1、整理课件1西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明高等数学高等数学整理课件2定积分应用定积分应用微元分析法微元分析法平面图形面平面图形面积积旋转体体积旋转体体积广义积分广义积分整理课件3定积分的概念定积分的概念 kknkkkkkkkknkkkk nkf xa ba ba baxxxxxbkxxknxxxxxfxx 设设函函数数在在有有界界对对区区间间作作任任意意划划分分 即即在在中中插插入入一一组组分分点点记记第第个个小小区区间间的的长长度度为为任任取取构构造造和和式式记记01111111(),:,(1,);,:(),max,整理课件4nkkkfxf xa bf xa b
2、如如果果和和式式极极限限存存在在 则则称称在在上上可可积积 并并且且称称此此极极限限值值为为在在上上的的定定积积分分01 lim(),(),(),.()baf x dx记作记作:01 ()lim()nbkkakf x dxfx 即即nkkkfx 总量总量1()=()baf x dx则 总量则 总量kkfx 关关键键找找小小区区间间近近似似量量 ()整理课件5,a bx xx分分割割区区间间取取具具有有代代表表性性的的小小区区间间“不不变变代代变变”写写出出局局部部量量的的近近似似值值xxfA )(0lim xAA则则总总量量 ()baAf x dx即即微元微元()()Af xxox 要要求求：
3、微元分析法微元分析法整理课件6几何应用几何应用（一）平面图形的面积（一）平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算Axfyxbxax所所围围曲曲边边梯梯形形的的面面积积曲曲线线轴轴和和连连续续及及由由直直线线)(,)1(根据定积分的定义和几何意义知根据定积分的定义和几何意义知()0 ();baf xAf x dx()0 ();baf xAf x dx ();baAf x dx一一般般整理课件7,)()(,baxxfxg 特特别别(2)(),(),.()()yf xyg xxa xbA f xg x由由曲曲线线和和直直线线所所围围成成的的面面积积 badxxg
4、xfA)()(面积微元面积微元dxxgxfdA)()()()baAf xg x dxxabyo)(xfy)(xgy xx dx()badx上上 下下x型型区区域域整理课件8xyxy 1 xy2 xo21)1,1(.2,11Axxyxy所所围围成成的的面面积积及及直直线线求求由由曲曲线线例例 1xyyx 解解方方程程组组 1121xx解解 21)1(dxxxA2ln23)ln2(|212 xx整理课件9(),()yy （3 3）连连续续函函数数满满足足,)()(0dcyyy (),(),xyxyycydA 由由曲曲线线和和直直线线所所围围成成的的面面积积面面积积公公式式：dcdyyyA)()(x
5、)(yx cd)(yx yoydy ()()dAyy dy y()dcdy左左-右右y型型区区域域整理课件10.1,5222Ayxyx的的面面积积所所围围成成求求由由曲曲线线例例 2215yxyx 212121yy解解方方程程组组解解oxy21yx 25yx 122212(15)Ayydy 32)34(2|2103 yy211A 2102)41(2dyy12 整理课件11221.(0),1.tyxxyt yyxyt x 求求 使使轴轴所所围围图图形形面面积积与与所所围围图图形形面面积积之之和和最最小小2222.,2,1 yxyxyayax 在在第第一一象象限限围围一一平平面面图图形形.求求使使
6、将将该该图图形形分分成成面面积积相相等等两两部部分分.整理课件12求下列图形面积：求下列图形面积：xyyx xx轴轴所所围围1.1,2,yxxx与与点点切切线线及及 轴轴所所围围02.ln(1)D1D2AA DA D12()()12011(0)(0)xdxdxx 211001|ln|ln2ln122xx x0 xxyxxxx设设切切点点则则切切线线000001(,ln),ln()0ln000(ln1)xyAexyxdy xxyyexyxyx002lnln00000|(ln)|2 xxxxx200000ln1(ln)2 整理课件13面面积积微微元元：小小圆圆扇扇形形 ddA)(212 d面积微元
7、面积微元 )(o2.极坐标系下平面图形面积的计算极坐标系下平面图形面积的计算.,)(所所围围成成的的面面积积及及射射线线求求曲曲线线 dA)(212整理课件14.)cos1(3Aa的的面面积积所所围围成成求求心心脏脏线线例例 利利用用对对称称性性12AA 0422cos4dao 2042cos8 tdta解解 02)cos1(da223a 02)(212d整理课件15体体积积公公式式 badxxAV)(xbaxdxx A(x)已知平行截面空间立体的体积已知平行截面空间立体的体积1.已知平行截面面积立体的体积已知平行截面面积立体的体积=()VA xx 柱柱体体整理课件16 babadxxfdxy
8、V)(22 xdxx 2.旋转体的体积旋转体的体积2)(yxA xabo)(xfy y整理课件17xo)(yx cd2)(xyA dcdcdyydyxV)(22 ydy yy整理课件18xo()yf x cd2()Vxf xx 长长方方体体2()byaVxf x dx xdx xy整理课件19.142222Vxbyax旋旋转转体体的的体体积积轴轴旋旋转转所所成成绕绕求求椭椭圆圆例例 xa上上半半椭椭圆圆方方程程为为22xaaby )(axa o得得到到利利用用对对称称性性,adxyVV02122 adxxaab02222)(2|03222)3(2axxaab 解解234ab y整理课件20旋旋
9、转转体体的的体体积积？轴轴旋旋转转所所成成绕绕轴轴所所围围图图形形和和直直线线怎怎样样求求由由曲曲线线例例yxxxy,2,5 2o2,0.的的变变化化区区间间分分即即为为积积分分变变量量取取yy 202222dyxV 20424dyy 251625424 解法一解法一ydy y整理课件212,0.的的变变化化区区间间分分即即为为积积分分变变量量取取xx体体积积微微元元是是什什麽麽？xdxx 2o薄薄壁壁圆圆桶桶dxyxdV 2202yVxx dx 为为积积分分变变量量？何何时时选选择择为为积积分分变变量量？何何时时选选择择思思考考：yx解法二解法二 2516522|2025 x整理课件22返回
10、120251xdxxx 112002211311()42xdxdxxxx 2(1)21xxx 1210022121ln(1)|21331()3xxxdx 10212ln3arctan|33x 2ln3()ln33633 3整理课件23xx x平面曲线的弧长平面曲线的弧长y()yf x ABxoab()()()yf xxf xfx 22=()()sxy 弦弦长长21 ()sfx 21 ()basf xdx 整理课件24当当曲曲线线段段由由参参数数方方程程给给出出 )()(tyytxx)(t且且不不同同时时为为零零,)(),(Ctytx 0,0,;,dsdtBtAt有有时时当当即即对对应应终终点点
11、对对应应起起点点 22()()sx ty tdt 弧弧长长公公式式：2222()()()()sxyx ty tt 整理课件25给给出出设设曲曲线线段段由由极极坐坐标标方方程程)3()()(上上连连续续在在,)(作作为为参参数数选选)(sin)(cos)(yx弧弧长长公公式式：ds)()(22整理课件26定定积积分分在在经经济济中中应应用用121.,QQ已已知知边边际际收收入入 求求产产量量从从到到收收入入增增量量(),R QQ 边边际际收收入入产产量量为为 时时 每每增增加加一一单单位位产产量量收收入入可可增增加加量量12,QQQ QQ 将将产产量量从从到到分分成成小小产产量量段段,QQ 当很
12、小时 产量变化很小 故每增加一单当很小时 产量变化很小 故每增加一单位产量 能增加的收入差不多增加单位位产量 能增加的收入差不多增加单位产量能增加的收入产量能增加的收入()RR QQ 2121,()()QQ QQR QRR Q dQ 当当可可积积时时整理课件2712,QQ类似当知道边际成本或边际利润 求产量类似当知道边际成本或边际利润 求产量从增加到时成本或利润增加量 有从增加到时成本或利润增加量 有2121,()()QQ QQC QCC Q dQ 当当可可积积时时2121,()()QQ QQL QLL Q dQ 当可积时当可积时0000 ()QQCC Q dQC 产产量量为为时时总总成成本本
13、00 ()QRR Q dQ 总总收收入入000 ()QLL Q dQC 总总利利润润整理课件282.(),K tTMA已已知知现现金金流流求求到到 时时总总值值的的现现值值.()K tt现现金金流流 时时刻刻每每年年可可获获得得的的收收益益0,Tt tt 将将分分为为很很小小的的时时间间段段,(),tK tt 很很小小时时变变化化不不大大年年可可获获收收益益()MK tt ()rtAK tt e 现现值值0()rTtrtK teAK t edt 当可积时当可积时 5,201,550,.例 某项目建设期 年 预计年淘汰.第 年末例 某项目建设期 年 预计年淘汰.第 年末开始部分投产 且每年收益随
14、时间线性增长开始部分投产 且每年收益随时间线性增长到第 年末达到设计年收益万设计要求 求到第 年末达到设计年收益万设计要求 求该项目价值该项目价值整理课件29例2 生产安排 一项合同要求在 T时交货 Q。如果生产中单位时间单位产品的存储费为 m；任意时刻单位时间的生产费用 f 与生产率有关，且生产率每增加一个单位,单位时间生产费用的增加与这时的生产率成正比,比例系数为 k。试确定应如何安排生产可使总费用最小？2 (),()=/2 (00)t tt tx txxxf kx xfkxfggmxd 设设时时刻刻的的总总产产量量为为则则生生产产率率为为表表示示 对对时时间间的的导导数数当当生生产产率率
15、增增加加时时，有有，积积分分得得单单位位时时间间生生产产费费用用为为：假假设设生生产产率率为为 时时，；单单位位时时间间存存储储费费用用记记为为，有有；从从而而 到到时时间间内内费费用用增增加加量量：2()(/2)Cfmxtkxmx dt 2/2kxmx 当当可可积积时时,有有20(/2)TCkxmx dt (0)0,()xx TQ且且整理课件30定定积积分分在在极极限限运运算算中中应应用用0111220()lim()=lim()()()nbiiaxinnxf x dxfxfxfxfx ,a b n i i当当将将区区间间等等分分,取取为为右右端端点点,则则,iibabaxainn =0101
16、()lim()=lim()nbiiaxinxif x dxfxba baf ainn 整理课件3122222111 lim ()12nnnnnn 例例 解解 222111111=lim 1(1/)1(2/)1(/)nnnnnn nn 原原式式110201=arctan|14dxxx 10,1nn恰恰为为区区间间等等分分的的区区间间长长0,1inn恰恰为为区区间间等等分分的的第第i i个个小小区区间间右右端端点点整理课件32111lim()12222nnnnn 例例111lim()12222nnnnn 解解111111=lim()1/22/2/2nnnnnn nn 110013=ln(2)|ln
17、22dxxx 222222221111lim()14(1)1111 lim()1(0/)1(1/)1(1)/nnnnnnnnnnnn 例例整理课件33二、无穷区间的广义积分二、无穷区间的广义积分第二十一讲第二十一讲 广义积分广义积分三、有穷区间无界函数的三、有穷区间无界函数的 广义积分广义积分一、背景一、背景整理课件34定定积积分分 badxxf)(有界函数有界函数：有有穷穷区区间间,ba的的积积分分无无界界函函数数在在有有穷穷区区间间上上的的积积分分有有界界函函数数在在无无穷穷区区间间上上实实际际应应用用中中往往往往遇遇到到：)2()1(一、背景一、背景整理课件35.,aVaQQ处处的的电电
18、位位为为距距求求：形形成成的的电电场场中中在在点点电电荷荷例例 远处电场力做的功远处电场力做的功该处移至无穷该处移至无穷电位等于单位正电荷由电位等于单位正电荷由21 aaQVkdrr 因因此此221=,1 QQrkkrQrWkrr 距距离离点点 处处的的电电场场力力为为比比例例常常数数,移移动动距距离离做做功功 解解 整理课件36 AaAadxxfdxxf)(lim)(.,;,称称广广义义积积分分发发散散右右端端极极限限不不存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛且且右右端端极极限限存存在在二、无穷区间的广义积分二、无穷区间的广义积分（一）定义（一）定义上上的的积积分分定定义义为为在在则则上上可可
19、积积在在若若上上有有界界在在设设),)(.,)(,.),)(axfAaxfaAaxf定义定义1：整理课件37 bBBbdxxfdxxf)(lim)(AcAcBBdxxfdxxf)(lim)(lim是是互互相相独独立立的的！注注意意：BA,类似地可以定义类似地可以定义 ccccdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfcxf)()()(,)(,)()(,),()(并并且且收收敛敛则则称称广广义义积积分分都都收收敛敛和和广广义义积积分分若若对对某某个个上上的的有有界界函函数数是是设设定义定义2：整理课件38的的收收敛敛性性讨讨论论无无穷穷积积分分例例 02111dxx先先求求变变上上限限定定
20、积积分分 dxxA0211Aarctan考虑极限考虑极限再令再令,AdxxAA 0211lim2arctanlim AA收收敛敛根根据据定定义义知知 0211,dxx2 且且其其值值为为 解解 整理课件39无无穷穷积积分分证证明明例例:2)0(1 adxxap.,1;,1发发散散时时当当收收敛敛时时当当 pp于是于是有有时时当当,01,1)1(pp AapAapdxxdxx1lim1|111limAapAxp 111111)11(lim11 pppAapaAp收收敛敛无无穷穷积积分分根根据据定定义义 apdxx1,证证整理课件40有有时时当当,1)2(pdxxdxxAaAa 1lim1发发散散
21、无无穷穷积积分分从从而而 adxx1,)ln(lnlimaAA于于是是有有时时当当,01,1)3(pp AapAapdxxdxx1lim1|111limAapAxp发发散散无无穷穷积积分分从从而而 apdxx1,整理课件41)()()()(|aFFxFdxxfaa )(lim)(xFFx )(lim)(xFFx 并并且且记记的的一一个个原原函函数数是是如如果果,)()(xfxF分分成成立立莱莱布布尼尼兹兹公公式式对对无无穷穷积积则则牛牛顿顿)()()()(|FbFxFdxxfbb)()()()(|FFxFdxxf整理课件42 k xedx 例 讨论的敛散性.例 讨论的敛散性.00 k xkxk
22、xedxedxe dx 解解0011|+|(0)kxkxeekkk 1111limlimkxkxxxeekkkk ,0 2,0 kkk 发发散散收收敛敛整理课件430k 时时=|limlimk xxxedxdxxxx 0,k xkedx 所所以以时时 广广义义积积分分发发散散0,k xkedx 时时 广广义义积积分分收收敛敛20 =.k xkedxk 且且时时,lim,xxdx 因因为为不不存存在在 所所以以发发散散整理课件440 sin axdx 例例 讨讨论论无无穷穷积积分分的的敛敛散散性性.00cos sin=|(0)axaxdxaa 解解11lim cos xaxaa 不不存存在在；0
23、0,sin0 aaxdx 时时=收收敛敛0 sin 0.axdxa 所所以以仅仅当当时时收收敛敛整理课件45计计算算是是否否正正确确？?11112 dxx问问题题2)1(1|11112 xdxx为为什什麽麽？!0 附附近近无无界界被被积积函函数数在在点点 x?,1,12的面积的面积所围“开口曲边梯形”所围“开口曲边梯形”轴轴轴轴怎样求怎样求问题问题xyxxy 第二类广义积分第二类广义积分整理课件46xyo1xy121xy 取取极极限限令令0 10 任任取取整理课件472)22(lim1lim101010 dxxdxx )11(lim1lim10120102 dxxdxx整理课件48则则定定义义
24、上上可可积积在在区区间间附附近近无无界界在在点点上上有有定定义义在在设设函函数数.,)(,0:.,()(baxfabaxbaxf babadxxfdxxf )(lim)(0.,;,称称广广义义积积分分发发散散右右端端极极限限不不存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛且且右右端端极极限限存存在在三、有穷区间无界函数的广义积分三、有穷区间无界函数的广义积分（一）定义（一）定义定义定义1：奇点奇点瑕点瑕点ax 整理课件49 babadxxfdxxf)(lim)(0可可以以定定义义附附近近无无界界在在上上有有定定义义在在若若类类似似地地,),)(,bxbaxf bccabadxxfdxxfdxxf)()
25、()(可可以以定定义义附附近近无无界界在在若若,)(cxxf bccadxxfdxxf2211)(lim)(lim00 是是互互相相独独立立的的！注注意意：21,整理课件50.,1;,1)0()(11发发散散时时当当收收敛敛时时当当证证明明广广义义积积分分例例 pppdxaxbap01,1)1(pp有有时时当当 bapbapdxaxdxax )(1lim)(10)(lim11110ppabp 收收敛敛 bapdxax)(1证证pabp 1)(1整理课件51时时当当1)2(p babadxaxdxax )(1lim)(10ln)ln(lim0 ab发发散散 bapdxax)(1 01,1)3(p
26、p有有时时当当 bapbapdxaxdxax )(1lim)(10 )(lim11110ppabp 发发散散 bapdxax)(1整理课件52()()Fxf x设设 babadxxfdxxf )(lim)(0lim()xaf x 当当时时00lim()|()lim()baF xF bF a 0()lim()()(0)()|xabaF bF xF bF aF x0()lim()bbaaf x dxf x dx lim()xbf x 当当时时00lim()|lim()()baF xF bF b 0(0)()()|baF bF aF x整理课件531021 1xdxx 例例xxxx解解积积分分是是瑕
27、瑕积积分分.瑕瑕点点211 lim,1.1 xdxx10211 xdxdxxx110022111 xx2101arcsin|xxx21limarcsin1(1)12 整理课件5401 (1)dxxx 例例xxxx解解 广广义义积积分分 且且有有瑕瑕点点.201 ,lim,0(1)+01(1)dxxx 10111(1)(1)dxdxxxxx xx1012arctan|2arctan|xxxx 02(lim arctan)2(lim arctan)44 2(0)2()424 整理课件55结束放映结束放映整理课件56返回120251xdxxx 112002211311()42xdxdxxxx 2(1)21xxx 1210022121ln(1)|21331()3xxxdx 10212ln3arctan|33x 2ln3()ln33633 3整理课件57返回整理课件58返回
