1、目 录 第一讲 因式分解1 第二讲 分式5 第三讲 图形变换9 第四讲 三角形的“五心” 13 第五讲 几何中的著名定理 17 第六讲 圆 19 第七讲 一次函数和一次不等式 22 第八讲 均值不等式 26 第九讲 一次分式函数 30 第十讲 一元二次方程 33 第十一讲 一元二次函数（一） 37 第十二讲 一元二次函数（二） 41 第十三讲 一元二次不等式 45 第十四讲 绝对值不等式 49 第十五讲 根的分布（一） 52 第十六讲 根的分布（二） 56 第一讲 因式分解 一、知识归纳一、知识归纳 1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式： （1）)( 22 bababa； （2
2、） 222 )(2bababa； （3） 33223 )(33bababbaa； （4） 2222 )(222cbaacbcabcba； （5）)(3 222333 acbcabcbacbaabccba； （6） *1221 );)(N nbabbaababa nnnnnn ； （7）当 n 为正奇数时)( 1221 nnnnnn babbaababa 当 n 为正偶数时)( 1221 nnnnnn babbaababa 2、十字相乘法因式分解 3、待定系数法因式分解 4、添项与拆项法因式分解 5、长除法 二、例题讲解二、例题讲解 例 1：因式分解：376 2 xx 例 2：因式分解： 222
3、2224 )()(2baxbax 例 3：因式分解3104344 22 yxyxyx 例 4：利用待定系数法因式分解 （1）20314932 22 yxyxyx （2）3104344 22 yxyxyx 例 5：利用添项法、拆项法因式分解 （1）76 3 xx （2）1 5 xx 例 6：已知013 2 xx，求1987576 23 xxx的值。 三、课堂练习三、课堂练习 1、分解因式 （1）)()( 66 xyzyzyxx （2） 22222 4) 1(baba （3）8324 34 mmm 分解因式 （1）4 4 x （2）89 3 xx 3、分解因式 （1）2332 22 yxyxyx
4、（2）253352 22 yxyxyx 4、 已知多项式13 3 bxaxx能被1 2 x整除， 且商式是13 x则 b a)( 。 5、多项式bxaxxx732 224 能被2 2 xx整除，求 b a 的值。 第二讲 分式 一、知识归纳 （一）分式的运算规律（一）分式的运算规律 1、加减法 同分母分式加减法： c ba c b c a 异分母分式加减法： bc bdac c d b a 2、乘法： bd ac d c b a 3、除法： bc ad c d b a d c b a 4、乘方： n n n b a b a )( （二）分式的基本性质（二）分式的基本性质 1、)0(m bm a
5、m b a 2、)0( m mb ma b a （三）比例的性质（三）比例的性质 （1）若 d c b a 则bcad （2）若 d c b a 则 d dc b ba （合比性质） （3）若 d c b a （0db）则 db db ca ca （合分比性质） （4）若 d c b a n m ，且0ndb则 b a ndb mca （等比性质） （四）分式求解的基本技巧（四）分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化简 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质 二、例题解析 例 1：化简 2 32 |21 1 xx xxx
6、例 2：化简： 3223 babbaa a 44 22 22223223 311 ba ba abbababbaa b 例 3：计算 2)( 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 n m m n n m m n n m m n n m m n n m m n 例 4：计算 abbcacc ba acabbcb ac bcacaba cb 222 例 5：若1abc，求 111 cac c bbc b aab a 例 6：已知 x zyx y zyx z zyx 且0 xyz 求分式 xyz xzzyyx)()( 的值 三、课堂练习 1、已知 yx xy 1， zy yz z
7、， zx xz 3，则 x ； 2、若3419x则分式 158 231826 2 234 xx xxxx ； 3、设1 1 2 mxx x ，则 1 336 3 xmx x ； 4、若0abc，且 b ac a cb c ba ，则 abc cacbba)()( ； 5、设x、y、z为有理数，且0zyx，a zy x ，b xz y ，c yx z ， 则 c c b b a a 111 ； 6、已知a、b、c均不为0，且0cba，则 22222222 111 cbabacacb ； 第三讲 图形变换 一、知识归纳 1、)0()()(aaxfyaxfy个单位向上平移 2、)0()()(aaxf
8、yaxfy个单位向下平移 3、)0)()(aaxfyaxfy个单位向左平移 4、)0)()(aaxfyaxfy个单位向右平移 5、| )(|)(xfyxfy 将)(xfy 图象在 x 轴下方的部分，以 x 轴为对称轴对称地翻折上去即可 6、|)(|)(xfyxfy 将)(xfy 的图象位于 y 轴右边的部分保留，在 y 轴的左边作其对称的图即可。 二、例题解析 例 1：说出下列函数图象之间的相互关系 （1）1 2 xy与1 2 xy （2）1 2 xy与3) 1( 2 xy （3）xy2与 3 2 x y （4） x y 2 3与 32 3 x y 例 2：已知中的图的对应函数)(xfy ，则
9、中的图象对应函数为 ； A、|)(| xfy B、| )(|xfy C、|)|(xfy D、|)(| xfy 例 3：画出下列函数的图象 （1）|32| 2 xxy （2）1|2 2 xxy 例 4：已知) 1( xfy的图象过点（3，2） ，那么与函数)(xfy 的图系关于 x 轴对 称的图象一定过点 ； A、 （4，2） B、 （4，2） C、 （2，2） D、 （2，2） x y 0 x y 0 例 5：试讨论方程kxx|34| 2 的根的个数 例 6：求方程62|4 2 xx的解的个数 课堂练习： 1、函数 x y2的图象 ； A、与 x y2的图象关于 y 轴对称 B、与 x y2的
10、图象关于原点对称 C、与 x y 2的图象关于 y 轴对称 D、与 x y 2的图象关于原点对称 2、为了得到 x y) 3 1 (3的图象，可以把 x y) 3 1 (的图象 A、向左平移 3 个单位长度 B、向右平移 3 个单位长度 C、向左平移 1 个单位长度 x y 0 -1 1 2 3 1 2 3 y x 0 (0,1) y=2x 第 3 题图 D、向右平移 1 个单位均等 3、已知 x y2的图象如右，请画出以下函数的图象 （1）) 1( xf （2）|)(| xf （3）1)(xf （4）)(xf （5）| 1)(|xf 4、已知xy 2 log的图象如右： 试求不等式： 1)(
11、log2xx成立的 x 的取值范围 5、已知方程1| axx有一负根，而没有正根，那么 a 的取值范围是 ； A、1a B、1a C、1a D、补以上答案 y x 0 (1,0) 第 4 题图 第四讲 三角形的“五心” 一、知识归纳 1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍， 重心和三顶点的连线将ABC 的面积三等分，重心一定在三角形内部。 2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心 在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在
12、三角 形内。 4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六 组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形 的垂心在三角形外。 5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三 角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。 二、例题解析 例 1：在锐角ABC 中，内角为 A、B、C 三边为 a、b、c，则内心到三边的距离之比 为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ， 垂心到三边的距离之比为 。 例 2：如图，锐角ABC 的垂心为 H，三条高的垂足分别为 D、E、F，则 H 是DEF 的 ； A、垂
13、心 B、重心 C、内心 D、外心 例 3：如图，D 是ABC 的边 BC 上任一点，点 E、 F 分别是ABD 和ACD 的重心连结 EF 交 AD 于 G 点， 则 DG：GA ； 例 4： 设ABC 的重心为 G， GA32，22GB，2GC， 则 ABC S ； A F B D C E H A B C E G F M D N 例 5：若 H 为ABC 的重心，AHBC，则BAC 的度数是 ； A、45 B、30 C、30或 150 D、45或 135 例 6：已知平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AB10，AC9，DE12，求平 行四边形 ABCD 的面积。 三、课堂练习
14、1、已知三角形的三边长分别为 5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心 到垂心的距离为 ； 2、已知三角形的三边长为 5，12，13，则其内切圆的半径r ； 3、 在ABC 中， A 是钝角， O 是垂心， AOBC， 则 cos （OBC+OCB） = ; 4、 设 G 为ABC 的重心， 且 AG6， BG8， CG10， 则ABC 的面积为 ； 5、若900，那么以sin、cos、cottan为三边的ABC 的内切圆， 外接圆的半径之和为 ； A E B C D O G A、)cos(sin 2 1 B、)cot(tan 2 1 C、cossin2 D、 cossin 1 6、AB
15、C 的重心为 G，M 在ABC 的平面内，求证： 2222222 3GMGCGBGAMCMBMA 第五讲 几何中的著名定理 一、知识归纳 本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理 二、例题解析 例 1：如图ABC 中，AD 为BAC 的角平分线 求证： DC BD AC AB 例 2：如图，ABC 中，AD 为A 的外角 平分线，交 BC 的延长线于点 D，求证： AC AB CD BD . 例 3：如图，AD 为ABC 的中线， 求证：)(2 2222 BDADACAB A F B D C E 1 2 A B C D 1 2 A B D E C 例 4： （梅
16、涅劳斯定理） 如果在ABC 的三边 BC，CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E、F 三点共 线，则1 FB AF EA CE DC BD 例 5：设 O 为ABC 内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、M，则1 PA CP NC BN MB AM . 三、课堂练习 1、如图，P 是 AC 中点，D、E 为 BC 上两点， 且 BDDEEC，则 BM：MN：NP ； 2、如图，在ABC 中，D、E 分别在边 AB、 AC 上且 DE/BC，设 BE 与 CD 交于 S，证明 BMCM。 3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。 A F B C E G D A M B
17、 N C P 0 1 2 3 4 5 6 B D A E S C M 第六讲 圆 一、知识归纳 1、证明四点共圆的方法有： （1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上 （2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆 （3）线段同旁张角相等，则四点共圆。 （4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 （5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆 （6）四边形 ABCD 对角线相交于点 P，若 PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆 （7）四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线交于点 P，若PDPCPBPA， 则它的四个顶点共圆。 2、圆幂定理 二、例题讲解 例 1：如图
18、，设 AB 为圆的直径，过点 A 在 AB 的同侧作弦 AP、AQ 交 B 处的切线于 R、S，求证：P、Q、S、R 同点共圆。 例 2：圆内接四边形 ABCD，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心的半圆与 BC，CD，DA 相切，求证：ADBCAB A D C O E B A B Q S R P 例 3：如图，设 A 为O 外一点，AB， AC 和O 分别切于 B，C 两点，APQ 为O 的一条割线，过点 B 作 BR/AQ 交O 于点 R， 连结 CR 交 AO 于点 M，试证：A，B，C，O，M 五点共圆。 例 4：如图，PA 切O 于 A，割线 PBC 交O 于 B，C 两点，D 为
19、PC 中点，且 AD 延长线交O 于点 E，又EADEBE 2 ,求证： （1）PAPD； （2）DEADBD 2 2. 例 5：如图，PA，PB 是O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是 AB 与 PC 的交点， 若 PE 长为 2，CD1，求 DE 的长度。 A P B D O E C A C D P O H E B 三、课堂练习 1、如图，已知点 P 在O 外一点，PS，PT 是O 的两条切线，过点 P 作O 的割线 PAB，交O 于 A，B 两点，并交 ST 于点 C，求证：) 11 ( 2 11 PBPAPC 2、如图，A 是O 外一点，AB、AC 和O 分别切于点 B、C，AP
20、Q 为O 的一条割 线，过 B 作 BR/AQ 交O 于 R，连 CR 交 AQ 于 M。 试证：A，B，C，O，M 五点共圆。 3、设O1、O2、O3两两外切，M 是O1、O2的切点，R、S 分别是O1、 O2与O3的切点，连心线 21O O交O1于 P，O2于 Q，求证：P、Q、R、S 四点共圆。 S B D P O A C T A B G P C O M R P R Q S O1 O3 O2 第七讲 一次函数和一次不等式 【要点归纳】【要点归纳】 1、形如 y=kx+b(k0)的函数叫做一次函数。 （1）它的图象是一条斜率为 k，过点（0，b）的直线。 （2）k0是增函数；kb 的解的情
21、况： （1）当 a0 时， a b x ； （2）当 a0，则无解。 类似地，请同学们自行分析不等式 ax0， 则 a b =_ 例 9 若不等式（2a-b）x+(3a-4b)0 的解。 【反馈练习】【反馈练习】 1、一次函数 y=(3m-1)x-(m+5)的图象不过第一象限，则实数 m 的取值范围是 _ 2、一次函数 f(x)满足：f（f（f(x)） ）=-27x-21，则 f(x)=_ 3、函数 f(x)=3x+1+k-2kx 在-1x1 时，满足 f(x)k 恒成立，则整数 k 的值为 _ 4、已知 x0，y0，z0，且满足 x+3y+2z=3，3x+3y+z=4 求 w=3x-2y+4
22、z 的最大值 和最小值。 5、若不等式 5x-a0 的正整数解是 1，2，3，4，则 a 的取值范围为_ 6、解关于 x 的不等式：a(x-a)x-1 7、若不等式（m+n）x+(2m-3n)0 的 解。 8、解关于 x 的不等式组： 89)(9 3)2( axa xxa 第八讲 均值不等式 【要点归纳】【要点归纳】 当 a，b，c0 时，则 （1） 2 ) 2 ( 2 ba abab ba （当且仅当 a=b 时，取“=” ） （2） 33 ) 3 ( 3 cba abcabc cba （当且仅当 a=b=c 时，取“=” ） 更一般地，当0 i a（3 , 2 , 1in）时， 则 n n
23、 n aaa n aaa 21 21 （当且仅当 n aaa 21 时，取“=” ） 【典例分析】【典例分析】 例 1 设 a，b，c0，证明下列不等式： （1） 2 b a a b （2） cbacba 9111 例 2 下列命题中有_个正确 （1）函数 x xxf 4 )(的最小值是 4； （2）函数 2 2 4 1 4)( x xxf 的最小值是 2 （3）函数)0( 6 21)(x x xxf的最大值是341 （4）函数)0( 4 )( 2 x x xxf，当 x=1 时，取最小值。 例 3 （1） 已知0,yx，且1 91 yx ，求 x+y 的最小值； （2） 已知0,yx，且1
24、2 2 2 y x，求 2 1yx的最大值。 例 4 （1）当 x1 时，求 1 1 x xy的最小值； （2）当 4 5 x时，求 54 1 24 x xy的最大值。 例 5 （1）当 a，b0 时，证明： baba 411 （2）设 abc，求使得不等式 ca k cbba 11 恒成立的 k 的最大值。 例 6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为 1800 元，该厂每天需用面粉 6 吨，面粉的保管费为平均每吨每天 3 元，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每 次购面粉需支付运输费 900 元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总 费用最少？ 【反馈练习】【反馈
25、练习】 1、已知0,ba，且 a+b=1，求 ba 11 的最小值。 2、函数 y=x(1-2x) ( 2 1 0 x)的最大值等于_；此时 x=_ 3、函数)0, 0( 2 2 ax x axy的最小值为 6，则实数 a=_ 4、已知0,ba，且 ab=3+a+b，求 ab 的取值范围。 5、求函数)0( ) 1(3 2 x x x y的最大值及相应的 x 的值。 6、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 2 cm，画面的宽与高的比为) 1(，画 面的上下各留 8cm 空白，左右各留 5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积 最小？ 第九讲 一次分式函数 【要点归纳】
26、【要点归纳】 形如)0,(不同时为ca dcx bax y 的函数，叫做一次分式函数。 （1）特殊地，)0(k x k y叫做反比例函数； （ 2 ） 一 次 分 式 函 数)0,(不同时为ca dcx bax y 的 图 象 是 双 曲 线 ， )0(,c c a y c d x是两条渐近线，对称中心为（ c a c d ,） （c0） 。 【典例分析】【典例分析】 例 1 说明函数 1 3 x x y的图象可由函数 x y 1 的图象经过怎样的平移变换而得到， 并指出它的对称中心。 例 2 求函数 x x y 1 1 在-3x-2 上的最大值与最小值。 例 3 将函数 x xf 1 )(的
27、图象向右平移 1 个单位， 向上平移 3 个单位得到函数)(xg的 图象 （1）求)(xg的表达式； （2）求满足)(xg2 的 x 的取值范围。 例 4 求函数)0( 12 3 x x x y的值域。 例 5 函数 1 )( x ax xf，当且仅当-1x1 时，0)(xf （1）求常数 a 的值； （2）若方程mxxf)(有唯一的实数解，求实数 m 的值。 例 6 已知)0, 0(ax x a y图象上的点到原点的最短距离为 6 （1）求常数 a 的值； （2）设)0, 0(ax x a y图象上三点 A、B、C 的横坐标分别是 t，t+2，t+4，试求 出最大的正整数 m， 使得总存在正
28、数 t，满足ABC 的面积等于 t m 。 【反馈练习】【反馈练习】 1、若函数 y=2/(x-2)的值域为 y1/3，则其定义域为_。 2、函数 3 12 x x y的图象关于点_对称。 3、若直线 y=kx 与函数 5 9 x x y的图象相切，求实数 k 的值。 4、画出函数 1 |1 x x y的图象。 5、若函数 2 1 x ax y在(-2，+)是增函数，求实数 a 的取值范围。 6、 （1）函数 1 1 x ax y的定义域、值域相同，试求出实数 a 的值； （2）函数 1 1 x ax y的图象关于直线 y=x 对称，试求出实数 a 的值。 第十讲 一元二次方程 【要点归纳】【
29、要点归纳】 一元二次方程 )0(0 2 acbxax （） 1、实数根的判断 0方程（）有两个不同的实数根 = 0方程（）有两个相同的实数根 0方程（）没有实数根 2、求根公式与韦达定理 当 0 时，方程（）的实数根 a b x 2 2, 1 并且 a b xx 21 a c xx 21 【典例分析】【典例分析】 例 1、（1） 已知32是方程01 2 mxx的一个实根， 求另一个根及实数 m 的值； （2） 关于 x 的方程01) 1() 1( 22 xaxa有实数根， 求实数 a 的取值范围。 例 2 设实数 s，t 分别满足：019919 2 ss，01999 2 tt，并且1st， 求
30、 t sst14 的值。 例 3 实数 x，y，z，满足：x+y+z=a，x2+y2+z2= 2 2 a （a0）,求证：az 3 2 0 例 4 求函数 1 2 2 xx x y的最大值与最小值。 例 5 若关于 x 的方程mxx12有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围。 例 6 函数cbxaxxf 2 )(，其中cba,满足：cba，0cba （1）求证：方程0)(xf有两个不同的实数根 1 x， 2 x； （2）求| 21 xx 的取值范围。 【反馈练习】 1、当 a，b 时，关于 x 的方程0)2443()1 (2 222 babaxax有实数根？ 2、已知133 224 bba
31、a，且1 2 ba，则 3 36 1 b ba 的值等于_ 3、设ABC 的两边 AB 与 AC 长之和为 a，M 是 AB 的中点，MC=MA=5，求 a 的取值范 围。 4、设实数 a，b 满足：1 22 baba，求 22 baba的取值范围。 5、求函数 1 2 xx x y的最值。 6、 若关于 x 的方程mxx12有唯一的实数根，求实数 m 的取值范围。 第十一讲 一元二次函数（一） 【要点归纳】【要点归纳】 1、形如)0( 2 acbxaxy的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。 2、二次函数的解析式的三种形式： 10 一般式 )0( 2 acbxaxy 20 顶点式 )0()
32、( 2 anmxay，其中顶点为（m，n） 30 零点式 )0)()( 21 axxxxay，其中 1 x， 2 x是0 2 cbxax的两根。 本讲主要解决求二次函数的解析式问题。 【典例分析】【典例分析】 例 1 二次函数 f(x)满足： 103 fxf，并且它的图象在 x 轴截得的线段长等于 4，求 f(x)的解析式。 例 2 二次函数 f(x)满足： f(1)=f(-5)， 且图象过点 （0， 1） ， 被 x 轴截得的线段长等于22。 求 f(x)的解析式。 例 3 二次函数 f(x)满足：f(x+1)-f(x)=2x，且 f(0)=1。 （1）求 f(x)的解析式； （2）当-1x
33、1 时，y=f(x)的图象总是在 y=2x+m 的图象上方，试确定实数 m 的取值范 围。 例 4 若方程axxx4|34| 2 有且仅有三个实数根，求实数 a 的值。 例 5 设 2 ( )32f xaxbxc，若0abc ，(0) (1)0ff， （1）求证：0a且方程( )0f x 有两个不同的实数根 12 xx，； （2）求 a b 及| 21 xx 的取值范围。 例 6 设 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+c(a0) ， 方 程 f(x)-x=0 的 两 个 根 x1， x2满 足 ： a xx 1 0 21 （1）当0xx1时,证明：xf(x)bc，且 a+b+c=0 （1
34、）求证：两函数的图象交于不同的两点 A（x1,y1）B(x2,y2)； （2）求| 21 xx 的取值范围。 7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足： a xx 1 12 证明：当0tx1； 8、对于函数 f(x),若存在实数 x0,使 f(x0)=x0成立,则称 x0为 f(x)的不动点。已知二次函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b1) (1) 当 a=1,b= 2 时，求函数 f(x)的不动点； (2) 若对任意实数 b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； (3) 在(2)的条件下，若 y=f(x)图上 A、
35、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点，且 A、B 两点关于直线 y=kx+ 12 1 2 a 对称，求 b 的最小值（本小问选做） 十二、一元二次函数（二） 知识归纳： 1、一元二次函数)0( 2 acbxaxy 0 4 4 , 0 2 min a a bac ya时， a bac y 4 4 2 max 2、一元二次函数)0()( 2 acbxaxxfy在区间m,n上的最值。 1当m a b 2 )()(),()( minmax mfxfnfxf 2当 22 nm a b m a bac xfnfxf 4 4 )(),()( 2 minmax 3当 n a bnm 22 时， a bac
36、 xfmfxf 4 4 )(),()( 2 minmax 4n a b 2 时 )()(),()( minmax nfxfmfxf x m n x m n 2 nm a b 2 a b 2 x m n 2 nm a b 2 x m n a b 2 3、 一元二次函数)0()( 2 acbxaxxfy在区间m,n上的最值类比 2 可求得。 举例： 例 1、函数24 2 xxy在区间4 , 1 上的最小值是（ ） A、7 B、4 C、2 D、2 例 2、已知函数32 2 xxy在闭区间0,m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值 范围是（ ） A、), 1 B、0,2 C、1,2 D、2 ,(
37、 例 3、 如果函数cbxxxf 2 )(对任意实数都有)2()2(tftf， 那么 （ ） A、)4() 1 ()2(fff B、)4()2() 1 (fff C、) 1 ()4()2(fff D、) 1 ()2()4(fff 例 4、若0, 0yx，且12yx，那么 2 32yxz的最小值为（ ） A、2 B、 4 3 C、 3 2 D、0 例 5、设 21, ,xxRm是方程012 22 mmxx的两个实数根，则 2 2 2 1 xx 的最小 值是 。 例 6、)0(24 1 xy xx 的最小值是 。 例 7、函数xxy1的最大值是 ，最小值是 。 例 8、已知二次函数)(xf满足条件
38、1)0(f和xxfxf2)() 1( （1）求)(xf （2）)(xf在区间1，1上的最大值和最小值。 例 9、已知二次函数 1 , 0, 12)( 2 xaxxxf，求)(xf的最小值。 例 10、设 a 为实数，函数Rxaxxxf, 1|)( 2 ，求)(xf的最小值。 课后练习 一、选择题 1、如果实数 x，y 满足1 22 yx，那么)1)(1 (xyxy有（ ） A、最小值 2 1 和最大值 1； B、最小值 4 3 ，而无最大值 C、最大值 1，而无最小值 D、最大值 1 和最小值 4 3 2、函数32)( 2 axxxf在区间1,2上单调，则 a 的取值范围是（ ） A、 1 ,
39、( B、), 2 C、1,2 D、), 2 1 ,( 3、已知函数52)( 2 xxxf在区间m,2上有最小值 4，最大值 5，则 m 的取值范 围是（ ） A、0,2 B、 1 ,( C、0,1 D、0,1） 4、 若2 , 122)( 22 xaaxxxf，的最大值为 2， 则 a 的取值范围是 （ ） A、) 1,( B、), 2( C、1,2 D、(1,2) 二、填空题 5、已知函数, 1 , 86)( 2 axxxxf，并且函数 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a 的取值范围是 。 6、已知二次函数 f(x)满足1) 1(, 1)2(ff，且)(xf的最大值是 8，则 f(x)
40、= 。 7、已知关于 x 的函数cbxaxxf 2 )(（a，b，c 为常数，且0ab） ，若 )()( 2121 xxxfxf，则)( 21 xxf的值等于 。 三、解答题 8、已知函数)0( 3) 12()( 2 axaaxxf在区间2 , 2 3 上的最大值为 1，求实 数 a 的值。 9、函数3)( 2 axxxf （1）当Rx时，axf)(恒成立，求 a 的取值范围。 （2）当2 , 2x时，axf)(恒成立，求 a 的取值范围。 10、设 x，y 均非负，2x+y=6，求yxyxyxz3634 22 的最大值和最小值。 十三 一元二次不等式 知识归纳 一 般 式 二次函数 一元二次
41、方程 一元二次不等式 )0( 2 a cbxaxy acb4 2 )0( 0 2 a cbxax )0( 0 2 a cbxax )0( 0 2 a cbxax 图 像 与 解 0 )( , 21 21 xx xxxx 21 xx 或 21 xx 21 xxx 0 a b xx 2 0 0 xx 无解 0 无解 R 无解 表中 a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 x y O x1 x2 x y O x0 x y O 2、)0(0 2 acbxax恒成立 04 0 2 acb a )0(0 2 acbxax恒成立 04 0 2 acb a 二、典例分析 例 1
42、、解下列不等式 （1）023 2 xx （2）0123 2 xx （3）032 2 xx （4）016 2 xx （5）096 2 xx （6）01 2 xx （7）032 2 xx （8）044 2 xx 例 2、 若不等式04)2(2)2( 2 xaxa对一切Rx恒成立， 则a 的取值范围是 （ ） A、2 ,( B、2，2 C、 （2,2 D、)2,( 例 3、若不等式02 2 bxax的解集为) 3 1 , 2 1 (，则 a+b 的值为（ ） A、10 B、10 C、14 D、14 例 4、若不等式01 2 axx和01 2 xax均不成立，则（ ） A、 4 1 a或2a B、2
43、4 1 a C、 4 1 2a D、 4 1 2a 例 5、满足2|p的不等式),(21 2 Rpxpxpxx恒成立的 x 的取值范围是 。 例 6、不等式08|6 2 xx的解集为 。 例7、 若012 2 axx恒成立， 不等式054 22 aaxx的解集为 。 例 8、解关于 x 的不等式02) 12( 2 xaax 例 9、设ba，解关于 x 的不等式。 222 )1 ()1 (xbaxxbxa 例 10、已知抛物线cbxaxxfy 2 )(过点（1，0） ，问是否存在常数 a，b，c， 使不等式) 1( 2 1 )( 2 xxfx对一切Rx都成立。 课后练习 一、选择题 1、已知0218 2 mxmx的解集为 R，则 m 的取值范围是（ ） A、 16 21 0 m B、 16 21
