1、 1 河南省信阳市 2016-2017学年高二数学下学期开学摸底考试试题 理 第卷 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60分，在 每小题给出的四个选项中， 恰有 一项 是符合题目要求的，把正确答案涂在答题卡上 . 1.命 题“若 ba? ，则 bcac? （ a 、 b 、 Rc? ）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个 数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.0 2.在 ABC? 中，已知 222 cbcba ? ，则角 A 为 ( ) A 32? B 6? C 3? D 3? 或 32? 3.下列求导数运算正确的是（ ） A. 2 11)1( xxx ?B.
2、?2 )(log x 2ln1x C. exx 3 log3)3( ? D. xxxx s in2)co s( 2 ? 4.“ 0mn? ”是“ 22mx ny mn?为椭圆”的（ ）条件 A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分又不必要 5.若命题 22: , 4 2 1p x R a x x a x? ? ? ? ? ? ?是真命题，则实数 a 取值范围 ( ) .A 32aa? ?或 .B 2a? .C 2a? .D 22a? ? ? 6.设 ()fx? 是函数 ()fx的导函数，将 ()y f x? 和 ()y f x? 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 (
3、) 2 7. 关于 x方程 02c o sc o sc o s 22 ? CBAxx 有一个根为 1，则 ABC是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 8.椭圆 )0(12222 ? babyax 的两焦点为 1F 、 2F ，以 21FF 为边作正三角形，若椭圆恰好平分该正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（ ） A. 324? B. 213? C. 13? D. 13? 9.已知等差数列 ?na 的前项和为 nS ，若 M N P、 、 三点共线， O 为 坐标原点，且? ? opaOMaON 615 (直线MP不过点 O )，则20S 等于（ ） A B1
4、0C40D2010.过抛物线 xy 42? 的焦点作一条直线与抛物线相交于 BA, 两点 ,它们到直线 2?x 的距离之和等于 5,则这样的直线 （ ） A有且仅有一条 B有无穷多条 C有且仅有两条 D不存在 11.双曲线 221xyab?（ a 0,b 0）的两个焦点为 F1、 F2,若 P为其上一点，且 |PF1|=3|PF2|,则双 曲线离心率的取值范围为（ ） A.(1,2) B.? ?1,2 C.(3,+? ) D.? ?3,? 12.对正整数 n，设抛物线 ? ?xny 1222 ? ，过点 ? ?0,2nPn 任作直线 nl 交抛物线于 An， Bn 两点， 则数列 )1(2 ?
5、n OBOA nn 的前 n项和公式是（ ） A. ).1( ? nn B. ).1( ?nn C. .2 )1( ? nn D. .2 )1( ?nn 第卷 二、填空题：本题共 4个小题，每题 5分，共 20分，把答案写在答题卷上 . 13.设变量 x 、 y 满足约束条件?02200yxyxx ，则yxz 23 ? 的最大值为 . 3 14. 函数 xxxf ln2)( 2 ? 的单调减区间是 . 15.若方程 083492 s i ns i n ? aaa xx 有解 ,则 a 的取值范围 . 16 .已知定义在 R 上的函数 )(xf 是奇函数且满足 )()23( xfxf ? ， 3
6、)2( ?f ，数列?na 满足 11 ?a ，且 21nnSa? ? ? ，（其中 nS 为 ?na 的前 n 项和）。 则 ? )()( 65 afaf 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤，答案写在答题卷上 . 17（本小题满分 10分 ） 已知 f(x) |6x a|. （ ） 若不等式 f(x)4 的解集为 x|x 12或 x 56，求实数 a的值； （ ）在（ ）的条件下，若 f(x 1) f(x 1)b对一切实数 x恒成立，求实数 b的取值范围 18（本小题满分 12分） 在 ABC中， cba, 分别是内角 A、 B、 C的对
7、边， D为边 AC的中点， 23?a ，cos ABC 24 （ ）若 c 3，求 sin ACB的值； （）若 BD 3，求 ABC 的面积 4 EFBA DCP19 （本小题满分 12分） 已知函数 23( ) ,3xfx x? 数列 ?na 满足 *11 11, ( ) ,n na a f n Na? ? ?， （ ） 求数列 ?na 的通项公式； （ ） 令 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 1 ,n n nT a a a a a a a a a a ? ? ? ? ? ?求 nT ； （） 若 2n mT?对 *nN? 恒成立，求 m 的最小值 20（本小题满分 12分 )四棱
8、锥 P ABCD? 底面是平行四边形，面 PAB? 面 ABCD , 12P A P B A B A D? ? ?, 060BAD?, ,EF分别 为 ,ADPC 的中点 . （ ） 求证： /EF PAB面 （ ） 求证： EF PBD?面 （） 求二面角 D PA B?的余弦值 5 21 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已知点 A 是 椭 圆 ? ?22: 1 09xyCtt? ? ?的 左 顶 点 ， 直 线: 1( )l x m y m? ? ? R 与椭圆 C 相交于 ,EF两点，与 x 轴相交于点 B .且当 0m? 时， AEF 的面积为 163 . （ ）求椭圆 C 的方
9、程； （ ）设直线 AE ， AF 与直线 3x? 分别交于 M ， N 两点，试判断以 MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由 . 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) lnf x x? ， )0(21)( 2 ? abxaxxg （ ）若 2?a 时，函数 )()()( xgxfxh ? 在其定义域内是增函数，求 b的取值范围； （ ）设函数 )(xf 的图象 1C 与函数 )(xg 的图象 2C 交于点 P 、 Q ，过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 1C 、 2C 于点 M 、 N ，问是否存在点 R ，使 1C 在 M 处的切线与 2C 在 N 处的
10、切线平行？若存在，求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由 . 2018 届高二 寒假开学摸底考试数学 (理 科）答案 一： DABCC DCDBB BA 6 二： 13、 4 14、 1,0( 15、 2372318 ?a 16、 3 三、 17 解 ： (1)由 f(x)4 得 |6x a|4 ， 解得 x 4 a6 或 x 4 a6 ， 依题意 ， ? 4 a6 12， 4 a6 56， a 1； (2)当 a 1时， f(x) |6x 1|， f(x 1) |6x 7|， f(x 1) |6x 5|f(x 1) f(x 1) |6x 7| |6x 5|(6 x 7) (6x 5)| 1
11、2， b12. 18.解： () 42c o s23 ? ABCa ， ， 3?c ， 由余弦定理： ABCacacb ? c o s2222 = 18423232)23(3 22 ? ， ? ? 2分 ? 23?b ? 4分 又 (0, )?ABC ，所以 414c o s1s i n 2 ? ABCABC ， 由正弦定理： ABCbA C Bc ? s ins in ， 得 47s ins in ? b ABCcA C B ?6 分 () 以 BCBA， 为 邻 边 作 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCE ， 如 图 ， 则42c o sc o s ? ABCB C E ，
12、? 8分 ,62 ? BDBE 在 BCE 中， 由余弦定理： B C ECECBCECBBE ? c o s2222 即 )42(2321836 2 ? CECE ， 解得： ，3?CE 即 ，3?AB ?1 0分 所以 4 79s in21 ? ABCacS ABC.?12 分 B C D A E 7 19.解： (1)因为 2 3 2 1() 33xfx xx? ? ?，又1 12() 3nnna f aa? ? ? ?，即 ?na 是以 1为首项，以 23 为公差的等差数列，所以 2133nan?. （ 2） 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 1n n nT a a a a a
13、a a a a a ? ? ? ? ? ? 2 1 3 4 3 5 2 2 1 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ?2 4 24 ()3 na a a? ? ? ? ?24 (2 3 )9 nn? ? （ 3）由 *nN? ， ?nT 递减，所以 1n? ， nT 取最大值 209? ，由 2n mT ?时， *nN? 恒成立， 所以，m ax 40(2 ) ,9nmT? ? ?所以，min 409m ?. 20.解 .（ 1） 1, / / , 2P B F G F G B C F G B C?取 的 中 点 ， 连 由 题 设-
14、1分 1/ / , / /2A E B C A E B C F G A E? AEFG 是 平 行 四 边 形,所以 /EF AG -2分 AG? 面 PAB， EF? 面 PAB?EF/面 PAB-4 分 （ 2） P A B A G P B?是 等 边 三 角 形 ，- 02 2 2 0 2 202 , 6 0 ,2 c o s 6 090A B D A D A B B A DB D A B A D A B A D A D A BABD? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?中 ， 由 余 弦 定 理所以 BD AB? -6分 ,P A B A B C D B D A B D B P
15、 A B? ? ? ?面 面 面 DB AG? - -7分 由 可知， ,A G P B A G B D A G P B D? ? ? ? 面 / / ,E F A G E F P B D?又 面-9分 (3)取 PA 的中点 N , ,BN DN连 P A B B N P A? ? ?是 等 边 三 角 形 R t P B D R t A B D P D A D? ? ? ?DNAP? DNB ?是二面角 D PA B?的平面角 -11 分 由 （ 2）知 ,B D P A B B D B N?面 EFBA DCPN 8 32D B N B D A B B N? ? ?在 Rt 中 ， 5t
16、a n 2 , c o s 5BDBN? ? ?即 二面角 D PA B?的余弦值为 55 -12分 解法二 （ 1） 02 2 2 0 2 202 , 6 0 ,2 c o s 6 090A B D A D A B B A DB D A B A D A B A D A D A BABD? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?中 ， 由 余 弦 定 理, BD AB? ,P A B A B C D B D A B D B P A B? ? ? ?面 面 面 建系 在平面 PAB 内作直线 BZ 垂直于 AB 以 BA， BC， BZ,所在直线分别为 X 轴 Y 轴 Z 轴建立如图所示的空
17、间直角坐标系， 令 2AB? ? ? ? ? ? ?2 , 0 , 0 , 0 , 2 3 , 0 , 1 , 0 , 3A D P, ? ?2,2 3,0C ? ? ? ? ? ? ?1 1 33 , 0 , 3 3 , 0 , 12 2 2E F A P D C? ? ? ? ? ? 因为平面 PAB的法向量 ? ?2 0,1,0n ? 2 0 / /E F n E F P A B? ? ? 面 (2) ? ? ? ?0 , 2 3 , 0 , 1 , 0 , 3B D B P? 0 , 0E F B D E F B P? ? ? ? ,E F B D E F B P E F P B D?
18、 ? ? ? 面 (3) 设平面 PAD的法向量为 ? ?1 1 1 1,n x y z? ? ?1,0, 3AP ? , ? ?2, 2 3, 0AD ? 11302 2 3 0n A P x zn A D x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令 3x? 所以 ? ?1 3,1,1n ?平面 PAB的法向量 , ? ?2 0,1,0n ?12 1cos , 5nn? ?，即 二面角 D PA B?的余弦值为 55 21.解：（ ）当 0m? 时，直线 l 的方程为 1x? ，设点 E 在 x 轴上方， 由 221,91xytx? ?解得 2 2 2 2(1, ), (1, )33ttEF ?,所以 423 tEF ? .
