 ，过 1F 的直线 l 与双曲线分别交于点 ,AB，若 2ABF? 为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A 3? B 2? C. 6? D 2? 12设函数 ( ) ( 2 1)xf x e x ax a? ? ? ?,其中 1a? ，若存在唯一的整数 0x ，使得0( ) 0fx? ，则 a 的取值范围是（ ） A. 3 ,1)2e? B. 33 , )24e? C. 33 , )24e D. 3 ,1)2e 第 II卷（非选择题） 13设 p 、 q 是两个命题，若 p 是
5、 q 的充分不必要条件，那么“非 p ”是“非 q ”的 条件 14 在 ABC 中， BCAB? ， .187cos ?B 若以 BA, 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的 离心率 ?e . 3 15 已知实数 yx, 满足?8121yxxyy ，则目标函数yxz ? 的最小值为 _ 16已知函数 ()fx 3213 x x ax? ? ? ， 若 1()xgxe?， 对任意1 1,22x ?， 存在2 1,22x ?，使12( ) ( )f x g x? 成立 ， 则实数 a 的取值范围是 17 (本小 题满分 12分 )在 数列 ?na 中， 11?a ，且满足 naa nn ? ?1
6、 ? ?1?n . （ ）求 2a ， 3a 及 数列 ?na 的通项公式； （ ）设nn ab1? 求数列 ?nb 的前 n 项和 nS . 18 (本小题满分 12 分 )某中学共 2200名学生中有男生 1200名，按男女性别用分层抽样抽出 110名学生， 询问是否爱好某项运动 。已知男生中有 40名爱好该项运动，女生中有 30 名不爱好该项运动。 （ 1） 如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 不爱好 30 总计 （ 2）通过计算说明，是否 有 99%以上的把握认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” ? 参考信息如下： 2()p K k? 0.050 0.010 0.001 k 3.
7、841 6.635 10.828 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a d c d a c b d? ? ? ? ?19 (本小题满分 12分 )如图，已知三棱锥 A BPC? 中 ， AP PC? ， AC BC? ， M 为 AB 中点 ，D 为 PB 中点 ，且 PMB? 为正三角形 （ 1）求证： BC? 平面 APC ； （ 2）若 6BC? ， 20AB? ， 求三棱锥 D BCM? 的体积 20 (本小题满分 12 分 )已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的离心率 为 32 ， 椭圆 C 的 长 半 轴长4 为 2 （ 1）求椭圆 C
8、的方程； （ 2）已知直线 3: ?kxyl 与椭圆 C 交于 A， B两点 ， 是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O ？若存在 ， 求出 k 的值；若不存在 ， 请说明理由 21 (本小题满分 12分 )已知 函数 ( ) ln 1,af x x a Rx? ? ? ?. （ 1）若曲线 ()y f x? 在点 0(1, )Py处的切线平行于直线 1yx? ? ，求函数 ()y f x? 的单调区间； （ 2）是否存在实数 a ，使函数 ()y f x? 在 (0, xe? 上有 最小值 1？若存在，求出 a 的值，若不存在，说明理由 . 22 (本小题满分 1
9、0 分 )已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合直线 l 的参数方程为?tytx21231（ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 ? cos4? （ 1）写出 C 的直角坐标方程，并指出 C 是什么曲线； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 P 、 Q 两点，求 PQ 的值 23 (本小题满分 10分 )选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ? ? 1? xxf (I )解关于 x 的不等式 ? ? 012 ? xxf ； (II )若 ? ? mxxg ? 3 ， ? ? ? ?xgxf ? 的解集非空，求实数 m 的取值范围 . 5 参考答案 1-6 CC
10、BCCA 7-12 DDBBCD 12【解析】 试题分析： 设 ? ? ? ?21xg x e x?， y ax a?，由题知存在唯一的整数 0x ，使得 ? ?0gx 在直线 y ax a?的下方； ? ? ? ? 21xg x e x?， 当 12x? 时， ? ? 0gx? ；当 12x? 时， ? ? 0gx? ；当 1= 2x ? 时， ? ? 12max 2g x e?； 当 =0x 时， ? ?01g ? ， ? ?1 3 0ge? ，直线 y ax a?恒过点 ? ?1,0 且斜率为 ka? ， ? ?01ag? ? ?，且 ? ? 113g e a a? ? ? ? ? ?，
11、 解得 3 12 ae?. 13必要不充分 14 83 15 -2 16. ? ? 8, ee 17（ 1） 2 1 2 1 3 2 3 21 1 2 2 1 12 2 3 3 3 6( 1 )( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 12n n n n na a a a a a a anna a a a a a a a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数列 ?na 的通项公式 ( 1)= 2n nna ?6 （ 2） 121 2 1 12 ( )( 1 ) 11 1 1 1 1 1 22 ( 1 ) 2 (
12、1 )2 2 3 1 1 1nnnna n n n nnSn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?bb + b + + b18试题分析：（ 1） 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 （ 2） 22 1 1 0 ( 4 0 3 0 2 0 2 0 ) 7 .86 0 5 0 6 0 5 0K ? ? ? ? ? ?6.635 答： 有 99%以上的把握认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” 。 19（ 1）证明： PMB? 为正三角形，且 D 为 PB 中点， MD PB? ， 又 M 为 AB 的中点，
13、 D 为 PB 中点， /MD AP ， AP PB? ， 又 AP PC? ， AP? 平面 PBC ， AP BC? ， 又 AC BC? ， BC? 平面 APC （ 2）解： 1 102BM AB?， 3 532DM BM?， 1 52BD PB?， 在直角三角形 ABC 中， M 为斜边 AB 的中点， 1 102CM AB?， 在直角三角形 CDM 中， 22 5C D C M D M? ? ?， 三角形 BCD 为等腰三角形，底边 BC 上的高为 4， 1 1 1 6 4 5 3 2 0 33 3 2D B C M M B C D B C DV V S D M? ? ? ? ?
14、? ? ? ? ? ? 7 20 （ 1）设椭圆的焦半距为 c， 则由题设 ， 得 232aca? ?， 解得 23ac?， ? 2 分 所以 2 2 2 4 3 1b a c? ? ? ? ?， 故所求椭圆 C的方程为 14 22 ?yx ? .4分 （ 2）存在实数 k使得以线段 AB为直径的圆恰好经过坐标原点 O理由如下： 设点 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 将直线 l 的 方程 3?kxy 代入 14 22 ?yx ， 并整理 ， 得 0838)41( 22 ? xxk （ *） ? .6分 则221 41 38 kkxx ?，221 41 8kxx ? ?
15、? 8分 因为以线段 AB为直径的圆恰好经过坐标原点 O， 所以 0OA OB?， 即 1 2 1 2 0x x y y? 又 3)(3 2121221 ? xxkxxkyy ,于是 041 3441 8222 ? ? kkk， ? .10分 解得 112k? ， ? .11分 经检验知：此时（ *）式的 0， 符合题意 所以当 112k? 时 ， 以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O ? 12分 21试题解析：（ 1） ( ) ln 1( 0 )af x x xx? ? ? ?， 2 1( ) ( 0)af x xxx? ? ?， 又曲线 ()y f x? 在点 0(1, )Py处的
16、切线平行于直线 1yx? ? ， (1) 1 1 2k f a a? ? ? ? ? ? ? ?. 222 1 2( ) ( 0 )xf x xx x x? ? ? ?, ()fx的单调增区间为 (2, )? ，单调减区间为 (0,2) . （ 2） ( ) ln 1( 0 )af x x xx? ? ? ?， 221( ) ( 0 )a x af x xx x x? ? ? ?， （）当 0a? 时， ( ) 0fx? 恒成立，即 ()fx在 (0, )? 上单调递增，无最值，与题意矛盾， 8 （）当 0a? 时，令 ( ) 0fx? xa?， ( ) 0f x x a? ? ?， ( )
17、0 0f x x a? ? ? ?， 则函数 ()y f x? 在 ( , )a? 上单调递增，在 (0, )a 上单调递减， 若 ae? ，如图甲所示，则 ()fx在 (0, xe? 上的最小值是m in( ) ( ) ln 1aaf x f e eec? ? ? ? ?， 由 1ae? ，得 ae? ，矛盾； 若 ae? ，如图乙所示，则 ()fx在 (0, xe? 上的最小值是m in( ) ( ) ln 1 lnaf x f a a aa? ? ? ? ?， 由 ln 1a? ，得 ae? ，符合题意 . 综上可知，存在 ae? ，使函数 ()y f x? 在 (0, xe? 上有最小值 1. 22（ ） ， ， ?2 分 由 得： 所以曲线 的直角坐标方程为 ， ?4 分 它是以 为圆心，半径为 的圆 . ?5 分 （ ）把 代入 整理得 ， ?7 分
