1、 1 河北省衡水中学滁州分校 2017-2018学年 下学期开学 考 试 高二（文科）数学 注意事项： 1 你现在拿到的这份试卷是满分 150分，作答时间为 120分钟 2 答题前 请在答题卷上 填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。 ) 1.命题 “ 若 1ab?，则 221ab?” 的逆否命题为（ ） A. 若 221ab?，则 1ab? B. 若 221ab?，则 1ab? C. 若 1ab?，则 221ab? D. 若 221ab?，则 1ab? 2. 抛物线 （ ）
2、的焦点 ，双曲线 的左、右焦点依 次为 ， 是坐标原点，当 与 重合时， 与 的一个交点为 ，则 ( ) A. B. C. D. 3.设命题 2: , 1 0p x R x? ? ? ?， 则 p? 为（ ） A. 200, 1 0x R x? ? ? ? B. 200, 1 0x R x? ? ? ? C. 200, 1 0x R x? ? ? ? D. 200, 1 0x R x? ? ? ? 4.设 是可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 0 5.已知函数 ? ? 3232f x ax x? ? ?，若 ? ? 1 4f ?，则 a 的值等于（ ） A. 193 B. 16
3、3 C. 103 D. 83 6.设 12,FF分别是椭圆 22149 24xy?的左 ,右焦点， P 是椭圆上一点， 12: 4 : 3,PF PF ? 则12PFF? 的面积为 2 （ ） A. 24 B. 25 C. 30 D. 40 7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ? ? ? ?0 , 2 , 0 , 2 ,A B P?为函数 2 1yx?图象上一点，若 2PB PA? ，则 cos APB? （ ） A. 13 B. 33 C. 34 D. 35 8.如图，已知抛物线 2 4yx? 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆? ?2 2 11 4xy? ? ? 于点
4、 , , ,ABCD 四点，则 4AB CD? 的最小值为（ ） A. 112 B. 132 C. 152 D. 172 9.已知 12,FF是两个定点，点 P 是以 1F 和 2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且12PF PF? ，记 1e 和 2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. 22122ee? B. 22124ee? C. 2212114ee?D. 2212112ee?10.对于每个自然数 n，抛物线 ? ? ? ?21 2 1 1y n n x n x? ? ? ? ?与 x轴交于 An， Bn两点，以 |AnBn|表示该两点间的距离，则 |A1B1| |A2B2
5、| ? |A2 017B2 017|的值是 ( ) A. 20162017 B. 20182017 C. 20172016 D. 20172018 11.已知点 是抛物线 （ ）上一点， 为其焦点，以 为圆心，以 为半径的圆交准线于 ， 两点， 为正三 角形，且 的面积是 ，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知 , , ,abcd 为实数，且 cd? ，则 “ ab? ” 是 “ a c b d? ? ? ” 的（ ） 3 A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 第 II 卷（非选择题 90分 ） 二、填空题 (本大题共 4个
6、小题，每小题 5分，共 20分。 ) 13.函数 2( 0)y x x?的图象在点 ? ?2,nnaa 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 1,nan? 为正整数，若 1 16a? ，则 1 3 5+a a a?_. 14.已知 P 为抛物线 2 4yx? 上一个动点，定点 ? ?0,3Q ，那么点 P 到点 Q 的距离与 点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是 _ 15.一圆形纸片的半径为 10cm ，圆心为 O ， F 为圆内一定点， 6OF cm? ， M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕 CD ，设 CD 与 OM 交于 P 点
7、（如图），以 FO 所在直线为 x 轴，线段 FO 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 P 的轨迹方程为 _ 16.有下列四种说法： xR? ， 2 2 3 0xx? ? ? 均成立； 若 pq? 是假命题，则 ,pq都是假命题； 命题 “ 若 0ab?，则 110ba?” 的逆否命题是真命题； “ 1a? ” 是 “ 直线 0ax y?与直线 0x ay?互相垂直 ” 的充要条件 其中 正确的命题有 _ 三、解答题 (本大题共 6个小题， 70分。 ) 17. (本题 10分 )已知函数 ? ? 1 2lnf x xx? . （ 1）求函数 ?fx的最小值； 4 （ 2）若 ? ? 1
8、2f x t x?对任意的 ? ?1,xe? 恒成立，求实数 t 的取值范围 . 18. (本题 12分 )如图，由 20, 8,y x y x? ? ?围成的曲边三角形，在曲线 OB 弧上求一点 M ，使得过 M 所作的 2yx? 的切线 PQ 与 ,OAAB 围城的三角形 PQA 的面积最大，并求得最大值 19. (本题 12 分 )已知双曲线 2222 1( 0 , 0 )yx abab? ? ? ?的两条渐近线与抛物线2: 2 ( 0)D y px p?的准线分别交于 ,AB两点， O 为坐标原点，双曲线的离心率为23,3 ABO? 的面积为 23. （ 1）求双曲线 C 的渐近线方程
9、； （ 2）求 p 的值 . 20. (本题 12分 )已知双曲线 2 2:14xCy?， P 是 C 上的任意点 . （ 1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （ 2）设点 A 的坐标为 ? ?5,0 ，求 PA 的最小值 . 21. (本题 12 分 )已知抛物线 C 的方程为 2 2 ( 0)y px p?，抛物线的焦点到直线: 2 2l y x?的距离为 455 . 5 （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）设点 ? ?0,2Rx 在抛物线 C 上，过点 ? ?1,1Q 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A 、B ，若直线 AR 、 BR 分别
10、交直线 l 于 M 、 N 两点，求 MN 最小时直线 AB 的方程 . 22. (本题 12分 )已知函数 ? ? ? ?ln 1f x x a x? ? ?， aR? . （ 1）求函数 ?fx在点 ? ?1, 1f 点处的切线方程； （ 2）当 1a? 时，求函数 ?fx的 极值点和极值； （ 3）当 1x? 时， ? ? ln 1xfx x? ? 恒成立，求 a 的取值范围 . 6 参 考 答案 解析 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B C C A C B D D C C 1.B 【解析】 由题意得，命题 “ 若 1ab?，则 221ab?”
11、的逆否命题为 “ 若 221ab?，则1ab?” 。选 B。 2. C 【解析】 依题意得 ，由两曲线相交，解得 ， 舍去），则 本题选择 C 选项 . 3.B 【解析】 根据命题否定的定义，改全称量词为存在性量词，否定结论即可得到， p? ： 200, 1 0x R x? ? ? ?，故选 B. 4.C 【解析】 4. 故选 C 5.C 【解析】 ? ? 2 103 6 4 3 6 , 3f x a x x a a? ? ? ? ? ,选 C. 6.A 7 【解析】 |PF 1|： |PF2|=4： 3， 可设 |PF1|=4k， |PF2|=3k， 由题意可知 3k+4k=2a=14， k
12、=2 ， |PF 1|=8， |PF2|=6， |F 1F2|=10， PF 1F2是直角三角形， 其面积 =12 1PF 2PF =12 68=24 故选 A 7.C 【解析】 由 2 1yx?得 ? ?2211y x y? ? ?， 所以函数 2 1yx?图象为双曲线221yx?的上支，又点 ? ? ? ?0, 2 , 0, 2AB ?分别为双曲线的上 、 下焦点。 由双曲线的定义得 2PB PA?，又 2PB PA? ， 所以 4, 2PB PA?。 在 APB 中，由余弦定理得 ? ? 2224 2 2 2 3c o s 2 4 2 4APB ? ? ?。 选 C。 8.B 【解析 】
13、 8 如图所示，抛物线 2 4yx? 的焦点 ? ?1,0F ， 圆 ? ?2 2 11 4xy? ? ? 的圆心坐标是 ? ?1,0 ，半径12r? ， 设 ? ? ? ?, , ,A A D DA x y B x y， 由抛物线的定义可知 1, 1ADA F x D F x? ? ? ?， 4 4 4A B C D A F r D F r? ? ? ? ? 54 5 4 2ADA F D F r x x? ? ? ? ? ?，显然直线 l 不可能平行于 x 轴，设直线 l 的方程为 1my x? 代入到抛物线的方程中，得2 4 4 0 , 4ADy m y y y? ? ? ? ? ?，
14、22 116ADyyxx? ? ?， 显然 0, 0ADxx?， 5 5 1 34 4 2 42 2 2A D A DA B C D x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，等号成立当且仅当 4ADxx? 和1ADxx? 同时成立，即等号成立当且仅当 14, 4ADxx?， 4AB CD? 的最小值是 132 ，故选 B. 9.D 【解析】 9.由题意设焦距为 2c ，椭圆的长轴长 2a ，双曲线的实轴长为 2m ，不妨令 P 在双曲线的右支上 由双曲线的定义 122PF PF m? 由椭圆的定义 122PF PF a? 又 01290FPF?， 故 2 2 212| | 4PF P
15、F c? 22? 得 2 2 2 212| | 2 2P F P F a m? ? ? 将 代入 得 2 2 22a m c?， 即 22112ccam? ， 即 2212112ee?故选 D 10.D 【解析】 当 0y? 时， ? ? ? ?21 2 1 1 0n n x n x? ? ? ? ?解得1211, 1xxnn?，则 ,AB两点9 的坐标为 11, 0 , , 01nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 111nnAB nn? ?，所以 , 1 1 2 2 2 0 1 7 2 0 1 7 1 1 1 1 1 2 0 1 71 2 2 3 2 0 1 7 2 0 1 8
16、2 0 1 8A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 D. 11.C 【解析】 由题意，如图可得 及 ， 可得 ， 从而 ， 由抛物线的定义知点 A 到准线的距离也为 ， 又因为 ABC 的面积为 ， 所以 ， 解得p=8， 故抛物线的方程为 . 本题选择 C选项 . 12. C 【解析】 取 2 , 2 , 2 , 8a b c d? ? ? ? ? ?，满足 ,c d a b?，但是此时 a c b d? ? ? ，即充分性不满足， 反之，若 cd? ，结合 a c b d? ? ? ，利用不等式的性质相加可得： ab? ，即必要性满足， 综上可得： “ a
17、b? ” 是 “ a c b d? ? ? ” 的必要非充分条件 . 本题选择 C选项 . 13.21 【解析】 2yx? ，则斜率为 2nka? ，切线方程为 ? ?2 2n n ny a a x a? ? ?，令 0y? ，得11 1,22nnnnaaa a? ?， ?na 是以 16 为首项，以 12 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 1 3 5 111 6 1 6 1 6 2 14 1 6a a a? ? ? ? ? ? ? ?. 10 14. 10 【解析】 由抛物线 2 4yx? 的焦点为 ? ?1,0F ， 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 的焦点的距离， 设
18、点 P 到抛物线的准线的距离为 d ，所以 PQ d PQ PF? ? ?， 可得当 ,PQF 三点共线时，点 P 到点 Q 的距离与点 P 到准线的距离之和最小， 所以最小值为 221 3 1 0PF ? ? ?. 15. 22125 16xy? 【解析】 以 FO所在直线为 x轴，线段 FO 的中垂线为 y轴，建立直角坐标系。 由题设，得： CD 垂直平分线段 MF，则有： |PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10 即 |PO|+|PF|=10|OF|,所以点 P的轨迹是以 F,O为焦点的椭圆。 方程为： 221xyab?,2a=10,2c=6?b2=16, 点 P的轨迹方程为： 22125 16xy?. 16. 【解析】 对于 , 2 23xx? ? ?21 2 0x? ? ? ?恒成立 ,命题正确 ; 对于 ,
