1、 1 河南省南阳市 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考（ 3 月）试题 理 本试题卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间为 120 分钟。考试结束只交答题卡。 第 卷（选择题 共 60 分） 一 、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1质点运动规律 2 3st?，则在时间 ? ?3,3 x? 中，质点的平均速度等于（ ） A 6 x? B 96 x x? ? C 3 x? D 9 x? 2.设函数 ?fx可导，则 ? ? ? ?011lim 3xf f xx? ? ?
2、 等于（ ） A ?1f? B ?31f? C ?1 13f? D ?1 13f? 3曲线 2 2y x x?在点 ? ?1,3 处的切线方程是 （ ） A 4 1 0xy? ? ? B 3 4 1 0xy? ? ? C 3 4 0xy? D 4 3 1 0yx? ? ? 4 函数 sin cosy x x x?在 ? ?,3?内的单调增区间是（ ） A 3,2?B 35,22?C 5 ,32? ?D ? ?,2? 5设 ,xyz 都是正数，则三个数 1 1 1+ , ,x y zy z x?( ) A. 都大于 2 B. 至少有一个不小于 2 C . 至少有一个大于 2 D. 至少有一个不大
3、于 2 6函数 ? ? ? ?1 s in c o s2 xf x e x x?在区间 0,2?上的值域是（ ） A 211,22e?B 211,22e?C 21,e?D 21,e?7.设函数 212( ) ln ( 0 )f x x xxx? ? ? ?，则 (1)f? ? （ ） A 2 B -2 C 5 D 5? 2 8.已知点 P 在曲线 41xy e? ?上， ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 ? 的取值范围是（ ） A. 3 , )4?B. , )42?C. 3 , ) 0, )42?D. 0, )4?9.若函数 2( ) 2 lnf x x x?在其定义域内的一个子区间
4、( 1, 1)kk?内 不是 单调函数，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1， ） B 1， 32） C 1,2） D 32， 2） 10.已知函数 )( Rxxf ? 满足 1)1( ?f ，且 21)( ?xf ，则 212)( ? xxf 的解集为（ ） A. ? ?11 ? xx B. ? ?1xx? C. ? ?11 ? xxx 或 D. ? ?1?xx 11.若函数 1()2 xf x e? 与 ()gx的图像关于直线 yx? 对称， ,PQ分 别是 ( ), ( )f x g x 上的动点，则PQ 的最小值为（ ） A 1 12n? B 1 12n? C 2(1 1 2)n?
5、D 2(1 1 2)n? 12.对于三次函数 )0()( 23 ? adcxbxaxxf ，定义：设 )(xf? 是 )xfy ? 的导 数，若方程 0)( ? xf 有实数解 x0，则称点（ x0， f（ x0）为函数 y f（ x）的 “ 拐点 ” 有 同学发现： “ 任何一个三次函数都有 拐点 ；任何一个三次函数都有对称中心；且 拐点 就是对称中心 ” 请你将这一发 现为条件，若函数21112532131)( 23? xxxxxg 则 ? )20114()20113()20112()20111( gggg ? )20112010(g? 的值是（ ） A 2010 B 2011 C 201
6、2 D 2013 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知 1 1 1( ) 1 ( )23f n n Nn? ? ? ? ? ?，用数学归纳法证明 1(2 ) 2n nf ? 时 ， 1(2 ) (2 )kkff? ?等于 。 14.函数 3 2 2( ) ( , )f x x a x b x a a b R? ? ? ? ?在 1x? 处有极值为 10，则 b 的值为 。 15. 函数 ? ? xf x ae x?有两个零 点，则 a 的范围是 。 16. 已知 )(xf 的定义域是 ),0( ? ， )(xf? 是 )(xf 的导数，且满
7、足 )()( xfxf ? ，则不等式)2()( 222 fexxfe xx ? 的解集是 。 3 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（ 10 分）已知函数2 6() mxfx xn? ?的图像在点 ( 1, ( 1)Pf?处的切线方程为 2 5 0xy? ? ? ，求函数 ()fx的解析式。 18（ 12 分） 已知函数 4 3 2( ) 8 1 8 1 , 1 , 4 f x x x x x? ? ? ? ? ? （ 1）求 ()fx的单调区间；（ 2）求 ()fx的最值。 19.（ 12 分 )若函数 3211( ) ( 1
8、 ) 132f x x a x a x? ? ? ? ?在区间 (1,4) 上是减函数，在 区间 (6, )? 上是增函数，求实数 a 的取值范围。 20.（ 12 分）已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 21 1, ( )nna S n a n N ? ? ? （ 1）试求出 1 2 3 4, , ,S S S S ， 并猜想 nS 的表达式； （ 2）证明你的猜想，并求出 na 的表达式。 21.（ 12 分） 已知函数 ( ) ln( )f x x x a? ? ?在 1x? 处取得极值 . () 求实数 a 的值； () 若关于 x 的方程 2( ) 2f x x x b?
9、 ? ?在 1,22?恰好有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围 . 22.（ 12 分） 已知函数 xxxf ln)( ? ， )()( 12 ? xxg ? （ ? 为常数） （ 1）若函数 )(xfy? 与函数 )(xgy? 在 1?x 处有相同的切线，求实数 ? 的值； （ 2）若 21? ，且 1?x ，证明： )()( xgxf ? ； （ 3）若对任意 ), ?1x ，不等式恒 )()( xgxf ? 成立，求实数 ? 的取值范围 2017 年春期第一次月考高二理科数学参考答案 一选择题 ACABB ADABD CA 4 二填空题 13. 11 1 12 1 2 2 2k
10、k k ? ? ? 14. 11? 15. 1(0, )e 16. )2,1()0,1( ? 三解答题 17.解：由题意得 1( 1) 2 , ( 1) 2ff? ? ? ? ? ? 22226 2( ) 2 ( 6 ) 1()( 1 ) 2 ( 6 ) 1()( 1 ) 2mm x n x m x nfxm n mxnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得22 , 6 , 261 0 1 ) ( )3 . 1 . 3mm xn n f xnn x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 （ 由 舍 去18.解：定义域 1,4? 3 2 2 2( ) 4 2 4 3 6 4
11、( 6 9 ) 4 ( 3 )f x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ( ) 0 0 , 3f x x x? ? ? ?得 列表得 x 1? ( 1,0)? 0 (0,3) 3 (3,4) 4 y? ? 0 + 0 + y 10 ? 极小值 1? ? 无极值 ? 31 由表知，（ 1）增区间 (0,4) ，减区间 ( 1,0)? （ 2）当 0x? 时， min 1y ? ；当 4x? 时， max 31y ? 。 19.（ 1）解： 221 1 12( 2 ) ( ) ( 2 )1n n n n n n n nna S S n S n S S S S n
12、n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 3 44 3 6 8 21 , 1 , , , ,3 2 4 5 1n na S a S S S S n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?猜 想证明： 1）1 211 , 1, 111nS ? ? ?当 时，等式成立。 2） 假设当 ( 1, )n k k k N? ? ?时 ， 等 式 成 立 ， 即 2 1k kS k? ?。当 1nk? 时，2211 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 2 ( 1 ) 1kk kkS k a k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、 ? ? ? ? 5 1nk? ? ? 时，等式也成立。 综上 1） 2）知，对于任意 nN? ， 2 1n nS n? ?都成立。 又1 22( 1 ) ( 2 ) ( 1 )knaak k n n? ? ? ? ? ?20.解：法一：数形结合（结合三次函数的图像特征） 2( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) f x x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 0 1 , 1f x x x a? ? ? ? ?令 得 由题意及三次函数的图像知， 1, 1x x a? ? ? 是函数 ()fx的两个极值点 ,且 1x? 是极大值点，1xa? 是极小值点。即函数 ()fx
14、 在 1, 1a?（ ） 上是减函数，在 1a? ?（ ， ） 是增函数。41 5 7 5 , 7 61a aaa? ? ? ? 解 得 即 的 范 围 是法二：转化为恒成立，分离参数法 ()fx 在区间 (1,4) 上是减函数 2( ) 1 0f x x a x a? ? ? ? ? ?对 (1,4)? 恒成立 即 2( 1) 1x a x? ? ?对 (1,4)x? 恒成立，即 1ax?对 (1,4)x? 恒成立 m a x( 1 ) , (1 , 4 ) 5a x x a? ? ? ? ? ? 同理， ()fx在区间 (6, )? 上是增函数，可得 1ax?对 (1,4)x? 恒成立 m
15、 i n( 1 ) , ( 6 , ) 7a x x a? ? ? ? ? ? ? ? 综上知， 5,7a的 范 围 是 21.解：（ ） 1( ) 1 ,fx xa? ? ? 由题意得 1(1) 1 0,1f a? ? ? ? 0a? 此时 ( ) lnf x x x? ， 11( ) 1 , 1 , ( ) 0 ; 1 , ( ) 0xf x x f x x f xxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10xa? ? ? ?时 有 极 值 （ ）由题意知，方程 2ln 2x x x x b? ? ? ?在 1,22?恰有二不等实根， 即 23 lnx x x b? ? ?在 1,22?
16、恰有二不等实根。 令 2( ) 3 lng x x x x? ? ?，则 2 1( 1 )( )1 2 3 1 2( ) 3 2 xxxxg x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 当 1,12x ?时， ( ) 0gx? ? ， ()gx 为增函数 ； 当 ? ?1,2x? 时， ( ) 0gx? ? ， ()gx 为减函数； 又15( ) ln 224g ? ； (1) 2g ? ； (2) 2 ln 2g ? ； 而 1 3 3( ) ( 2 ) 2 l n 2 l n 4 02 4 4gg? ? ? ? ? ?； 所以 1( ) (2)2gg? ， ()gx 的简图
17、如图所示， 2( ) 2f x x x b? ? ? ?在 1,22?恰有二不等实根， b 的取值范围为 5 ln2,2)4? 。 22 解：（ 1） ( ) ln 1f x x? ?，则 ?11f? ? 且 ?10f ? 所以函数 ()y f x? 在 1x? 处的切线方程为： 1yx?，从而 (1) 2 1g ? ?，即 12? （ 2）由题意知：设函数 ? ? ? ?21ln 12h x x x x? ? ?，则 ? ? ln 1h x x x? ? ? ? 设 ? ? ln 1p x x x? ? ?，从而 ? ? 111= 0xpxxx? ? ?对任意 ? ?1x? ?， 恒成立，
18、所以 ? ? ? ?ln 1 1 0p x x x p? ? ? ?，即 ? ? 0hx? ? ，因此函数 ? ? ? ?21ln 12h x x x x? ? ?在 ? ?1?， 上单调递减，于是 ? ? ? ?10h x h ? ，所以当 1x 时， ( ) ( )f x g x? 成立 （ 3） 设 ? ? ? ?2ln 1H x x x x? ? ?，从而对任意 ? ?1x? ?， ，不等式 ( ) 0 (1)H x H? 恒成立 ? ? ln 1 2H x x x? ? ? ? 1） 当 0? 时， ? ? ln 1 2 0H x x x? ? ? ? 恒成立，此时函数 ()Hx 单调递增 于是，不等式 ( ) (1) 0H x H ? 对任意 ? ?1x? ?， 恒成立，不符合题意。 2）当 ? ? ln 1 2 0H x x x? ? ? ? ?，即 ln 1 2xx ? ?恒成立时， ()Hx 单调递减 设 ? ? ln 1xrxx?，则 ? ?2ln 0xrx x? ? ?， ? ? ? ?max 11r x r?，即 1122?剠，符合题意。 3）当 102?时，设 ? ? ? ? ln 1 2q x H x x x? ? ? ?，则 ? ? 12 ( )1 1 2 220xxqx x x x? ? ? ? ? ?
