1、 1 虎林市高二学年开学摸底考试 理科数学试题 (时间： 120分钟 满分： 120分 ) 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考 号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、 选择题 1双曲线 错误 !未找到引用源。 的实轴长是 ( ) A 2 B 错误 !未找到引用源。 C 4 D 4错误 !未找到引用源。 2.已知圆 的圆心为抛物线 的焦点，直线 与圆 相切，则该圆的方程为（ ） A B C D 3由曲线 xy? 与直线 0,4 ? yx 围成的曲边梯形的面积为（ ） A、 38 B、 316 C、 332 D、 16 4.设双曲线 1( a 0， b 0)的一条渐近线与
2、抛物线 y x 2 1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ) A B 5 C D 5 计算 1 20 (1 1 )x dx?的结果为（ ） A 1 B 4? C 14? D 12? 2 6.圆心在 上，半径为 3的圆的标准方程为（ ） A B C D 7我国南北朝数学家何承天发明的 “ 调日法 ” 是程序化寻求精确分数来表示数值的算法 ,其理论依据是 ：设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 ab 和 cd （ *, Ndcba ? ） ，则 ca db? 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值 .我们知道 ? 14159.3? ，若令 15491031 ? ，则第一次用 “ 调日
3、法 ” 后得 516 是 ? 的更为精确的过剩近似值，即 5161031 ? ，若 每次都取最简分数 ，那么第四 次用“ 调日法 ” 后可得 ? 的近似分数为（ ） A 722 B 2063 C 2578 D 35109 8. 已知 F为双曲线 C： 的左焦点， P， Q 为 C上的点若 PQ的长等于虚轴长的 2倍，点 A(5,0)在线段 PQ上，则 PQF的周长为（ ） A 11 B 22 C 33 D 44 9 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ACB 90 ， AA1 2， AC BC 1，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 ( ) A. 65 B. 64 C. 6
4、3 D. 66 10.长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB AA 1 2， AD 1， E 为 CC 1 的中点，则异面直线 BC 1 与 AE 所成角的余弦值为 ( ) A B C D 3 11若椭圆 2 2 1 ( 1)x ymm ? ? ?与双曲线 2 2 1 ( 0)x ynn ? ? ?有相同的焦点 12FF、 ， P 是两曲线的一个交点，则 12FPF? 的面积是（ ） A 4 B 2 C 1 D 12 12. 如图 ，空间四边形的各边和对角线长均相等， E 是 BC 的中点，那么（ ） A B C D 与 不能比较大小 二、 填空题 13. 设向量 a ,
5、 b , c 满足 a + b + c =0 ( a - b ) c , a b ,若 a =1,则 a 2 + b 2 + c 2 的值是 _. 14. 已知 i 、 j 、 k 是两两 垂直的单位向量， a =2 i - j + k , b = i + j -3 k ,则 a b 等于 _. 15.如图，在棱 长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 和 N 分别 是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 _ 16.已知 、 分别为双曲线 : 的左、右焦点，点 ，点 的坐标为 (2，0)， 为 的平分线则 . 17
6、. 若一个二面角 的两个面的法 向量分别为 m =(0,0,3), n =(8,9,2),则这个二面角 的余弦值为_. 4 三、 解答题 18. 已知动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的距离相等，点 C在直线 上。 （ 1）求动点 的轨迹方程。 （ 2）设过定点 ，且法向量 的直线与（ 1）中的轨迹相交于 两点且点 在 轴的上方。判断 能否为钝角并说明理由。进一步研 究 为钝角时点 纵坐标的取值范围。 19.已知椭圆方程为 ，射线 （ x 0）与椭圆的交点为 M，过 M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 A、 B两点（异于 M） （）求证直线 AB的斜率为定值； （）求 面积的最大值 2
7、0 （ 本小题满分 12 分） 己知函数 21( ) ln ,2f x x a x x a R? ? ? ? (1)若关于 x 的不等式 ( ) 1f x ax?恒成立 ,求整数 a 的最小值 ; (2)若 2a? ,正实数 12,xx满足 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x? ? ?,证明 : 12 512xx ?5 21. 正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面 边长为 a ，侧棱长为 a ，求 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角 . 22. 若 PA 平面 ABC , AC BC , PA = AC =1, BC = ,求二面角 APBC 的余弦
8、值 . 理科数学试题答案 一、选择题 1、 D2、 B 3、 C 4、 D 5、 B 6、 B 7、 D 8、 D9、 D10、 B 11、 A 12、 C 二、填空题 13、 4 14、 -2 15、 16、 6 17、 或 - 三、解答题 18、 解（ 1）动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的距离相等，所以 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，轨迹方程为 （ 2）方法一：由题意，直线 的方程为 故 A、 B两点的坐标满足方程组 得 ， 设 ，则 ， 由 ，所以 不可能为钝角。 若 为钝角时， , 得 若 为钝角时，点 C纵坐标的取值范围是 注：忽略 扣 1分 方法二：由题意，直线
9、 的方程为 （ 5分） 故 A、 B两点的坐标满足方程组 得 ， 设 ，则 ， 由 ，所以 不可能为钝角。 过 垂直于直线 的直线方程为 令 得 为钝角时，点 C纵坐标的取值范围是 注：忽略 扣 1分 19、 （）斜率 k存在，不妨设 k 0，求出 M（ ， 2） 直线 MA 方程为 ， 分别与椭圆方程联立，可解出 ， 同理得，直线 MB 方程为 ，为定值 . （）设直线 AB 方程为 ，与 联立， 消去 y得 由 0得一 4 m 4，且 m 0， 点 M到 AB的距离为 设 AMB的面积为 S 当 时，得 20、 （ 1） ；（ 2） 21、 解法一： 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A
10、（ 0， 0， 0）， B （ 0, a ,0） , A 1 (0,0, a ), C 1 (- , , a )，取 A 1 B 1 的中点 M ，则 M （ 0, , a ），连结 AM 、 MC 1 ，有 =(0, a ,0), =(0,0, a ). 由于 MC 1 面 ABB 1 A 1 . C 1 AM 是 AC 1 与侧面 A 1 B 所成的角 . 而 =30，即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为 30 . 解法二： （法向量法）（接方法一） =（ 0， 0， a ） . 设侧面 A 1 B 的法向量 n =( , x , y ), n =0且 n =0. ax =0，且 a
11、y =0. x = y =0.故 n =( ,0,0). |cos , n |= . =30 ,即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为 30 . 绿色通道： 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系 ,再用向量的有关知识求解线面角 .方法二给出了一般的方法 ,先求平面法向量与斜线夹角 ,再进行换算 . 解： （ 1）方法一：令 21( ) ( ) 1 ) ln (1 ) 12g x f x a x x a x a x? ? ? ? ? ? ?-( , 所以21 (1 ) 1( ) (1 ) a x a xg x a x axx? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 0a 时 ,因为
12、0x? ,所以 ( ) 0gx? ? ,所以 ()gx在 (0, )? 上是递增函数 , 又因为 213(1 ) ln 1 1 (1 ) 1 2 022g a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以关于 x 的不等式 ( ) 1f x ax? 不能恒成立 2分 当 0a? 时 ,2 1( ) ( 1 )(1 ) 1() a x xa x a x agxxx? ? ? ? ? ? ?, 令 ( ) 0gx? ? ,得 1x a? 所以当 1(0, )x a? 时 , ( ) 0gx? ? ；当 1( , )x a? ? 时 , ( ) 0gx? ? , 因 此函数 ()gx在 1(0, )x a? 是增函数 ,在 1( , )x a? ? 是减函数 故函数 ()gx的最大值为 21 1 1 1 1 1( ) ln ( ) (1 ) 1 ln22g a a aa a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分
